Алгебра

Урок 1: Рациональные выражения

Рациональные выражения

В предыдущих классах мы уже познакомились с понятием дроби, однако рассматривались только те дроби, у которых в знаменателе и числителе стояли какие-либо числа. Однако там могут встречаться и переменные величины. Их называют рациональными выражениями.
slide6

                 Именная карта банка для детей 
                 с крутым дизайном, +200 бонусов

Перейти

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

Перейти slide8

План урока:

Понятие рационального выражения

Сокращение рациональных выражений

Представление дроби в виде суммы дробей

Преобразование рациональных выражений

 

Понятие рационального выражения

В 5 и 6 классе мы уже изучали дроби и действия над ними. В 7 классе рассматривались рациональные числа, которые, по сути, и являются дробями. Однако до этого мы изучали только так называемые числовые дроби, у которых в числителе и знаменателе стоят какие-то числа либо выражения с числами, но не переменные величины.

1ytyiui

Следующие дроби являются числовыми:

2hgjyj

Однако нередко в алгебре приходится иметь дело и с дробями, которые содержат переменные. В качестве примера подобных выражений можно привести:

3hgjh

Так как деление на ноль является недопустимой операцией в алгебре, то некоторые дроби могут не иметь смысла. Так, дробь

4hgfh

бессмысленна, так как ее знаменатель 21 – 3•7 равен нулю.

Если дробь содержит переменные величины, то ее значение зависит от этих переменных. Так, дробь

5hgh

при у = 4 принимает значение, равное 9. Если же у = 3, то эта дробь окажется бессмысленной.

Значения переменных величин, при которых дробь сохраняет свой смысл, называют допустимыми значениями переменных.

 

Пример. Укажите множество допустимых значений величин х и у для дроби

6hgfh

Решение. Недопустим только случай, при котором в знаменателе находится ноль, то есть когда выполняется равенство

х – у = 0

или равносильное ему равенство

х = у

Следовательно, допустимыми значениями являются все такие пары (х; у), что х ≠ у.

Пример. Каковы допустимые значения величин а и b в дроби

7hgfh

Решение. В данной записи есть три дробных черты, а значит, и три знаменателя:

8hgfh

Ни один из знаменателей не должен равняться нулю, поэтому

9hgfhfgh

Перенесем в последнем неравенстве 2-ое слагаемое вправо, изменив знак (правила преобразований выражений со знаком ≠ точно такие же, как и у равенств):

10bfghgfh

По свойству пропорции имеем:

1•а ≠ 1•b

а ≠b

Итак, допустимыми являются все значения a и b, при которых а ≠ 0, b≠ 0, a≠b.

 

Пример. Найдите множество допустимых значений х для дроби

11kjhjk

Решение.

Ясно, что знаменатель должен отличаться от нуля:

х2 – 25 ≠ 0

Чтобы найти, при каких значениях неизвестной величины знаменатель обращается в ноль, надо решить уравнение

х2 – 25 = 0

Представим полином в левой части как произведение, применив формулу квадрата разности:

х2 – 52= 0

(х – 5)(х + 5) = 0

х = 5 или х = – 5

Получаем, что исходная дробь сохраняет смысл при любых х, отличных от – 5 и 5.

Порою дроби, содержащие переменные, могут встречаться в тождествах.

 

Пример. Докажите тождество

12jhk

Решение. У дроби в левой части знаменатель всегда положителен, поэтому все допустимыми являются все значения c. Согласно свойству операции деления, делимое равно произведению делителя и частного, поэтому для доказательства тождества надо лишь показать справедливость равенства

3 – 2с2 + с – 2) = (с – 2)(с2 + 1)

Раскроем скобки в правой части:

(с – 2)(с2 + 1) = с3 – 2с2 + с – 2

Получили одинаковое выражение и для левой, и для правой части тождества, следовательно, оно верное.

Теперь сформулируем понятие рационального выражения.

13kjhk

Среди рациональных выражений выделяют целые и дробные выражения.

14gfhgh

15hgfh

Приведем примеры целых рациональных выражений:

16jhjkjk

А вот несколько примеров дробных рациональных выражений:

17jhghj

Стоит заметить, что дробь и дробное выражение – это два разных понятия. Для иллюстрации приведем два примера:

  • 18jhgj – это дробь, но целое, а не дробное выражение;
  • (х + 7):t – это дробное выражение, но не дробь.

Отдельно отметим, что дробь равна нулю тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель нет. Если же и знаменатель равен нулю, то получается недопустимое действие – деление на ноль, поэтому дробь не будет иметь смысла.

 

Пример. Найдите все корни уравнения

19jhgjhj

Решение. На первый взгляд уравнение кажется сложным, особенно из-за знаменателя. Однако он здесь почти не играет роли. В левой части находится дробь, значит, нулю равен ее знаменатель:

(х – 1)(х + 2) = 0

х – 1 = 0 или х + 2 = 0

х = 1 или х = – 2

Получили два корня. Осталось убедиться, что при этих значениях х дробь не становится бессмысленной, то есть ее знаменатель не обращается в ноль. При х = 1 имеем знаменатель

2•14 – 3•13 + 5•1 – 4 = 2 – 3 + 5 – 4 = 0

поэтому число 1 НЕ является корнем уравнения. Теперь проверим знаменатель при х = – 2:

2•(– 2)4 – 3•( – 2)3 + 5•( – 2) – 4 =

= 32 + 24 – 10 – 4 = 42

Получается, что единственное корень уравнения – это ( – 2).

Ответ: – 2

Сокращение рациональных выражений

Узнав, какие выражения являются рациональными, мы приступим к изучению их преобразований. Напомним главное свойство дроби:

20gfhgh

Оно означает, что числитель и знаменатель можно умножить на произвольное число (кроме нуля), то значение дроби останется прежним:

21hgj

Это правило остается верным и в том случае, когда вместо чисел используются переменные величины.

22juyui

Например, возможны такие преобразования рациональных выражений:

23gfdgfg

24gfhgh

Например, пусть надо привести дробь

25hghj

к знаменателю 6а2b2.

На что именно надо умножитель знаменатель, что получился одночлен 6а2b2? Очевидно, что

2b2 = 2а2b•3b

Поэтому выражения над и под дробной чертой надо умножить на 3b:

26hjghj

Использованный нами множитель 3b называют дополнительным множителем.

Обратная операция, при которой из знаменателя и числителя убирают совпадающие множители, называется сокращением дроби:

27jhgjhj

Это тождество означает, что дроби можно сокращать, убирая общий множитель, например:

28jhgj

 

Аналогичные действия можно совершать не только с числовыми дробями, но и с дробными выражениями:

29jhjk

В последнем примере мы вынесли общие множители за скобки (2х и 7у), чтобы над и под чертой появилась одинаковая сумма х + 3у, которую можно сократить.

Однако при сокращении дробей важно учитывать область ее допустимых значений, ведь из-за изменения знаменателя она может измениться. Например, пусть требуется построить график функции

30dsdf

В числителе стоит разность квадратов, которую можно разложить на множители:

31gfdg

Казалось бы, мы получили линейную функцию

y = x + 2

чей график нам известен – это прямая. Но она определена при всех возможных х, в то время как исходная дробь бессмысленна при х = 2, ведь тогда знаменатель становится равен нулю. Поэтому график функции будет выглядеть как прямая, однако одна из ее точек, с координатами (2; 4), будет «выколотой» точкой, и исключенной:

32hghh

Данный рисунок означает, что графиком функции – прямая линия, кроме точки (2; 4)

33mnbhj

Выколотая точка на графике изображается маленьким незакрашенным кружочком.

Следующее важное свойство дроби связано со знаком минус. Знак, стоящий перед дробью, можно перенести либо в знаменатель, либо в числитель:

34gfdg

Также напомним, что можно поменять местами уменьшаемое и вычитаемое в скобках, если изменить перед ней знак:

(а – b) = – (b– а)

Применение этих правил позволяет упрощать некоторые дроби, например:

35hgj

Более сложный пример:

36hgfh

Рассмотрим такое понятие, как однородный многочлен. Так называют тот полином, у которого все одночлены имеют одинаковую степень.

37jhgj

Подробнее о степени одночлена можно узнать в этом уроке. Если коротко, то степень одночлена – эта сумма степеней у всех переменных, входящих в его буквенную часть. Например, у следующих мономов степень равна 4:

  • 4 (у единственной переменной степень равна 4);
  • 3у (степень у х равна 3, а степень у равна 1, 3 + 1 = 4);
  • 2у2 (степени у обеих переменных равны 2, 2 + 2 = 4);
  • 10у4 (в буквенной части только переменная у, чья степень равна 4).

Соответственно, многочлен 3х4 + 8х3у + 5х2у2 + 10у4, составленный из всех этих мономов, будет однородным. Примерами однородных полиномов также являются:

  • z6 + v6 – 2z2v4 (здесь степени мономов равны 6);
  • a2 – ab (степень одночленов равна 2).

В отношении однородных полиномов, состоящих из двух переменных, можно применять особый прием. Достаточно поделить его на одну из переменных в степени полинома, и получится выражение, зависящее только от одной дроби. Поясним это на примере. Пусть надо вычислить значение отношения

38oiuo

если известно другое отношение:

39rtyy

В исходной дроби представляет собой отношение двух однородных полиномов третьей степени. Поэтому поделим их на y3 (можно было делить и на х3). При этом значение дроби не изменится, ведь мы делим числитель и знаменатель на одинаковый моном:

40dsdf

Получили выражение, которое зависит только от отношения

41dsdf

Попытаемся найти эту величину из условия

42gfdfg

Отсюда следует, что

43gffdg

Теперь подставим найденное отношение в формулу(1):

44hgj

До этого мы рассматривали примеры дробных выражений, состоящие из полиномов с целыми коэффициентами. Если же используются дробные числа, то от них всегда можно избавиться, домножив дробь на какое-нибудь число.

Например, дана дробь

45fdfgf

Коэффициенты при у и у2 дробные. Избавимся от них. Для этого используем дополнительный множитель 12:

46ggfgh

Далее рассмотрим сложение и вычитание дробных выражений. Проще всего эту операцию проводить в том случае, когда у дробей совпадают знаменатели. В такой ситуации используются уже нам известные правила:

47fgdfg

48fdgffg

49jhgj

 

Сложим две величины:

50fdfg

В их знаменателе стоит одинаковый полином, а потому операция будет выглядеть так:

51gfdggh

Здесь мы в числителе использовали формулу квадрата разности.

 

Теперь вычтем из выражения

52fghgh

дробь

53ghfh

У них совпадают знаменатели, поэтому проблем с вычитанием не возникает:

54hgfgh

Заметим, что обычно у дробных выражения стараются сокращать до тех пор, пока не получится несократимая дробь.

Если у дробей различные знаменатели, то приводят к общему знаменателю, домножая их на какой-нибудь дополнительный множитель.

 

Рассмотрим следующий пример:

55hghjhj

Знаменатели дробей разные, однако, обе дроби можно привести к знаменателю 24х2у3. Почему именно к нему? Дело в том, у коэффициентов мономов 6х2у и 8ху3 наименьшим общим кратным (НОК) является число 24 (о НОК можно узнать из этого урока). Добавим к этому коэффициенту переменные из одночленов с наибольшими показателями (х2 и у3) и получим моном 24х2у3. Итак,домножим первую дробь на 4у2, а вторую – на 3х:

56jjkk

Есть и более простой способ найти общий знаменатель, для этого достаточно просто перемножить знаменатели дробей-слагаемых. Однако дальнейшие преобразования будут более долгими. Решим таким путем тот же пример:

57jkhjk

В числителе возможно вынесение общего множителя 2ху за скобки:

58sdfdf

Видно, что конечный результат операции не изменился.

Если в знаменателях складываемых дробей стоят многочлены, то стоит попробовать разложить их на множители. За счет этого порою удается найти более простой общий знаменатель.

Пусть надо сложить выражения

59dfdg

Вынесем в знаменателях за скобки множители х и у:

60hgh

В знаменателях есть похожие множители, (3х – у) и (у – 3х). Чтобы они оказались одинаковыми, надо поменять местами вычитаемое и уменьшаемое в одних скобках. Для этого перед ними надо добавить знак «минус»:

61fghgh

Общим множителем этих дробей является произведение ху(3х – у):

62hgnb

Осталось разложить числитель, где стоит разность квадратов:

63dfg

Следующий важный навык, который может потребоваться при работе с рациональными выражениями – это выделение целой части из дроби.

 

Продемонстрируем эту операцию на примере

64fgfg

Перепишем дробь, поменяв порядок слагаемых в числителе:

65fdfg

И в знаменателе, и в числителе есть сумма х2 + 1. Теперь можно произвести выделение целой части:

66bngh

В справедливости данного преобразования можно убедиться, выполнив его «в обратную сторону»:

67bvbg

Любой многочлен можно сделать дробью, если приписать ему числитель, равный 1. Пусть надо упростить формулу

68gfdg

Заменим 2х – 1 на дробь и произведем вычитание:

69gfgdfg

70gfgd

Упростить далее эту дробь довольно сложно, но всё же возможно. Для этого надо заменить одночлен (– 3х2) на разность (– х2 – 2х2), а 14х на сумму (6х+8х). Посмотрим, что получится в результате:

71fdfg

Складывать можно и более двух дробей. Пусть надо упростить сумму

72nbgh

Будем складывать слагаемые последовательно, то есть сначала сложим два первых слагаемых, потом к результату добавим третье, а далее и 4-ое слагаемое:

73nhgj

74nghj

 

Представление дроби в виде суммы дробей

Сумму двух дробей можно представить в виде несократимой дроби единственным образом, например:

75hgfh

Однако у обратной задачи, разложения одной дроби на сумму нескольких других, есть бесконечной множество решений:

76bghjhj

То же самое верно в отношении дробных выражений. Например,

77mjk

можно разложить так:

78gfdg

С другой стороны, это же выражение можно представить в следующем виде:

79mhjk

Для раскладывания дроби на сумму дробей можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов, предложенным Рене Декартом в 1637 году. Покажем, как его использовать, на примере. Пусть надо представить в виде суммы двух дробей отношение

80dsgf

Заметим, что знаменатель х2 – 4 можно записать как произведение полиномов первой степени (х – 2)(х + 2):

81sdf

Это означает, что исходное выражение можно представить как сумму дробей со знаменателями (х – 2) и (х + 2). Обозначим числители в этих дробях как неизвестные величины aи b (они и носят название неопределенных коэффициентов). Тогда можно записать, что

82dfg

Задача сводится к тому, чтобы найти a и b. Для этого преобразуем сумму дробей:

83bgfh

Полученная дробь должна равняться исходной дроби:

84nbgh

У правой и левой части равны знаменатели, а значит, должны равняться и числители:

(a + b)x + (2a– 2b) = 2x + 6

Это тождество может быть верным только тогда, когда справа и слева равны коэффициенты перед переменной х, а также свободные члены, поэтому можно записать систему:

85nhgj

Решив эту систему, мы сможем найти значения a и b. Используем метод подстановки, выразив а из первого уравнения:

а + b = 2

а = 2 – b

Подставим эту формулу во второе уравнение:

2а – 2b = 6

2 (2 – b) – 2b = 6

4 – 4b = 6

– 4b = 10

b = – 2,5

Далее находим a:

а = 2 – b = 2 – (– 2,5) = 2 + 2,5 = 4,5

Итак, получили, что a = 4,5 и b = – 2,5. Это значит, исходную дробь можно разложить следующим образом:

86nhghjk

87dfgg

Теперь рассмотрим, как производится умножение и деление дробных выражений. Эти действия аналогичны операциям с обычными числами, которые уже изучались в 5 классе. Напомним две основные формулы:

88gfhgfh

89fdfg

90fdfgf

Пусть требуется перемножить величины

91dsdfdf

Эта операция осуществляется так:

92dsrtfg

Теперь посмотрим, как выполняется деление:

93bghh

Деление заменяется умножением на дробь, обратную делителю:

94bgfhy

Для упрощения выражений часто используют формулы сокращенного умножения:

95nghjhg

При возведении дроби в степень надо отдельно возводить в степени знаменатель и числитель:

96gfhgh

Вообще для любого натурального числа nбудет верным тождество:

97hgfh

Пусть надо возвести в 4-ую степень дробь

98nhgj

Выглядеть это будет так:

99jhhjg

Преобразование рациональных выражений

Если у дроби в знаменателе и числителе записаны полиномы, то ее называют рациональной дробью. В виде рациональной дроби можно записать любое рациональное выражение.

Пусть надо записать в виде рациональной дроби выражение

100vfgdfg

Сначала выполним вычитание в скобках, а потом и деление:

101fdhgh

Обратим внимание, что выражение

(2а + 1)2 – (2а – 1)2

представляет собой не что иное, как разность квадратов, для которой можно применить формулу сокращенного умножения:

(2а + 1)2 – (2а – 1)2 = (2а + 1 + 2а – 1)( 2а + 1 – (2а – 1)) =

= (2а + 1 + 2а – 1)( 2а + 1 – 2а + 1).

Используя это, продолжим работать с дробью:

102vfdhg

Однако иногда удобнее не производить вычисления в скобках, а использовать распределительный закон умножения:

(а + b)с = ас + bc

Пусть требуется упростить произведение:

103bgfhf

Сначала раскроем скобки:

104bghjhj

105nhgjkk

Часто проблемы возникают с так называемыми «многоэтажными» дробями. Так называют дроби, у которых в числителе и знаменателе стоят другие дробные выражения. Выглядят они внушительно, однако правила работы с ними такие же, как и с другими выражениями. Каждая дробная черта просто означает операцию деления.

Пусть требуется выполнить преобразование дробного рационального выражения

106ghh

Сначала представим эту дробь как операцию деления:

107nhgj

Теперь в каждой из скобок произведем сложение:

108gfdhgh

Осталось заменить деление на умножение:

109fdgfgt

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
При каких значениях величины v выражение v/(v2– 1) не имеет смысла?
1выражение имеет смысл при любом значении v
21
3-1 и 1
Ответить
3
Вопрос: 2
Укажите координаты «выколотой точки» для графика функции у = (х – 3)2/(х – 3)
1(0; 3)
2(3; 0)
3(2; 4)
4(5; 6)
Ответить
2
Вопрос: 3
Чему равно произведение выражений 5/х3 и х4/у?
15х/у
25
35у/х
45ху
Ответить
1
Вопрос: 4
найдите сумму дробей 1/а и 1/b
1(а – b)/ab
2ab/(а – b)
3(а + b)/ab
4ab/(а +b)
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

При каких значениях величины v выражение v/(v2– 1) не имеет смысла?
1) выражение имеет смысл при любом значении v 2) 1 3) -1 и 1
2 вопрос:

Укажите координаты «выколотой точки» для графика функции у = (х – 3)2/(х – 3)
1) (0; 3) 2) (3; 0) 3) (2; 4) 4) (5; 6)
3 вопрос:

Чему равно произведение выражений 5/х3 и х4/у?
1) 5х/у 2) 5 3) 5у/х 4) 5ху
4 вопрос:

найдите сумму дробей 1/а и 1/b
1) (а – b)/ab 2) ab/(а – b) 3) (а + b)/ab 4) ab/(а +b)
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: -1 и 1
2 вопрос: (3; 0)
3 вопрос: 5х/у
4 вопрос: (а + b)/ab
slide9

По нашей ссылке лучшие условия от Тинькофф Банка

Перейти

Получи кэшбэк до 30% и процент на остаток 5%

Перейти slide8