План урока:

Понятие многоугольника

Выпуклый многоугольник

Четырехугольник

Параллелограмм

Признаки параллелограмма

Теорема Фалеса

 

Понятие многоугольника

Построим на плоскости отрезок А₁А₂. Выберем произвольную точку А₃, не лежащую на прямой А₁А₂, и соединим ее с точкой А₂. Получится фигура, состоящая из двух отрезков. Можно отметить на плоскости следующую точку А₄, не лежащую на прямой А₂А₃, и также соединить ее с А₃. Получим три соединенных друг с другом отрезка. Процесс можно продолжать сколь угодно долго. Фигура, получаемая при таком построении, называется ломанной.

Отрезки А₁А₂, А₂А₃ и т.д. называют звеньями ломанной. Если начало и конец ломанной совпадают друг с другом, а ее звенья не пересекаются, то ломанная образует замкнутую фигуру, которая называется многоугольником (иногда используют сокращение многоуг-к):

Для примера покажем замкнутую ломанную, имеющую самопересечения. Она НЕ является многоугольником:

Каждое звено ломанной называется стороной многоуг-ка, а их начальные и конечные точки – это вершины многоугольника. Число сторон многоуг-ка всегда равно количеству его вершин. Если сложить длину всех сторон многоуг-ка, то можно получить величину, которую называют периметром многоугольника.

Задание. Найдите периметр многоугольника, длины сторон которого показаны на рисунке:

Решение. Для нахождения периметра (его обычно обозначают буквой Р) надо просто сложить длины всех сторон:

В общем случае, когда многоуг-к имеет n сторон, его называют n-угольником. В частности, многоуг-к с тремя сторонами называется треугольником, с четырьмя сторонами – четырехугольником и т.д.

Любые две вершины многоуг-ка, которые соединены друг с другом его стороной, называются соседними вершинами. Отрезок, соединяющий любые несоседние вершины многоуг-ка, называется диагональю многоугольника:

Можно заметить, что любой многоуг-к делит плоскость на две области – внутреннюю, ограниченную сторонами многоугольника, и внешнюю.

Выпуклый многоугольник

В рамках школьной геометрии в основном изучают особые многоугольники, которые называются выпуклыми. Они отличаются тем, что полностью лежат с одной стороны от любой прямой, проходящей через соседние вершины многоугольника. Проиллюстрируем понятие выпуклого многоуг-ка с помощью рисунка:

Здесь АВСD – выпуклый многоугольник, так как ни одна из прямых, проходящих через его стороны, не пересекает его. А многоуг-к ЕРМК выпуклым не является, ведь прямые КМ и ЕМ проходят сквозь него и делят многоуг-к на две части.

Есть несколько свойств выпуклого многоугольника, которые иногда используются для того, чтобы дать ему определение. Во-первых, у всякого выпуклого многоуг-ка любая диагональ полностью лежит внутри многоуг-ка. Если же хоть одна диагональ лежит вне площади, ограниченной многоуг-ком, то он является невыпуклым:

Во-вторых, если в выпуклом многоуг-ке любые две точки внутренней области соединить отрезком, то он будет полностью лежать внутри многоуг-ка. У невыпуклого же многоуг-ка обязательно найдутся такие две точки внутренней области, что отрезок, соединяющий их, будет проходить и через внешнюю область. В частности, на рисунке отрезок RQ соединяет две точки выпуклого моногоуг-ка, поэтому он обязательно должен полностью лежать внутри АВСD. Многоугольник ЕРМК является невыпуклым, поэтому обязательно найдутся такие точки Т и Н, что отрезок ТН будет частично «выходить» за пределы внутренней области ЕРМН:

Любые две соседние стороны многоуг-ка образуют угол, который часто именуют той же буквой, что и соответствующую вершину многоуг-ка:

Существует особая формула, которая позволяет находить сумму углов выпуклого многоугольника. Для ее вывода изобразим произвольный выпуклый многоуг-к, у которого n вершин, и построим в нем диагонали, исходящие из одной вершины. В результате мы получим несколько треугольников:

Сначала попытаемся сосчитать количество получившихся диагоналей. Диагонали соединяют вершину А с всеми вершинами, кроме двух соседних (на рисунке это В и F) и самой вершины А. То есть из n вершин только 3 (А, В и F) не могут быть соединены диагональю с А, а остальные (n – 3) точки с ней соединены. Тогда и диагоналей ровно (n – 3).

Теперь посчитаем число получившихся треугольников. Каждая диагональ разбивает одну часть многоугольника на две. Таким образом, треугольников ровно на единицу больше, чем диагоналей, то есть их количество равно (n – 2).

Можно заметить, что сумма углов всех этих получившихся треуг-ков в точности равна сумме углов многоуг-ка. Однако нам уже известно, что сумма углов в треуг-ке равна 180°. Тогда в многоугольнике с n сторонами эта сумма будет равна величине 180°(n– 2).

Задание. Найдите, чему равна сумма углов четырехугольника, пятиугольника и стоугольника.

Решение. У четырехугольника 4 вершины, то есть n = 4. Просто подставляем это значение в формулу:

Аналогично для пятиугольника принимаем n = 5:

Наконец, для стоугольника число n будет равно 100:

Ответ: 360°; 540°; 17640°.

 

Задание. У выпуклого шестиугольника все углы равны. Чему они равны?

Решение. Если сложить все углы шестиугольника, то получится сумма, равная

Всего углов шесть, поэтому для нахождения каждого угла их сумму следует поделить на 6:

Ответ: 120°.

 

Задание. Сколько сторон имеет многоугольник, если каждый его угол равен 135°?

Решение. Обозначим число сторон многоугольника буквой n. Сумма всех его углов будет равна величине 180(n– 2). Если все углы равны друг другу, то каждый из них равен

Приравняв эту дробь к 135°, получим уравнение, из которого можно найти n:

Четырехугольник

Частным случаем многоугольника является четырехугольник (четырехуг-ник) – плоская фигура с 4 вершинами. Выше мы уже выяснили, что сумма углов четырехугольника равна 360°. Те стороны четырехуг-ка, которые не являются смежными, называются противоположными.

 

Задание. Периметр четырехуг-ка равен 80 см. Известно, что его наибольшая сторона больше трех других сторон на 3, 4 и 5 см. Найдите каждую из сторон четырехугольника.

Решение. Обозначим длину наибольшей стороны переменной х. Тогда длины оставшихся сторон будут равны величинам х – 3, х – 4 и х – 5 см. Из условия ясно, что их сумма должна равняться 80 см, поэтому можно составить уравнение:

Итак, наибольшая сторона имеет длину 23 см. Теперь мы можем вычислить и три оставшиеся стороны:

 

Задание. Один из углов четырехуг-ка равен 135°, а три остальных равны друг другу. Определите величину этих углов.

Решение. Обозначим углы цифрами. Тогда условие задачи можно записать так:

Задание. Углы четырехуг-ка пропорциональны числам 1, 2, 4 и 5. Рассчитайте их величину.

Решение. Условие задачи означает, что наименьший угол, который пропорционален числу 1, меньше трех других углов в 2, 4 и 5 раз. То есть, если обозначить его как х, то тогда другие углы будут равны 2х, 4х и 5х. Тогда можно составить следующее уравнение:

Параллелограмм

Большой интерес для геометрии представляют частные случаи четырехуг-ков, которые обладают особыми свойствами. Одним из них является параллелограмм. Так называют четырехуг-к, у которого противоположные стороны параллельны друг другу.

 

Задание. АВСD– выпуклый четырехугольник. Известно, что

 

Можно ли утверждать, что АВСD – это параллелограмм?

Решение. Используем рисунок:

Нам уже известно, что сумма углов четырехуг-ка АВCD равна 360°. На рисунке видно, что сумма углов при каждой стороне одинакова:

Теперь заметим, что прямая АВ– это секущая для АD и BC, причем∠А и ∠Вв таком случае являются односторонними. Но если сумма односторонних углов равна 180°, то прямые должны быть параллельными, то есть АD||BC. Аналогично, рассматривая АD как секущую прямых АВ и СD, и учитывая, что

можно доказать параллельность отрезков АВ и СD.Тогда получается, что противоположные стороны четырехугольника АВCD параллельны. Значит, он является параллелограммом.

Параллелограмм обладает примечательным свойством – его противоположные стороны равны друг другу, также как и противоположные углы.

Докажем эти утверждения. Для этого построим произвольный параллелограмм АВCD и проведем в нем диагональ:

В результате получились два треуг-ка: ∆АВD и ∆ВСD. У них есть общая сторона ВD. Далее заметим, что диагональ ВD является секущей как для параллельных прямых ВС и АD, так и для АВ и CD (параллельны же эти отрезки по определению параллелограмма). Но накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, поэтому

Теперь мы видим, что у ∆АВD и ∆ВСD есть равная сторона, а также равны и прилегающие к ней углы. Отсюда делаем вывод, что

Из этого сразу вытекает, что

Также очевидно, что и ∠В = ∠D, ведь они могут быть представлены в виде суммы углов, которые соответственно равны друг другу:

Задание. Периметр параллелограмма равен 48 см. Известно, что одна из его сторон больше другой на 3 см. Найдите все стороны параллелограмма.

Решение. Обозначим меньшую сторону переменной х, тогда большая сторона параллелограмма будет равна х + 3 см. Так как противоположные стороны у параллелограмма одинаковы, то две другие стороны также будут равны х и х + 3 см:

Сложив длины всех сторон и приравняв эту сумму к 48 см, получим уравнение:

Задание. Биссектриса угла М параллелограмма МКНР пересекает сторону КН в точке Е. Известно, что КЕ = 15 см, а ЕН = 9 см. Чему равен периметр МКНР?

Решение: Выполним построение по условию задачи:

Чтобы найти периметр, надо знать длины двух смежных сторон параллелограмма. Проще всего найти КН:

Осталось найти МК. Заметим, что биссектриса МЕ является секущей параллельных КН и МР. Из этого вытекает, что

ведь они накрест лежащие. В свою очередь

ведь биссектриса МЕ разбивает ∠М на два равных угла. Из этих двух равенств получаем, что

Получается, что в∆КЕМ два угла равны. А значит, он равнобедренный, причем основанием является МЕ. Это значит, что

Две смежные стороны нам известны, теперь мы можем найти периметр:

 

Задание. Известен один из углов параллелограмма, он равен 84°. Найдите все остальные его углы.

Решение. Обозначим параллелограмм буквами АВСD, и пусть

Проще всего найти ∠С, ведь противоположные углы параллелограмма равны:

Сумма углов∠А и ∠В должна равняться 180°, ведь они являются односторонними при параллельных прямых ВС и AD. Это позволяет найти∠В:

Углы∠В и ∠D одинаковы, ведь они являются противоположными в параллелограмме:

Второе свойство параллелограмма связано с его диагоналями.

Докажем это утверждения, построив следующий рисунок:

Пусть диагонали ABСD пересекаются в точке, обозначенной буквой О. Рассмотрим ∆АОB и ∆СОD. Их стороны АВ и CD одинаковы, ведь в параллелограмме АВСD они являются противоположными сторонами. Также как накрест лежащие равны следующие углы:

По 2-ому признаку равенства треуг-ков можно сделать вывод, что

Это как раз и означает, что точка О – это середина диагоналей.

Признаки параллелограмма

Существует несколько признаков, которые позволяют доказать, что тот или иной четырехуг-к является параллелограммом. Рассмотрим первый из них.

Пусть в четырехуг-ке параллельны и равны стороны АB и CD. Проведем диагональ ВD. Она окажется секущей для АВ и СD, поэтому накрест лежащие углы окажутся равными:

Сторона ВD – общая, а АВ = СD по условию. Тогда по 1-ому признаку равенства треуг-ков ∆АВD = ∆CВD. В свою очередь это означает, что

Они являются накрест лежащими уже при отрезках ВС и АD. Отсюда вытекает, что эти отрезки параллельны друг другу. В итоге в четырехуг-ке ABCD параллельными оказываются все противоположные стороны, поэтому он должен быть параллелограммом.

 

Задание. В параллелограмме АВCD смежные стороны различны, а∠А – острый. Из точек B и D опущены перпендикуляры ВК и DM на диагональ АС. Докажите, что фигура ВМDК – тоже параллелограмм.

Решение. Выполним построение по заданным условиям:

Необходимо доказать, что красная фигура – это параллелограмм. По выведенному нами признаку достаточно показать, что отрезки ВК и MD параллельны и равны. Их параллельность очевидна, ведь эти отрезки перпендикулярны к одной прямой (АС). Равенство отрезков можно доказать, рассмотрев ∆АВК и ∆СМD. Они являются прямоугольными, у них равны гипотенузы АВ и СD (как противоположные стороны в одном параллелограмме), а также

ведь это накрест лежащие углы при параллельных отрезках АВ и CD. В итоге получаем, что

Но тогда ВК = МD. В итоге, с учетом того, что ВК||МD, получаем, что ВМDК – это параллелограмм.

Следующая теорема позволяет определять, является ли фигура параллелограммом, только по длине ее сторон.

Для доказательства используем всё тот же прием: проведем в четырехуг-ке диагональ:

Мы снова получаем равенство треуг-ков

но на этот раз они равны по трем равным сторонам. Отсюда получаем равенство углов:

Из равенства этих углов, являющихся накрест лежащими, следует, что АВ||СDи ВС||АD. Это и значит, что АВСD– параллелограмм.

Задание. Середины смежных сторон параллелограмма соединили друг с другом отрезками. Докажите, что получившаяся таким образом фигура – параллелограмм.

Решение.

Обозначим середины сторон АВСD буквами М, Р, К и Т. Ясно, что

как противоположные стороны одного параллелограмма. Если отрезки равны, то равны и их половины, поэтому можно записать:

Теперь рассмотрим ∆АМТ и ∆СРК. Они равны, ведь у них одинаковы две стороны и угол, лежащий между ними:

Отсюда следует, что МТ = РК. Аналогично можно показать, что ∆МВР = ∆ТDК, из чего вытекает, что МР = ТК.

В итоге получаем, что у МРКТ противоположные стороны попарно равны. А это означает, что МРКТ – это параллелограмм.

Следующий признак параллелограмма связан с диагоналями.

Действительно, пусть в произвольном четырехуг-ке АВСD диагонали пересекаются в точке О, являющейся серединой диагоналей:

Тогда ВО = ОDи АО = ОС. Рассмотрим ∆АОВ и ∆СОD. ∠ВОА = ∠СОD, ведь это вертикальные углы. В итоге у этих треуг-ков равны две стороны, а также угол между ними. Следовательно, ∆АОВ = ∆СОD. Но отсюда следует, что

В итоге у АВСD противоположные стороны одинаковы. Значит, это параллелограмм.

 

Задание. О – точка, в которой пересекаются диагонали параллелограмма АВСD. М, Р, Н, К – середины отрезков АО, ВО, СО и DO соответственно. Докажите, что МРНК – это параллелограмм.

Решение.

По свойству параллелограмма точка О делит их пополам, то есть на равные отрезки:

Заметим, что диагоналями МРНК являются отрезки РК и МН, причем они пересекаются в точке О. Так как

Можно сказать, что О – середина диагоналей РК и МН. Отсюда вытекает вывод, что МРНК – параллелограмм.

Теорема Фалеса

Свойства параллелограмма помогают доказать одну из древнейших теорем планиметрии – теорему Фалеса. Она названа в честь философа, который считается родоначальником всей древнегреческой науки. Можно сказать, что Фалес – это самый ранний из всех ученых-геометров, чье имя дошло до наших дней. Сформулируем теорему Фалеса:

Здесь на прямой m отложили равные друг другу отрезки А₁А₂, А₂А₃,А₃А₄ и т.д.:

Далее через концы отрезков провели параллельные линии (показаны синим цветом), которые пересекли некоторую прямую n в точках В₁, В₂,В₃ и т.д. Теорема утверждает, что получившиеся при этом отрезки равны между собой:

Для доказательства теоремы нужно рассмотреть два случая. Сначала изучим ситуацию, когда прямые m и n параллельны друг другу:

Рассмотрим четырехуг-к А₁В₁В₂А₂. Его противоположные стороны лежат на параллельных прямых:

Тогда этот четырехуг-к по определению оказывается параллелограммом, а в нем, как известно, противоположные стороны одинаковы, то есть

Однако отрезки А₁А₂, А₂А₃,А₃А₄ равны друг другу, следовательно, и равные им отрезки В₁В₂, В₂В₃, В₃В₄ и т. д. будут также равными, что мы и пытаемся доказать.

Более сложным является случай, когда исходные прямые m и n непараллельны друг другу:

В этом случае проведем через В₁ отрезок В₁С₂, параллельный m. При этом точка С₂ будет лежать на прямой А₂В₂. Аналогично проведем отрезки В₂С₃, В₃С₄ и т. д. , каждый из которых будет параллельным прямой m:

Рассмотрим фигуры А₁В₁С₂А₂, А₂В₂С₃А₃, А₃В₃С₄А₄ и т. д. Это четырехуг-ки, у каждого из которых противоположные стороны параллельны. Значит, все эти фигуры – параллелограммы. Но у него противоположные стороны одинаковы:

Далее заметим, что прямая n является секущей для параллельных прямых В₁С₂, В₂С₃, В₃С₄ и т.д. Это значит, что можно записать равенство углов:

Эта же прямая является секущей для параллельных прямых А₁В₁, А₂В₂ и т. д., поэтому можно записать равенство углов:

Наконец, рассмотрим треуг-ки ∆В₁В₂С₂, ∆В₂В₃С₃, ∆В₃В₄С₄. Только что мы выяснили, что у них есть по два равных угла. Но так как сумма углов в любом треуг-ке равна 180°, то и третьи углы у них также будут равными.

Но тогда эти треуг-ки оказываются равными друг другу, так как у них равны стороны В₁С₂, В₂С₃, В₃С₄ и т.д. Из равенства треуг-ков вытекает и равенство сторон:

Именно это равенство мы и пытались доказать.

Данная теорема может быть очень полезна при практических построениях. Пусть на клетчатом листке бумаги изображен такой треуг-к:

Предположим, требуется найти середину стороны АВ, а также разделить сторону ВС на три равные части. Для этого достаточно провести напротив этих сторон вертикальные линии, которые можно разделить на равные части буквально «по клеточкам». Далее надо просто провести уже горизонтальные линии, которые и разделят стороны АВ и ВС в нужных пропорциях:

Итак, из этого урока мы узнали о понятии выпуклого четырехуг-ка и изучили один из его частных случаев – параллелограмм. В будущем мы познакомимся и с другими видами четырехуг-ков.