Математика

Урок 10: Действия с отрицательными числами

Сложение и вычитание отрицательных чисел

Сегодня мы узнаем, в каком случае число, от прибавления другого числа, не увеличивается, а наоборот уменьшается, какой знак ставить перед полученным результатом, как вычислить разность, если все компоненты имеют знак «минус». Научимся выполнять математические действия с положительными и отрицательными числами. Рассмотрим на понятных примерах, все секреты сложения и вычитания числовых значений с разными знаками.

Обложка урока взята с источника.

План урока:

Сложение отрицательных чисел

Сложение чисел с разными знаками

Вычитание отрицательных чисел и чисел с разными знаками

 

В субботу, ученики 6 класса договорились встретиться и погулять в парке. Утром Юля выглянула в окошко, ярко светит солнышко, но при этом морозно. Девочка взглянула на термометр. Он показывал -10˚C. Мама попросила Юлю пойти на улицу немного позже, когда на улице потеплеет. Юля расстроилась и стала ждать. Через два часа девочка снова взглянула на термометр. Он показал -3. Ого! Всего  два часа, а так потеплело – обрадовалась девочка и стала одеваться, чтобы идти гулять. В это время в комнату вошла мама и удивленно спросила «Уже потеплело? На сколько градусов?» Дочь не знала, что сказать и как правильно узнать, на сколько градусов стало теплее. Мама пришла на помощь и сообщила, что достаточно от -10 отнять -3, и мы узнаем, на сколько градусов изменилась температура воздуха за окном. Иначе, можно сказать, что шкала термометра поднялась вверх на 7 делений, значит, на улице стало теплее на 7 градусов. Запомнив все, что рассказала мама, Юля побежала в парк делиться новыми знаниями с друзьями.

2gfgdg
Источник

 

Сложение  и вычитание отрицательных чисел

Давайте вспомним любимую многими сказку «Буратино» и разберем задачу с участием любимых персонажей.

В театре Карабаса-Барабаса актерам жилось очень сложно, все куклы мечтали  жить на свободе. Актеры тяжело работали,  но долги перед хозяином росли с каждым днем. Злой владелец пообещал отпустить Буратино и Мальвину из своего театра только тогда, когда кукольные герои вернут ему долг. Сколько монет нужно собрать героям, чтобы оказаться на свободе, если у Буратино было -15 монет, а у Мальвины -6?

3sdsd
Источник

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нам нужно понимать, о чем идет речь. Изучив условие, возникает вопрос «Как может быть -15 и -6 монет?». В данном случае выходит, что Буратино и Мальвина должны вернуть Карабасу-Барабасу 15 и 6 монет, поэтому перед данными числами и стоит знак «минус». Получается, кукольные персонажи смогут покинуть театр, когда полностью вернут долг. Для этого необходимо узнать общий размер долга Буратино и Мальвины. Чтобы узнать размер долга, суммируем монеты персонажей -15 и -6. Но как их сложить, когда перед слагаемыми стоит «минус»? В подобных ситуациях применяют правило сложения отрицательных чисел.

tab1

Возвращаемся к решению задачи.

Теперь, правильно запишем и суммируем известные данные.

tab2

Получается, что герои имеют -21 монету, следовательно, они должны собрать 21 монету и вернуть долг, только тогда появится возможность покинуть театр Карабаса-Барабаса.

4sdsd
Источник

 

Рассмотрим еще одно задание.

Найдите результат сложения -24 и -16.

Чтобы вычислить сумму двух значений со знаком «минус», достаточно суммировать их модули, и перед полученной цифрой записать «-».

-24+(-16)=-(24+16)=-40.

Запомни! Если складываем два отрицательных числа, то суммируем их модули, а перед результатом сложения записываем «-».

 

Сложение чисел с разными знаками

Рассмотрим ситуацию.

Мишин папа навещал бабушку в деревне, обещал привезти гостинец сыну – яблоки. Во дворе Миша рассказал мальчишкам про папино обещание, и решил угостить яблоком, каждого из трех друзей, то есть, у него уже стало -3 яблока. Папа привез сыну 10 яблок и мальчик с радостью поделился фруктами с друзьями. Сколько яблок осталось у мальчика?

5dfdf
Источник

Чтобы найти количество яблок у мальчика, нам нужно узнать, чему равна сумма яблок –тех которые были у мальчика(-3), и тех, которые дал папа(10). То есть, чтобы ответить на главный вопрос задачи, достаточно сложить -3 и 10. Но слагаемые имеют разные знаки «+» и «-». Как же выполнить сложение положительного и отрицательного чисел? Запомнив алгоритм сложения положительных и отрицательных чисел сделать это, будет очень просто.

tab3

Используем рассмотренный алгоритм при выполнении действий.

Суммируем-3 и 10. Для этого:

  • определяем модули: -3=|3|, 10=|10|;
  • сравниваем модули, определяя больший: |3|<|10|;
  • от большего отнимаем меньший: 10 – 3=7;
  • так как по условию 10 – число положительное, то и результат будет числом положительным.

Записывается в таком виде:

-3+10=10 – 3=7.

Выходит, у мальчика стало 7 яблок.

6hgjh
Источник

Рассмотрим еще один пример сложения чисел с разными знаками.

Вычислите сумму -28 и 11.

Известные слагаемые имеют разные знаки, то есть -28 является значением отрицательным, а 11–положительным. Чтобы суммировать слагаемые, необходимо воспользоваться ранее рассмотренным алгоритмом. Вначале, определяем модули и сравниваем их.

-28=|28|;

11=|11|;

28>11.

Помним, что большее значение модуля имеет отрицательное слагаемое (-28), поэтому перед результатом нужно будет поставить знак «минус». Теперь, находим разность большего и меньшего значения модуля (28-17) и записываем математическое выражение:

-28+11=-(28-11)=-17.

Учитывая рассмотренные примеры, можно сказать, что:

любое числовое значение от прибавления к нему положительного числа, всегда становится больше, а от прибавления отрицательного числа только меньше.

Докажем справедливость данного правила, вычислив выражение и сравнив уменьшаемое с полученной суммой:-150+50.

Чтобы найти значение выражения нужно определить модули (150 и 50), оставив знак«-» модуля большего слагаемого, от большего значения отнимаем меньшее:

-150+50=-(150-50)=-100.

Сравним найденное значение выражения (-100) с уменьшаемым (-150), используя правило сравнения чисел с отрицательным знаком:

При сравнении цифровых значений со знаком «минус», меньшим будет то, чей модуль больше.

-150=|150|;

-100=|100|.

150>100;

-150<-100.

Действительно, при сложении с отрицательным числом уменьшаемое стало только меньше.

 

Вычитание отрицательных чисел и чисел с разными знаками

Мы уже знаем, как выполнять сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел, но хочется сказать, что именно в этом разделе математики, большую роль играют противоположные числа. Для тех, кто забыл, напоминаем, какие числовые значения называются противоположными:

Если два числа отличаются только знаком, то они являются противоположными:-13 и 13, 141 и -141, 1000 и -1000.

Чтобы понять, какие правила необходимо соблюдать при выполнении вычитания чисел с разными знаками, давайте разберем задание.

Определите, чему будет равно значение выражения: от -510 отнять +210.

На первый взгляд задание очень простое и не вызывает никаких проблем. Но стоит записать разность в виде выражения:

-510-(+210)

сразу возникает вопрос «Как вычитать, если уменьшаемое со знаком «минус», а вычитаемое со знаком «плюс»?».Чтобы решение подобных выражений не вызывало у вас трудностей, возьмите на заметку правило:

Чтобы выполнить вычитание чисел с разными знаками, нужно уменьшаемое оставить без изменений и прибавить к нему число, противоположное вычитаемому.

Например: -5-(+2).

Минус пять оставляем без изменений. Вычитаемое +2, а противоположное ему -2. Складываем уменьшаемое(-5) и число противоположное вычитаемому(-2): -5+(-2).

По правилу сложения отрицательных чисел, складываем модули(5+2) и ставим знак «-»:

-5+(-2)=-(5+2)=-7

Учитывая данное правило, получается, что к уменьшаемому(-510) необходимо прибавить значение,противоположное вычитаемому(210), таким числом будет -210:

Запишем выражение:

-510-(+210)=-510+(-210). Чтобы вычислить полученное выражение нужно сложить отрицательные значения, согласно правилу сложения отрицательных чисел:

-510-(+210)=-510+(-210)=-(510+210)=-720.

Вычисления окончены.

7vcvx
Источник

Рассмотрим следующее задание.

Найдите значение выражения: -248+248.

Используем правило сложения значений с разными знаками.

-248=|248|;

248=|248|;

248 – 248=0.

Следовательно,

при сложении противоположных числовых значений в результате всегда будет 0.

Зная правило вычитания отрицательных чисел, можем сделать вывод, что знаки, стоящие перед скобками, могут менять знак числа, находящегося в скобках.

К примеру, в выражении 19-(-4), при вычислении используем правило, согласно которого, к уменьшаемому прибавляем, число противоположное вычитаемому, то есть знак вычитаемого «-» меняем на противоположный «+». Получим:

scrin1

Запомни! Если перед скобкой в математическом выражении стоит знак «минус», то знак числа в скобках меняется на противоположный.

tab4

Ну а сейчас, разберем задание, в котором перед скобкой стоит знак «плюс».

Вычисли: -36+(-7).

В этом задании воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел– сложим модули числовых значений, а перед суммой поставим знак «минус»:

tab5

Мы видим, что «плюс» перед скобкой никак не повлиял на знак числа, стоящего в скобках. Запомни! Если перед скобками стоит «плюс», то знак числового значения, стоящего в скобках никак не меняется.

В выполнении рассматриваемых действий нет ничего сложного. Главное запомнить основные требования и придерживаться их в процессе любых вычислений! Если сразу запомнить все правила не получается, заходи на сайт 100уроков.ru и мы всегда с удовольствием напомним нужное правило или алгоритм.

 

Минутка истории

История математики утверждает, что человечество длительное время не принимало ряд отрицательных числовых значений. Данный вид чисел, казался непонятным и ненужным. Привычных нам знаков «плюс» и «минус» просто не существовало. Если возникала необходимость в записи отрицательно числа, то его записывали следующим образом «долг в 30 монет». И лишь математики Древней Индии и Китая, выполняли записи отрицательных чисел без употребления слова «долг», а просто использовали черные чернила, вместо синих.

Только в 3 веке греческий ученый Диофант, стал обозначать знак «минус» вот таким символом   .

Привычные нам знаки «+» и «-» появились в Германии в конце 15 века. Чешский ученый Ян Видман, отразил данные знаки в своей книге-пособии, помогающей подсчитывать прибыль и убытки чешским купцам. Стоит заметить, что данная книга была написана от руки и имела огромную популярность среди богатых людей того времени.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Чтобы найти сумму двух отрицательных чисел нужно:
1Сложить их модули, а перед результатом поставить знак «плюс»
2Из большего модуля вычесть меньший и поставить знак слагаемого соответствующего большему модулю
3Сложить их модули, а перед результатом поставить знак «минус»
Ответить
3
Вопрос: 2
Если в выражении оказывается рядом два математических знака то после первого нужно:
1Поставить тире
2Открыть скобку
3Поставить точку
Ответить
2
Вопрос: 3
При сложении чисел с разными знаками, какой знак нужно ставить перед полученным результатом?
1Знак слагаемого, соответствующего большему модулю
2Знак "минус"
3Знак слагаемого, соответствующего меньшему модулю
Ответить
1
Вопрос: 4
Выберите верное значение выражения для -11+4
1-15
2-7
37
Ответить
2
Вопрос: 5
Сумма какого равенства равна 0?
1-23 + 17
2-45 + 45
3-1 + 0
Ответить
2
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Чтобы найти сумму двух отрицательных чисел нужно:
1) Сложить их модули, а перед результатом поставить знак «плюс» 2) Из большего модуля вычесть меньший и поставить знак слагаемого соответствующего большему модулю 3) Сложить их модули, а перед результатом поставить знак «минус»
2 вопрос:

Если в выражении оказывается рядом два математических знака то после первого нужно:
1) Поставить тире 2) Открыть скобку 3) Поставить точку
3 вопрос:

При сложении чисел с разными знаками, какой знак нужно ставить перед полученным результатом?
1) Знак слагаемого, соответствующего большему модулю 2) Знак "минус" 3) Знак слагаемого, соответствующего меньшему модулю
4 вопрос:

Выберите верное значение выражения для -11+4
1) -15 2) -7 3) 7
5 вопрос:

Сумма какого равенства равна 0?
1) -23 + 17 2) -45 + 45 3) -1 + 0
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: Сложить их модули, а перед результатом поставить знак «минус»
2 вопрос: Открыть скобку
3 вопрос: Знак слагаемого, соответствующего большему модулю
4 вопрос: -7
5 вопрос: -45 + 45