Алгебра

Урок 1: Понятие производной

Понятие производной

В 11 классе школьники изучают основы одного из важнейших разделов математики – математического анализа, который имеет огромное практическое значение. Важнейшим понятием всего математического анализа является производная. Однако чтобы понять, что она из себя представляет, сначала необходимо познакомиться с пределами функций.

Только актуальные модели очков 2021

Перейти slide11

Пляжные панамы! Каждому покупателю подарок!

Перейти slide11

Распродажа стильных сумок на 100trendov.com

Перейти slide11

План урока:

Предел функции на бесконечности

Предел функции в точке

Приращение аргумента и функции  

Средняя скорость изменения функции

Мгновенная скорость и понятие производной

 

Предел функции на бесконечности

Рассмотрим довольно простую функцию

y = 1/x

Её график называется гиперболой и выглядит так:

1 grafik giperboly

Можно заметить, что при больших положительных значениях х график функции приближается к горизонтальной оси Ох, но не пересекает её. Действительно, если мы будем вычислять значение у при всё больших значениях х, то будем получать всё меньшие, но всё же положительные числа:

2ytuyu

Получается, что при бесконечном росте аргумента х функция стремится к нулю. Можно ли эту особенность функции как-то записать, используя математические символы? Оказывается, можно, и выглядит это запись так:

3gfgh

которая означает, что х стремится к бесконечности. После символа lim записана сама функция 1/х. В целом вся запись читается так: «предел функции у = 1/х при х, стремящемся к бесконечности, равен нулю».

Вернемся к графику функции у = 1/х. Видно, что если мы будем брать всё меньшие отрицательные значения х, то функция также будет стремится к нулю. Действительно, попробуем подставлять в нее как можно меньшие значения аргумента:

4hfgh

Чтобы записать эту особенность функции, используется следующая запись:

5hfgh

который может быть получен параллельным переносом графика у = 1/х на две единицы вверх:

2 grafik funkcii parallelnym perenosom grafika

Очевидно, что пределы этой функции при х → + ∞ и х → – ∞ равны 2:

7ghfgh

Возможны случаи, когда при бесконечном увеличении аргумента функции она не стремится к какому-то конкретному числу, а сама также неограниченно возрастает. Для примера посмотрим на график у = х3:

3 grafik u3

Видно, что при х → ∞ сама функция неограниченно растет, что можно показать расчетами:

9jghj

Возникает вопрос – для всякой ли функции можно указать ее предел на бесконечности? Оказывается, что нет. Для примера рассмотрим тригонометрическую функцию у = sinx, графиком которой является синусоида:

4 trigonometricheskaya funkciya usinx

С одной стороны, sinx явно не стремится к какому-то конкретному числу при увеличении х, он «колеблется» между числами 1 и (– 1). С другой стороны, нельзя и сказать, что он стремится к бесконечности. Получается, что у этой функции просто нет пределов на бесконечности.

Предел функции в точке

Порою нас интересует поведение функции не на бесконечности, а вблизи конкретной точки х0. Конечно, в большинстве случае можно просто вычислить функцию в этой точке, однако иногда это невозможно сделать. Для примера рассмотрим функцию

11bgfh

Очевидно, что точка х = 2 не входит в ее область определения, ведь при подстановке этого значения в функцию знаменатель дроби обратится в ноль. Однако в любой другой точке значение функции будет равняться единице:

12fgh

График такой функции будет выглядеть как прямая у = 1, у которой есть одна «выколотая точка», соответствующая х = 2:

13gfgh

Итак, функция не определена в точке х = 2, однако можно вычислить предел функции в точке х = 2. Действительно, при любом, сколь угодно близком к 2 значении х функция будет равна единице:

14gdfg

Попробуем также приблизиться к точке 2 с другой стороны, подставляя в функцию числа, меньшие двух:

15bfgh

Снова всё время получается единица. Поэтому мы можем уверенно записать, что

16jghj

Значительно чаще приходится иметь дело с пределами в точке, которые равны бесконечности. Снова посмотрим на график функции у = 1/х:

17nghj

Видно, график не пересекает ось Оу, ведь число х = 0 не входит в область определения функции. Однако можно заметить, что при приближении х к нулю функция неограниченно возрастает:

18jghj

Обратите внимание, что под пределом мы использовали запись «х → + 0», а не «х → 0». Почему? Дело в том, что если мы будем приближаться к нулю с «противоположной» стороны, подставляя в функцию не положительные, а отрицательные числа, то функция будет стремится к – ∞:

19hfgh

Получается, что предел функции в точке х = 0 зависит от того, с какой стороны мы приближаемся к этой точке, слева или справа. В связи с этим в математике существует понятие односторонних пределов. Для обозначения пределов, получаемых при приближении к нулю справа, то есть со стороны бОльших чисел, перед ним ставят знак плюс, а при указании предела слева, то есть со стороны мЕньших чисел – знак минус:

20jghj

Предел и односторонние пределы – это два разных понятия. Считается, что функция имеет предел в точке только тогда, когда оба односторонних предела в этой точке совпадают.

В качестве ещё одного примера предела функции в точке можно привести зависимость у = tg х, график которой выглядит следующим образом:

21gfdg

В точке х = π/2 функция не определена. Однако видно, что при приближении к этой точке слева функция неограниченно возрастает, а при приближении справа – неограниченно убывает. Это записывается следующим образом:

22hfgh

До этого мы вычисляли пределы функций в точках, где сами функции не определены. Однако пределы можно вычислять и в тех точках, где функция определена. В большинстве случаев (но не всегда) они как раз равны значению функции в этой точке. Например, найдем предел

23gdfg

В точке х = 2 значение функции будет равно 4:

24gdfg

Будут ли односторонние пределы в этой точке также равняться 4? Сначала проверим предел справа

25ghfgh

Действительно, получаем значения у, всё более близкие к 4. Аналогично можно убедиться, что и предел слева также равен 4:

26ffgh

Приведем несколько искусственный пример функции, у которой предел в точке не совпадает со значением функции в этой точке. Пусть функция задается с помощью такого графика

27hfgh

Он представляет собой параболу у = х2 с выколотой точкой (2; 4). При этом функция определена в точке х = 2, но имеет там значение, равное единице. Аналитически эту функцию можно описать так:

28hfgh

Понятно, что у(2) = 1, однако попытаемся приблизиться к точке х = 2 справа и слева и посмотрим, что получится:

29jghj

Мы видим, что при х→2 функция и справа, и слева стремится к четверке, а не к единице. То есть получается, что предел функции в точке х = 2 не совпадает со значением функции этой функции в этой же точке. Такая ситуация произошла именно из-за того, что точка х = является выколотой.

Сразу заметим, что непосредственно в практических задачах пределы почти не используются. В связи с этим эта тема изучается в школьном курсе довольно поверхностно, не дается строгое определение предела функции (предполагается, что это понятие интуитивно понятно), а также не рассматриваются примеры на вычисление пределов функций. С другой стороны, на понятии предела построены почти все строгие рассуждения и доказательства в математическом анализе. В частности, определение понятие производной (которая имеет огромное практическое применение) дается именно с помощью предела. Поэтому полностью исключить пределы из школьного курса нельзя.

Приращение аргумента и функции

Часто нас интересует, как изменяется функция при изменении аргумента. Например, известно, что объем куба вычисляется по формуле

30hfgh

где а – ребро куба. Предположим, что мы провели измерения какого-то куба и выяснили, что длина его ребра равна 2 см. Тогда объем куба составит 23 = 8 см3. Но ведь любое измерение производится не с абсолютной точностью, а с некоторой погрешностью. Как оценить погрешность вычисления объема, если известна погрешность измерения его ребра?

Пусть с учетом погрешности линейки, составляющей 0,1 см, известно, что длина ребра находится в диапазоне от 2 до 2 + 0,1 = 2,1 см. Тогда максимально возможный объем куба составит 2,13 = 9,261 см3. Получается, что погрешность в измерении объема куба составляет 9,261 – 8 = 1,261 см3.

С точки зрения математического анализа мы в данном случае рассматривали поведение функции у = х3 в точке х = 2. Мы допустили некоторое изменение величины х, которое называют приращением аргумента и обозначают как ∆х. Далее мы высчитали, какое изменение величины у, или приращение функции, обозначаемое как ∆у, соответствует этому приращению аргумента. Выяснилось, что приращению ∆х = 0,1 соответствует приращение ∆у = 1,261.

В более общем случае произвольной функции у = f(x) можно дать некоторое приращение ∆х в некоторой точке х0. В результате этого изменится и само значение f(x), причем величину этого изменения обозначают как ∆у. Это можно проиллюстрировать графически:

31gdfg

 

Задание. Дана функция у = 3х2 + х + 4. Вычислите приращение функции в точке х0 = 5, если ∆х = 1.

Решение. Сначала вычислим новое значение аргумента функции, с учетом данного ему приращения:

32dfghg

Далее вычислим значения функции, соответствующие старому и новому аргументу:

33gdfg

Задание. Радиус круга, измеренный с погрешностью не более 0,5 см в меньшую сторону, равен 10 см. Оцените погрешность вычисления его площади.

Решение. Площадь круга рассчитывается по формуле:

34gdfg

 

Средняя скорость изменения функции

Часто в физике и других естественнонаучных дисциплинах одни величины характеризуют изменение других величин. Классический случай – это скорость, которая характеризует, насколько быстро изменилось положение тела (или материальной точки в пространстве). Рассмотрим пример. Пусть пешеход движется по прямой улице с постоянной скоростью 2 м/с. Попытаемся построить график, который иллюстрирует зависимость пройденного пешеходом пути и его скорости от времени. Известно, что при равномерном прямолинейном движении пройденный путь можно найти по формуле:

S = v*t

Где s – путь;

V – скорость;

t – время.

Так как скорость равна 2 м/с, то зависимость пути от времени будет выглядеть так:

s(t) = 2t

которая является прямой пропорциональностью. Поэтому ее график будет прямой линией:

35gdfg

Так как скорость во время всего движения остается равной 2 м/с, то зависимость скорости от времени будет иметь вид v = 2, а выглядеть она будет как горизонтальная линия:

36hfgh

В данном случае найти зависимости s(t) и v(t) было очень легко. Но теперь усложним задачу. Пусть зависимость s(t) задается не прямой линией, а некоторой кривой:

37fghfgh

Можно ли теперь что-то сказать о скорости движения пешехода?

Ясно, что в различные моменты времени скорость пешехода различна. Но мы можем найти среднюю скорость пешехода в какой-то момент времени. Например, рассмотрим промежуток времени со 2-ой по 10-ую секунду.

Его протяженность, очевидно, равна 10 – 2 = 8 секундам. Если первый момент времени обозначить как t1, а второй как t2, то протяженность этого промежутка времени (∆t) можно вычислить по формуле

38ghj

Судя по графику, к моменту времени t1 пешеход прошел только 1 метр, а на момент t2он преодолел уже 9,5 м. Сколько же метров он прошел за промежуток времени ∆t? Если первое расстояние обозначить как s1, а второе как s2, то пройденное расстояние (∆s) можно рассчитать так:

39hfgh

Тогда средняя скорость на рассматриваемом участке можно вычислить, поделив ∆s на ∆t

40hfghf

В данной ситуации мы рассматривали функцию, которая задает зависимость между перемещением пешехода и временем. Средняя скорость характеризует, как быстро двигается пешеход, то есть как быстро функция s(t) меняет своё значение. Очевидно, что в данном случае величина ∆t – это некоторое приращение аргумента функции s(t), в то время как ∆s– это приращение самой функции. Получается, что с помощью приращений можно вычислять среднюю скорость объектов.

Однако в физике рассматривается не только скорость перемещения вточек пространстве. Например, можно говорить о скорости остывания горячего чайника. Пусть его температура меняется по закону, график которого представлен на рисунке:

41hfgh

Можно ли узнать, с какой средней скоростью остывал чайник на промежутках от 2-ой до 4-ой минуты? Да, для этого надо в точке t = 2 мин дать приращение аргумента ∆t = 2мин и посмотреть, какое приращение ∆T получит сама функция:

42hfgh

Пусть t1 = 2 мин, а t2 = 4 мин. Тогда

43gdfg

По графику видно, что в момент tтемпература чайника составляет Т1 = 40°С. Через две минуты она уже упала до отметки Т2 = 20°С. Получается, что за промежуток ∆t функция T(t) получила приращение

44hfgh

Обратите внимание, что приращение оказалось отрицательным. Дело в том, что температура чайника падала, то изменялась в меньшую сторону. Знак минус указывает именно на направление изменения функции. Если бы чайник нагревался, то приращение оказалось бы положительным.

Теперь мы можем вычислить среднюю скорость остывания чайника на промежутке между 2-ой и 4-ой минутой:

45gfgh

Знак минус указывает на то, что температура на этом промежутке времени уменьшается, а не возрастает.

В более общем случае, когда у нас есть произвольная функция у = f(x), с помощью приращений можно вычислить среднюю скорость её изменения на каком-нибудь промежутке. Пусть первая точка промежутка обозначается как х0, а его протяженность составляет ∆х. Тогда первой точке соответствует значение функции у(x0), а концу промежутка – значение у(x0 + ∆x):

46ghfgh

Тогда средняя скорость изменения функции на промежутке [x0;x0 + ∆x] рассчитывается по формуле:

47hfgh

Мгновенная скорость и понятие производной

Итак, зная функцию, можно вычислить среднюю скорость ее изменения на любом промежутке. Но, когда автомобиль едет по шоссе, его спидометр показывает не среднее, а конкретное значение скорости в каждый момент времени. Другими словами, у автомобиля есть мгновенная скорость, и именно ее показывает спидометр. Как же узнать ее?

Пусть у нас есть функция s(t), определяющая пройденной машиной путь, и нам требуется найти мгновенную скорость в некоторый момент времени t1. Мы можем дать функции s(t) приращение ∆t, а потом найти и среднюю скорость на промежутке [t1; t1 + ∆t]. Естественно, она будет являться лишь некоторым приближением, с помощью которого мы оцениваем мгновенную скорость в момент t1. Однако далее мы можем уменьшить промежуток ∆t. Тогда у нас получится иное значение средней скорости, которое будет более близким к мгновенной скорости. Чем меньший промежуток ∆t мы возьмем, тем ближе к мгновенной скорости в точке tбудет полученное нами значение средней скорости.

Например, пусть путь, пройденный машиной, задается функций s = t2. Нас интересует скорость автомобиля в момент t1 = 5 сек. Мы можем найти среднюю скорость на интервале от 5-ой до 6-ой секунды. Так, к пятой секунде машина успеет проехать 52 = 25 метров, а к шестой секунде она проедет 62 = 36 метров. Получится, что за промежуток ∆t, равный 6 – 5 = 1 секунде, машина проедет путь ∆s = 36 – 25 = 11 метров. Тогда средняя скорость на промежутке составит

48hfgh

Теперь возьмем более короткий промежуток ∆t, равный всего лишь 0,1 с. То есть мы рассмотрим период времени между моментом t1 = 5 cи t2 = 5,1 c. Снова-таки, к 5-ой секунде машина проедет 25 метров, а к моменту 5,1 сона пройдет 5,12 = 26,01 м. То есть за 0,1 с автомобиль преодолеет 26,01 – 25 – 1,01 м, а средняя скорость при этом составит

49jghj

Ещё раз уменьшим промежуток ∆t. Пусть теперь он составляет всего 0,01с. Тогда средняя скорость будет определяться так:

50hfgh

Видно, что при уменьшении промежутка ∆t средняя скорость стремится к величине 10 м/с. Поэтому логично считать именно эту величину мгновенной скоростью машины в момент времени t = 5 c. Однако возникает вопрос – уверены ли мы, что мгновенная скорость стремится именно к 10 м/с, а не, скажем, к 10,001 м/с? Как точно определить это число? Здесь как раз помогают пределы. Можно записать, что мгновенная скорость – это предел отношения ∆s/∆t при ∆t, стремящемся к нулю. То есть

51hfgh

Получили, что мгновенная скорость в момент t1 = 5 действительно равна 10 м/с.

 

Задание. Вычислите мгновенную скорость разгоняющегося самолета через 10 секунд после начала разгона, если пройденное им расстояние задается законом s(t) = 5t2.

Решение. За 10 секунд самолет успеет преодолеть

52hfgh

Дадим функции s(t) приращение ∆t и обозначим как t1 момент времени, когда со старта прошло 10 секунд. Тогда к моменту t1 + ∆t самолет успеет пройти

53hfgh

 

Решая данную задачу, мы дали функции s(t) приращение ∆t и записали отношение ∆s/∆t. Далее мы устремили величину ∆t к нулю и посмотрели, к какому числу устремится отношение ∆s/∆t. Это число и оказалось мгновенной скоростью. В более общем случае произвольной функции у = f(x)в точке х0 можно дать приращение аргумента ∆х, которому будет соответствовать некоторое приращение функции ∆у. Далее можно вычислить предел отношения ∆у/∆х, который будет характеризовать, как быстро в точке х0 функция меняет свое значение. Этот предел называют производной функции в точке х0. Для обозначения производной над функцией ставят штрих.

54hfgh

В общем случае алгоритм вычисления производной в некоторой точке следующий:

1.Фиксируем точку х0, вычисляем для нее значение функции у(х). Это значение будет конкретным числом

  1. Даем функции приращение аргумента ∆х, переходим в новую точку х0 + ∆х, вычисляем в ней значение функции у(х0 + ∆х). Это значение будет не числом, а выражением, содержащим переменную ∆х.
  2. Находим приращение функции ∆у, используя формулу

55hfgh

Это приращение также должно содержать величину ∆х.

  1. Составляем соотношение ∆у/∆х.
  2. Находим предел этого отношения при ∆х→0. Этот предел и есть значение производной.

 

Задание. Найдите производную функции у = 4х2 + 7х в точке х0 = 2.

Решение. Сначала вычислим значение функции в точке х0:

56hfgh

Далее определяем величину у(х0 + ∆х) (это будет не конкретное число, а некоторое выражение, содержащее переменную ∆х):

57hfgh

Задание. Найдите производную функции у = 1/х в точке х0 = 5.

Решение. Высчитаем у(х0):

58hfgh

Пусть у функции есть приращение ∆х, тогда в точке х0 + ∆х ее значение составит:

59hfgh

 

В рассмотренных примерах для вычисления производной мы использовали ее определение. Однако на практике такой метод почти не используется. В будущем мы узнаем более эффективные способы для нахождения производной.

Мы уже убедились, что использование производной помогает находить мгновенную скорость тел. По этой причине понятие производной функции играет огромную роль в механике (разделе физике, изучающем движение). Однако этим ее практическое применение не ограничивается. По сути, она является основой для всей классической физики, и именно ее появление в XVII в. обеспечило выдающийся прогресс в науке вплоть до конца XIX в. При этом производная используется и в геометрии для анализа графиков функций. Более подробно ее применение будет также рассмотрено позже.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Чему равен предел функции у = х 4 при х→ + ∞
11
3- ∞
4+ ∞
Ответить
4
Вопрос: 2
Функции у = х 3 в точке х0 = 10 дали приращение ∆х = 1. Чему в таком случае равно приращение функции ∆у?
1182
2331
3-236
4745
Ответить
2
Вопрос: 3
Путь, пройденный разгоняющимся мотоциклом с момента движения, описывается законом s(t) = t 2 . Чему мгновенная скорость мотоциклиста (в м/с) через 7 секунд после начала разгона?
114
212
316
47
Ответить
1
Вопрос: 4
Вычислите производную функции у = 1/х в точке х0 = 10
1-10
2-0.001
3-0.01
40.01
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Чему равен предел функции у = х 4 при х→ + ∞
1) 1 3) - ∞ 4) + ∞
2 вопрос:

Функции у = х 3 в точке х0 = 10 дали приращение ∆х = 1. Чему в таком случае равно приращение функции ∆у?
1) 182 2) 331 3) -236 4) 745
3 вопрос:

Путь, пройденный разгоняющимся мотоциклом с момента движения, описывается законом s(t) = t 2 . Чему мгновенная скорость мотоциклиста (в м/с) через 7 секунд после начала разгона?
1) 14 2) 12 3) 16 4) 7
4 вопрос:

Вычислите производную функции у = 1/х в точке х0 = 10
1) -10 2) -0.001 3) -0.01 4) 0.01
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: + ∞
2 вопрос: 331
3 вопрос: 14
4 вопрос: -0.01

Стильные украшения          лето-осень 2021

Перейти slide11

Самые популярные модели на 100trendov

Перейти slide11

Заколки на волосы, цепи, ожерелья и многое другое

Перейти slide11