План урока:

Множества

Подмножества

Числовые выражения

Буквенные выражения

Множества

Часто на практике мы встречаем несколько объектов, которые обладают схожими признаками. Условно их можно объединить в единую категорию, или класс. Например, футболистов, выходящих на поле играть за одну команду, называют составом. Апельсины, мандарины, лимоны входят в категорию цитрусовых, а черешня и вишня являются ягодами. В школьном классе по признаку успеваемости можно выделить группы отличников, хорошистов, троечников, а по месту рассадки – сидящих на 1-ом, 2-ом, 3-ем, последнем ряду. В математике для обозначения подобных категорий и объединений используется универсальный термин «множество».

Дадим определение понятию множества:

В качестве объектов могут выступать любые предметы и абстрактные понятия, в том числе точки, фигуры, уравнения, функции, числа и другие множества. Для обозначения множеств обычно используют большие латинские буквы. Объекты, входящие в состав множества, называются элементами множества. Пусть в множество А входят числа, большие 10, но меньшие 100. Тогда числа 15, 39, 85, 99.999, 27¾ будут являться элементами А, а числа 0, 5, 101, –10, 5.813 не будут его элементами. Если объект входит в множество, то для обозначения этого используется специальный символ ∈. Запись s∈R читается как «s– принадлежит множеству R».

Существует несколько способов описания множества. Простейший из них – это перечисление всех его элементов. Во множество футбольных команд, выигрывавших чемпионат мира по футболу в XX веке, входит всего 7 национальных сборных: Уругвай, Италия, Германия, Бразилия, Англия, Аргентина, Франция. Зададим перечислением множество, состоящее из двузначных чисел, делящихся без остатка на 11:

G={11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99}.

Этот способ не всегда удобен, так как во множество может входить и сто, и миллиард, и даже бесконечное число элементов. Поэтому существует и второй способ его задания, когда указывают так называемое характеристическое свойство элементов множества.

Если для множества указывают характеристическое свойство, то говорят, что оно задано описанием. Покажем на примере, как это записывается на языке математики:

А={а |а>2}.

До знака «равно» указывается обозначение множества. После в фигурных скобках ДО вертикальной черточки указывают обозначение элемента множества, а после – характеристическое свойство:

В этом примере во множество входят все числа, которые больше двух, например:

• 3;
• 100;
• 2,6;
• 61,82135;
• 5¾.

Если нам надо описать множество, в которое входят только натуральные числа, большие, 2, то следует указать два характеристических свойства:

• элементы множества больше 2;
• элементы множества – натуральные числа.

Делается это через запятую:

Большой буквой N обозначают множество натуральных чисел.

Теперь предположим, что мы хотим задать множество, состоящее из натуральных, чисел, которые больше 2, но меньше 500. Тогда с скобках надо указать три характеристических свойства:

Однако в данном случае можно было объединить первое и третье свойство в одно, используя такую запись:

А={а |2<а < 500, а∈N}.

Характеристические свойства можно указывать в любом порядке, это ни на что не влияет.

Итак, есть два способа, с помощью которых можно определять множество:

• перечисление;
• описание.

Для примера зададим множество H, состоящее из натуральных чисел, меньших 10, и перечислением, и описанием:

H={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} = {h | h∈N, h< 10}.

Выделяют конечные и бесконечные множества. Первые содержат ограниченное количество элементов и теоретически могут быть заданы перечислением. Вторые содержат бесконечное число элементов и могут быть заданы только описанием. В качестве примера можно привести бесконечные множества четных и нечетных чисел.

Бывают множества, состоящие из единственного элемента. Их называют одноэлементными, или синглетоном. Особый случай – множество, вовсе не содержащие элементов, так называемое пустое множество.

Можно привести следующие примеры пустых множеств из реальной жизни:

• множество людей, доживших до 200 лет (так как самый пожилой человек в истории, Жанна Кальман, прожила только 122 года);
• множество людей, видевших живыми и Николая II, и князя Ярослава Мудрого (так как Николай II родился 814 лет после смерти Ярослава Мудрого);
• множество африканских футбольных сборных, выигрывавших чемпионат мира (так как все его розыгрыши выигрывали либо европейские, либо южноамериканские команды);
• множество космонавтов, высадившихся на поверхность Венеры (так как ни одному человеку ещё не удалось побывать там).

Попробуйте сами придумать ещё несколько подобных примеров.

Для обозначения пустого множества используется значок ø. Приведем пример:

V={v| v< 10, v>1000}=ø.

Действительно, во множество V входят только числа, которые одновременно и больше 1000, и меньше 10. Но их не существует, поэтому V– пустое множество. Здесь мы использовали значок равенства между множествами.

Подмножество

Рассмотрим марафонский бег. Некоторые бегуны не смогут добежать до финиша и сойдут с дистанции. Всех остальных атлетов можно объединить в множество «финишировавших». Однако медали выдадут только трем спортсменам, показавшим наилучшее время. Эти счастливчики образуют множество «медалистов». Очевидно, что каждый медалист входит одновременно и в список добравшихся до финиша. На языке математики говорят, что множество «медалистов» является подмножеством множества «финишировавших». Дадим строгое определение понятию подмножество:

Для записи такого отношения используется специальный символ⊂. Записывается это так:

A⊂B.

Сразу отметим два важных замечания:

• множество является подмножеством самого себя;
• пустое множество является подмножеством любого другого множества.

Для графической иллюстрации отношений между множествами используют такой инструмент, как круги Эйлера.

Круги Эйлера – это условная схема, на которой каждое множество отображают кружочком или другой фигурой. При ее составлении соблюдается три правила:

• если у двух множеств есть общие элементы, то обозначающие их фигуры пересекаются;
• если у множеств нет общих элементов, то они не пересекаются на схеме;
• если одно множество является подмножеством другого, то фигура подмножества оказывается вложенной в фигуру своего множества.

Проще всего проиллюстрировать это на примере домашних питомцев:

Здесь показаны отношения 4 множеств:

• немецкие овчарки (желтый круг);
• собаки (зеленый круг);
• кошки (фиолетовый круг);
• домашние питомцы с кличкой «Лорд».

Всякая немецкая овчарка обязательно является собакой, поэтому желтый круг полностью входит в зеленый. С другой стороны, кошки и собаки – два разных биологических вида, и ни одно животное не может быть одновременно и кошкой, и собакой. Поэтому круги фиолетового и зеленого цвета не пересекаются. Наконец, некоторым (но не всем) домашним питомцам (и кошкам, и собакам, и, в частности, немецким овчаркам) хозяева дают кличку «Лорд». По этой причине голубой круг пересекает все остальные.

Над множествами можно совершать различные операции. Проиллюстрируем их с помощью кругов Эйлера. Пусть есть два множества, А и B, которые пересекаются:

Первая операция, которую над ними можно провести, называется объединением и обозначается значком ⋂.

M = A⋂B.

Следующая операция – пересечение, которая обозначается похожим, но перевернутым символом ⋃.

Р= A⋃B

Еще одна операция называется разностью множеств и обозначается дробной чертой \.

K = А\В;

F = B\A.

Хотя сегодня теория множеств лежит в основе большинства других разделов математики, сама она является довольно молодой дисциплиной. Долгое время главной проблемой при ее изучении были бесконечные множества. Дело в том, что известная математическая аксиома, «целое больше части», для бесконечных множеств не выполняется. Первым на это обратил внимание Галилей, который, сравнивая натуральные числа и их квадраты, вывел знаменитый парадокс Галилея.

В чём он заключается? Некоторые натуральные числа, но отнюдь не все, являются квадратами других натуральных чисел: 1, 4, 9, 16, 25, 36… По сути, есть «целое» – множество натуральных чисел, и его «часть» – множество целых квадратов. Значит, квадратов должно быть меньше, чем натуральных чисел.

С другой стороны, для натурального числа можно посчитать его квадрат. То есть на каждое одно натуральное число приходится ровно один квадрат. Значит, множества натуральных чисел и квадратов содержат одинаковое число элементов. Как же сам Галилей вышел из этого противоречия. Он сделал вывод: бесконечные множества просто нельзя сравнивать по количеству элементов в них.

(Этот фрагмент про парадокс Галилея не входит в школьную программу и вставлен просто как интересный факт про историю теории множеств).

Круги Эйлера были введены в математику в XVIII веке, а в 1881 году Джон Венн предложил схожую концепцию диаграмм Венна.

Лишь в 1873-1897 годах Георг Кантор при поддержке Рихарда Дедекинда формирует первую теорию множеств, которую со временем стали называть наивной. Дело в том, что в ней в 1901 году Бертраном Расселом был обнаружен парадокс, который породил настоящий кризис оснований математики. Для выхода из него была разработана новая, аксиоматическая теория множеств.

Числовые выражения

В младших классах вы уже сталкивались с числовыми выражениями.

Важно заметить, что числовое выражение определяет, какие арифметические операции и в каком порядке необходимо выполнить, поэтому не всякий набор чисел и арифметических знаков является числовым выражением. Запись 5+:7 – это не числовое выражение, а просто беспорядочный набор символов, так как она не определяет порядок сложения и деления чисел 5 и 7.

Числовое выражение задает строгий, однозначный алгоритм выполнения вычислительных операций. Если его выполнить, то в результате получится найти значение выражения.

Операции умножения и деления имеют приоритет перед операциями сложения и вычитания, также раньше выполняются действия в скобках. Рассмотрим пример:

13,2 – 5 • (9 – 12:3 + (6•2 – 10)).

В этом выражении 7 арифметических знаков, поэтому надо выполнить 7 операций. Сначала посмотрим на скобки. Первые скобки (подчеркнуто синей линией) начинаются после 9 и заканчиваются в самом конце. Однако внутри них есть ещё одни скобки (красная линия), поэтому операции в них имеют приоритет:

Теперь с учетом скобок определим последовательность операций:

Найдем значение выражения, последовательно выполнив все операции:

 13,2 – 5 • (9 – 12:3 + (6•2 – 10)) =

=13,2 – 5 • (9 – 12:3 + (12 – 10)) =

=13,2 – 5 • (9 – 12:3 + 2) =

=13,2 – 5 • (9 – 4 + 2) =

=13,2 – 5 • (5 + 2) =

=13,2 – 5 • 7 =

=13,2 – 35 =

=13,2 – 35 =

= –21,8.

Напомним, что знак умножения может выглядеть как точка, как крестик или вовсе опускаться:

12•(5+3)=12✕(5+3)=12(5+3)=96.

Вместо знака деления может использоваться дробная черта.

Возможны случаи, когда выражение записано корректно, но при этом не имеет смысла:

5 – 8:(4•5–2•10).

Попробуем высчитать его значение:

5 – 8:(4•5–2•10) =

= 5 – 8:(20–2•10) =

= 5 – 8:(20–20) =

= 5 – 8:0

Здесь в результате первых 3 действий получим выражение 5-8:0, а деление на ноль не имеет смысла.

Числовые выражения можно сравнивать друг с другом:

7,5•4 – 5> 80:4+2,

так как 7,5•4 – 5 = 27, 80:4+2 = 22, а 27> 22. Некоторые неравенства можно записать, даже не вычисляя значения выражения. Например, так как произведение двух положительных чисел больше нуля, а произведение двух чисел, меньших единицы, также меньше 1, верными будут неравенства:

• 0 < 0,5•0,2< 1;
• 0 < 0,9536•0,12687< 1;
• 0 < 0,646236635•(568/632)< 1.

Приведем ещё несколько примеров неравенств, верность которых можно проверить без вычислений:

• 0,95•0,64 < 0,95+0,01 (В левой части число 0,95 уменьшается, так как умножается на число, меньшее единицы (0,64). То же самое число 0,95 в правой части, наоборот, увеличивается, так как к нему прибавляется положительное число).
• –18,325/4,35 < (1+2+3+4+5+6)/53 (Левое выражение отрицательное, а правое – положительное).
• 145:1,125 < 145•1,53513 (Деление на число, большее единицы, уменьшает значение выражение, а умножение увеличивает).
• 0,2551+0,3961< 0,2552+0,3962 (И слева, и справа ровно по 2 слагаемых. Но для каждого левого слагаемого есть слагаемое справа, которое больше его: 0,2551< 0,2552; 0,3961 < 0,3962. Но сумма больших слагаемых всегда больше, чем сумма меньших слагаемых).

Выражения с переменными

Существуют и более сложные выражения, в которых помимо цифр содержатся и буквы, означающие какие-либо переменные. Рассмотрим пример. Пусть мебельный завод ежедневно производит 120 шкафов и 57 диванов, которые у него скупает магазин по цене 5000 и 6000 рублей соответственно. Какой доход получит завод за p дней?Его можно посчитать, вычислив значение выражения

p·(5000·120+6000·57)

Естественно, что при разных значениях р будет получаться разных доход. Выражение p·(5000·120+6000·57) называют выражением с переменной, а сама буква p называется переменной.

Для записи значения выражения в зависимости от значения переменной могут использоваться таблицы. Пусть дано выражение 2h+3. Для него можно составить таблицу:

Похожие таблицы использовались ещё за 2 тыс. лет до н. э. в Вавилоне. Жрецы записывали в них значения квадратов натуральных чисел. Сегодня такая табличка выглядела бы так:

Выражение может содержать и более одной переменной. Приведем примеры:

• G²+R²;
• d+8e;
• ws+2s;
• z/5+h/2.

Иногда переменная в выражении не может принимать любое значение. Рассмотри запись L/(L–10). При любом L≠ 10 мы сможем вычислить значение этого выражения. Однако при L = 10 получается дробь 10/0. Так как деление на ноль в алгебре не допускается, то говорят, что выражение L/(L–10) не имеет смысла при L = 10. При любом же другом значении Lоно имеет смысл.

Выражения с переменными помогают математикам записывать числа определенного вида. Так, любое четное число можно представить выражением 2k, где k– натуральное число (то есть k∈N). Нечетные числа можно представить выражением 2v+1, где v– натуральное число.

Докажем с помощью выражений следующее утверждение:

Пусть есть произвольное четное число, которое мы представим выражением 2k. Произвольное нечетное число запишем как 2v+1.

Далее запишем их сумму:

2k+(2v+1) =2k+2v+1 = 2(k+v)+1.

Так как k и v являются натуральными числами, то и их сумма k+v также является натуральным числом. Тогда выражение 2(k+v)+1 является нечетным числом.

Любое двузначное число можно представить в виде выражения

10a+b,

где a и b– это количество десятков и единиц. Например:

• 69 = 610+9;
• 17 = 110+7;
• 92 = 910+2.

По аналогичной логике трехзначные числа можно представлять выражением

100a+10b+c,

а четырехзначные суммой

1000a+100b+10c+d.

Проиллюстрируем это на примерах:

• 562 = 5100+6·10+2;
• 2684 = 21000+6·100+8·10+4.

Такие записи чисел помогают решать весьма заковыристые задачки. Рассмотрим одну из них:

К двузначному числу слева приписали цифру 6. В результате число увеличило на 672. Чему оно было равно?

Решение. Пусть неизвестное двухзначное число состоит из цифр a и b (ab). Тогда его можно представить суммой 10a+b. После того, как к нему подрисовали шестерку, оно превратилось в число ab6, которое также можно представить как сумму 100a+10b+6. Зная, что число увеличилось на 672, можно записать уравнение:

10a+b+672 = 100a+10b+6.

Перенесем слагаемые 10a и b вправо, а 6 – влево:

672–6 = 100a+10b–10a–b;

666 = 90a+9b.

Поделим обе части на 9:

74 = 10a+b.

В результате нам удалось найти сумму 10a+b, которая и является исходным двузначным числом. Ответ: 74.

Проверим это. Если исходное число равно 74, то после приписывания слева шестерки оно превращается в 746. Их разница равна:

746–74 = 672,

что подтверждает правильность ответа.