Алгебра

Урок 1: Функции

Функции

В этом уроке мы продолжим изучать функции. Мы узнаем, какие функции называют монотонными, убывающими и возрастающими, что такое четность и нечетность функций, а также что представляет собой квадратичная функция

Обложка урока взята с источника.

slide4

Интенсивные курсы подготовки к ОГЭ

Перейти

Узнай тонкости ОГЭ и перестань его бояться

Перейти slide5
slide6

Подготовка к ОГЭ с командой
лучших преподавателей

Перейти
slmob

Интенсивные курсы подготовки к ОГЭ

Перейти
slmob10

Узнай тонкости ОГЭ и перестань его бояться

Перейти
slmob11

Подготовка к ОГЭ с командой
лучших преподавателей

Перейти

План урока:

Возрастание и убывание функций

Промежутки монотонности основных функций

Свойства монотонных функций

Четные и нечетные функции

Свойства четных и нечетных функций

Ограниченные и неограниченные функции

Квадратичная функция

 

Возрастание и убывание функций

Посмотрим на график произвольной функции:

1yrtghf

Видно, что область определения ф-ции – это промежуток [– 6; 4].

На графике сначала ф-ция как бы «поднимается». При увеличении х растет значение у. Так происходит до точки (1; 5). После этого ситуация меняется, при увеличении аргумента значение ф-ции начинает падать. В математике принято говорить, что ф-ция возрастает на промежутке [– 6; 1] и функция убывает на промежутке [1; 4]. Можно сказать и иначе – ф-ция у является возрастающей функцией на множестве [– 6; 1] и убывающей функцией на множестве [1; 4].

2gdfgd

Рассмотрим это определение возрастающей функции подробнее. Построим произвольную возрастающую ф-цию и выберем на ней две точки со значениями аргумента х1 и х2. Также отметим значения ф-ции в этих точках, у(х1) и у(х2):

3hfgghd

По определению, если х1 меньше х2, то и у(х1) <у(х2). Другими словами, из двух точек та, которая располагается левее (то есть имеет меньшее значение х), будет одновременно располагаться и ниже, (то есть иметь меньшее значение у).

Мы видим возрастание функции на промежутке [– 6; 5]. Однако она также будет возрастать и на любом другом промежутке, который является частью отрезка [– 6; 5]. Например, можно сказать, что она возрастает на промежутке [1; 3] или [– 2; 0].

Аналогично дается и определение убывающей ф-ции:

4dghd

По сравнению с определением возрастающей ф-ции изменился лишь один символ, в последнем неравенстве для у(х1) иу(х2) стоит знак «больше» а не меньше. Покажем пример убывания функции.

5fjgd

Заметим, что в приведенных определениях используются строгие неравенства со знаками «>»и «<». Однако в математике используются и нестрогие неравенства, содержащие знаки «≤» и «≥». С их использованием можно записать ещё 2 определения:

9 1 1

 9 1 2

 

Приведем пример неубывающей ф-ции:

8fsdg

Здесь х1<x2<x3<x4. Видно, что, например, у(х1) <у(х2). Однако у(х2) = у(х3). Получается, что на графике ф-ции есть плоская «площадка» на промежутке [1; 3]. Для всех значений х из этого промежутка у = 3,5. Из-за этой площадки ф-цию нельзя считать строго возрастающей.

 

Теперь покажем пример невозрастающей ф-ции:

9gfgs

Здесь также есть плоские «площадки», из-за которых ф-цию нельзя считать просто убывающей.

Ясно, что всякая возрастающая ф-ция является неубывающей, а каждая убывающая ф-ция одновременно считается и невозрастающей.

В математике часто вместо всех этих терминов используют понятие монотонности. Дадим определение монотонной функции:

10gfdfh

Если же ф-ция убывает или возрастает на промежутке (то есть не имеет плоской площадки), то говорят, что она строго монотонна.

11fdsdfa

 

Рассмотрим ф-цию, изображенную на рисунке:

12gfdgs

Ф-ция возрастает на промежутках [– 6; –2] и [3; 4,5], а также убывает на промежутках [– 2; 1,5] и [2,5; 3]. Значит, на каждом из этих промежутков ф-ция строго монотонна. На отрезке [-2; 3] ф-ция невозрастающая, поэтому здесь она просто монотонна. Любой промежуток, на котором ф-ция монотонна, называют промежутком монотонности.

13hgf

Различают как промежутки убывания функции, так и промежутки возрастания функции.

Понятно, что если ф-ция строго монотонна, то она и просто монотонна. В большинстве школьных задач не важна строгость монотонности, поэтому слово «строго» часто опускают.

Во всех данных определениях рассматривалось поведение ф-ции на каком-то отдельном числовом промежутке. Одна и та же ф-ция может на одном числовом промежутке возрастать, а на другом убывать. Однако некоторые ф-ции сохраняют свой характер на всей своей области определения. Например, линейная ф-ция у = 2х – 3 возрастает на протяжении всей числовой прямой, то есть на промежутке (– ∞; + ∞):

14gdfgd

В большинстве случаев промежутки монотонности ф-ции очевидны, исходя из графика ф-ции. Однако и без их построения можно аналитически доказывать монотонность ф-ции.

 

Пример. Докажите, что ф-ция у = 2х – 3 возрастает на промежутке (– ∞; + ∞).

Решение. Выберем произвольные числа х1 и х2, причем х1< х2. Разность (х2 – х1) будет, очевидно, положительным числом. Найдем теперь разность (у(х2) – у(х1)):

у(х2) – у(х1) = (2х2 – 3) – (2х1 – 3) = 2х2– 3 – 2х1+ 3 = 2х2 – 2х1 = 2(х2 – х1)

Так как (х2 – х1) – положительное число, то и 2(х2 – х1), а значит, и (у(х2) – у(х1)) – тоже положительное число. Если же разность двух числе положительна, то уменьшаемое больше вычитаемого. Значит, у(х2) > у(х1). По определению получаем, что у = 2х – 3 – возрастающая ф-ция.

Промежутки монотонности основных функций

Мы ранее уже изучили несколько видов ф-ций. Посмотрим, какие у них промежутки монотонности.

Поведение линейной ф-ции у = kх + b зависит исключительно от значение коэффициента k. Если он больше нуля, то функция возрастает на промежутке (– ∞; + ∞), то есть на всей числовой прямой. Если же k< 0, то ф-ция будет убывать. Если k = 0, то график будет выглядеть как горизонтальная линия. Её можно считать одновременно и неубывающей, и невозрастающей ф-цией. Приведем примеры на рисунке:

15gfdds

Поведение обратной пропорциональности у = k/х также зависит от значения k. Если он больше нуля, то ф-ция убывает на двух промежутках: (– ∞;0) и (0; + ∞).

16gfds

Здесь стоит обратить внимание, что, хотя у ф-ции нет ни одного участка, на котором бы она возрастала, нельзя утверждать, что обратная пропорциональность убывает на всей своей области определения (– ∞; 0)∪(0; + ∞). Например, сравним значение ф-ции у = 5/х при х1 = – 1 и х2 = 1:

у(– 1) = 5/(– 1) = – 5

у(1) = 5/1 = 5

Получили, что для этих значений х1<x2, а у(– 1) <у(1), поэтому ф-цию нельзя считать убывающей на всей области определения.

Если в обратной пропорциональности коэффициент k отрицательный, то ф-ция возрастает на промежутках (– ∞;0) и (0; + ∞):

17uytyu

Ф-ция

18jhfg

возрастает на всей своей области определения, то есть на промежутке [0; + ∞):

19hjfg

Поведение степенной ф-ции у = хn зависит от показателя n. Если он нечетный, то получается ф-ция, возрастающая на всей числовой прямой:

20gfdh

Если же число n четное, то степенная ф-ция будет убывать на промежутке (– ∞:0] и возрастать на промежутке [0; + ∞):

21hgfh

 

Пример. Найдите значения параметра a, при котором ф-ция

у = (5а – 2)х +16

является возрастающей.

Решение. Данная ф-ция является линейной ф-цией вида у = kx + b, где в роли коэффициента k выступает выражение (5а – 2). Ф-ция будет возрастать, если этот коэффициент будет больше нуля, то есть

5а – 2> 0

5а> 2

а > 0,4

Получаем, что ф-ция будет возрастающей при значениях а, больших 0,4, или, другими словами, при а∊(4; + ∞).

Ответ: а∊(4; + ∞).

Свойства монотонных функций

Монотонные функции имеют ряд примечательных свойств, которые могут помогать при решении задач. Вспомним, что некоторые ф-ции могут при различных значениях аргументов принимать одинаковое значение. Например, таковой является степенная ф-ция у = х2:

у(2) = 4

у(– 2) = 4

С точки зрения графиков это означает, что горизонтальная линия может пересекать график ф-ции в нескольких точках:

22gfdgd

С другой стороны, это значит, что уравнение х2 = 4 имеет два корня, 2 и ( – 2).

Если же ф-ция строго монотонна, то такая ситуация невозможна. Любое ее значение может быть получено только при одном значении аргумента.

23ghfdh

Действительно, если ф-ция монотонна, то любая горизонтальная прямая сможет пересечь ее график не более чем в одной точке:

24ghjkk

Это также означает, что, если у(х) – строго монотонная ф-ция, а b– произвольное число, то уравнение у(х) = b имеет не более одного корня. Так, у уравнения х3 = 8 есть только один корень (он равен 2), потому что х3 – монотонная ф-ция.

Рассмотрим следующее свойство монотонных функций.

25khjkhg

Действительно, ранее мы уже изучали сжатие и растягивание графиков. умножение ф-ции на постоянное число как раз и ведет к подобным преобразованиям. Ясно, что при этом не происходит изменение монотонности ф-ций:

26kjhjk

Например, парабола у = х2 возрастает на промежутке [0; + ∞), значит, и ф-ция у = 3х2 также возрастает на этом же промежутке:

27gfdfh

Проще говоря, при умножении ф-ции на положительное число ее промежутки монотонности не изменяются.

А что же произойдет при умножении ф-ции на отрицательное число. Она не только сожмется или растянется, но ещё и отобразится симметрично относительно оси Ох. В результате промежутки возрастания ф-ции превратятся в промежутки убывания, и наоборот.

28jhgj

Проиллюстрируем это на примере ф-ций у = х2 и у = – х2:

29jfhj

Видно, что на промежутке (– ∞; 0] ф-ция у = – х2 возрастает, в то время как обычная парабола убывает.На промежутке [0; + ∞)ситуация противоположная.

Если две ф-ции одновременно возрастают на одном промежутке, то и их сумма также будет возрастать на этом промежутке.

30safd

Например, ф-ции у = х5 и у = 4х возрастают на всей числовой прямой. Следовательно, возрастающей является и ф-ция у = х5 + 4х.

 

Пример. Решите уравнение

х7 + 2х – 3 = 0

Решение. Можно заметить, что число 1 является корнем этого уравнения. Действительно, подставим единицу в уравнение и получим верное равенство:

17 + 2•1 – 3 = 0

1 + 2 – 3 = 0

0 = 0

Докажем, что других корней уравнение не имеет. В его левой части стоит сумма двух возрастающих ф-ций, у = х7 и у = 2х – 3. Следовательно, и ф-ция у = х7 + 2х – 3 также является возрастающей на всей числовой прямой. Это значит, что исследуемое уравнение имеет не более 1 корня, то есть корень х = 1 – единственный.

Ответ: 1.

 

Пример. Докажите, что у уравнения

31hfhj

не более одного корня.

Решение.

Выражение в левой части имеет смысл только при положительных х. Ведь если х < 0, то под корнем окажется отрицательное число, а если х = 0, то ноль окажется в знаменателе. Другими словами, уравнение имеет смысл на промежутке (0; + ∞). При этом левая часть представляет собой сумму трех слагаемых:

32gfdfg

Первое и третье из них являются возрастающими ф-циями. Второе слагаемое – это взятая со знаком «минус» ф-ция у = 2/х. Так как у = 2/х убывает на промежутке (0; + ∞), то у = – 2/х на нем же возрастает. В итоге получаем, что в левой части сумма трех возрастающих ф-ций, значит, и всё это выражение – возрастающая ф-ция. Из этого следует, что у уравнения есть не более одного корня. Попробуйте сами подобрать его.

Четные и нечетные функции

При изучении степенных ф-ций мы заметили, что при четном показатели степени n их график симметричен относительно оси Оу:

33gfsfdg

Почему так происходит? Дело в том, что у этих ф-ций противоположным значениям аргументов соответствует одно и то же значение у. Убедимся в этом на примере у = х2:

  • у(1) = 12 = 1 и у(– 1) = (– 1)2 = 1;
  • у(2) = 22 = 4 и у(– 2) = (– 2)2 = 4;
  • у(3) = 32 = 9 и у(– 3) = (– 3)2 = 9.

В общем случае эту особенность можно доказать так:

у(– х) = (– х)2 = х2 = у(х)

В математике есть специальный термин для обозначения ф-ций, обладающих таким свойством. Их называют четным функциями.

34gdfgd

Определение четной функции можно записать и так, чтобы в нем фигурировали формулы:

35gfdfgd

Для проверки того, является ли функция четной, достаточно подставить в нее вместо аргумента х величину (– х).

 

Пример. Докажите, что ф-ция у = х4 + 3х2 является четной.

Решение. Подставим в ф-цию значение (– х):

у(– х) = (– х)4 + 3(– х)2 = х4 + 3х2

Получили исходную ф-цию у(х). Значит, исследуемая функция является четной.

 

Пример. Четна ли ф-ция

36hfgh

Решение снова подставим в ф-цию значение (– х):

37jkgjk

Получили изначальную ф-цию. Следовательно, она – четная.

Почему же четные ф-ции симметричны относительно оси Оу? Из определения следует, что если графику четной ф-ции принадлежит точка (х00), то ему же принадлежит точка (– х00). Посмотрим, как они располагаются на координатной плоскости:

38jghj

Они симметричны относительно оси Оу. Если же для каждой точки графика есть симметричная точка, также ему принадлежащая, то и в целом график симметричен относительно вертикальной оси.

Теперь посмотрим на степенные ф-ции, у которых нечетный показатель степени. В качестве примера можно привести у = х3 и у = х5. Видно, что они симметричны относительно центра координат:

39hgfgh

Такая симметрия (относительно точки), называется центральной. Геометрически она означает, каждой точке графика в I четверти с двумя положительными координатами соответствует точка графика в III четверти с такими же координатами, но взятыми со знаком «минус»:

40sdfs

Существует множество ф-ций, обладающих подобной симметрией. В математике их все называют нечетными функциями. У них противоположным значениям аргументов соответствуют противоположные значения ф-ции, а график нечетной функции всегда симметричен относительно начала координат.

41gfdfg

Чаще используется определение, содержащее формулу:

42gfdhd

Покажем это свойство у ф-ции у = х3:

  • у(1) = 13 = 1 и у(– 1) = (– 1)3 = – 1;
  • у(2) = 23 = 8 и у(– 2) = (– 2)3 = – 8;
  • у(3) = 33 = 27 и у(– 3) = (– 3)3 = – 27.

Для того, чтобы доказать нечетность ф-ции, надо поставить в нее (– х) вместо х. Если получилась исходная ф-ция с противоположным знаком, то это значит, что ф-ция нечетная.

 

Пример. Докажите, что ф-ция у = х5 + х – нечетная.

Решение: Подставим (– х):

у(– х) = (– х)5 + (– х) = –х5 – х = – (х5 + х) = – у(х)

Получили исходную ф-цию, но со знаком «минус», поэтому ф-ция является нечетной.

 

Пример. Докажите нечетность ф-ции у = 5/х + 4х.

Решение. Подставляем в ф-цию (– х):

у = 5/(– х) + 4(– х) = – 5/х – 4х = – (5/х + 4х) = – у(х)

Снова получили исходную ф-цию со знаком минус, следовательно, мы исследовали нечетную ф-цию.

Известно, что любое целое число либо четное, либо нечетное. Однако с ф-циями всё по-другому. Существует множество ф-ций, которые не относятся ни к тем, ни к другим. Чтобы доказать, что ф-ция не является ни четной, ни нечетной, достаточно продемонстрировать, что хотя бы для одного значения х не выполняются условия у(– х) = у(х) и у(– х) = – у(х).

 

Пример. Докажите, что у = х3 + х2 – ни четная, ни нечетная ф-ция.

Решение. Определим значение ф-ции при, например, х = 1 и х = –1

у(1) = 13 + 12 = 2

у(– 1) = (– 1)3 + (– 1)2 = 0

Получили, что при противоположных х значения у не являются ни одинаковыми, ни противоположными. Значит, рассматриваемая ф-ция не подходит под приведенные определения четности и нечетности.

Свойства четных и нечетных функций

Рассмотрим важные свойства, помогающие быстро определять четность и нечетность ф-ций.

43gkg

Например, так как четной является ф-ция у = х6, то также четными будут и ф-ции:

  • у = 2х6;
  • у = 3х6;
  • у = – х6;
  • у = – 12х6;
  • у = 0,135х6.

44fsdf

Так, ф-ции у = х3 и у = 1/х – нечетны. Значит, нечетна и их сумма у = х3 + 1/х.

45fdsdf

Другими словами, ф-цию можно «перевернуть», и она всё равно сохранит свою четность. Так, ф-ция 5х4 + х2 четная, поэтому и ф-ция

46gfgds

останется такой же.

Вообще рассматриваемое свойство ф-ции часто называют ее четностью. Так, про две рассматриваемые ф-ции у = х3 и у = х9 можно сказать, что они обладают одинаковой четностью (обе нечетные), а у = х5 и у = х7 обладают различной четностью (одна из них четная, а другая нечетная).

47safddf

Например, ф-ции у = 5х3 + 6х и у = 9х5 имеют одинаковую четность (обе нечетные), а потому их произведение у = 9х5(5х3 + 6х) является четным. С другой стороны, у = х5 и у = х8 + у6 имеют различную четность, следовательно, их произведение у = х58 + у6) нечетное.

Докажем справедливость этого правила. Пусть есть две ф-ции, у = у(х) и g = g(х), которые обладают какой-нибудь четностью. Определим четность их произведения у(х)•g(х). Для этого рассмотрим 3 различных случая:

  1. И у = у(х), и g = g(х) – четные. Тогда у(– х) = у(х), g(– х) = g(х), и мы получаем следующее:

у(– х)•g(– х) = у(х)•g(х).

  1. Обе рассматриваемые ф-ции – нечетные. Тогда у(– х) = – у(х), g(– х) = – g(х), и получается следующее:

у(– х)•g(– х) = (– у(х))•(– g(х)). = (– 1)(– 1)у(х)•g(х) = у(х)•g(х).

  1. Если же одна из ф-ций, например, у(х), будет четной, а вторая – нечетной, то их произведение будет следующим:

у(– х)•g(– х) = у(х)•(– g(х)) = – у(х)•g(х).

 

Пример. Определите четность ф-ции у = (8х4 + 3х2)(7х5 + 2х)

Решение. Ф-ция из условия представляет собой произведение двух других ф-ций: у = 8х4 + 3х2 и у = 7х5 + 2х. Первая из них является суммой двух четных и поэтому сама четная. Вторая ф-ция, наоборот, нечетная. Следовательно, их произведение – это тоже нечетная ф-ция.

Ответ: Нечетная ф-ция.

 

Пример. Определите четность ф-ции у = (х6 + х2)(х10 + х8)

Решение. Так как ф-ции у = х6 + х2 и у = х10 + химеют одинаковую четность (обе четные), то их произведение является четным.

Ответ: Четная ф-ция.

Для изучения следующего свойства ф-ций необходимо сначала рассмотреть понятие сложной ф-ции. Так называют ф-цию, которую получают подстановкой одной «простой» ф-ции в другую.Например, пусть есть ф-ции g = хи у = х3 + 2х. Подставив вторую в первую, получим

g = (х3 + 2х)2

Ещё пример сложной ф-ции:

у = 2(9х2 + 4х + 1)3 + 3(9х2 + 4х + 1)

Она получена путем подстановки выражения 9х2 + 4х + 1 в ф-цию у = х3 + 3х. В общем случае, если в ф-цию у = f (x) подставляют g(x), то используют запись у = f (g(x)). Иногда вместо термина «сложная функция» используют аналогичное понятие «композиция функций».

Итак, сформулируем ещё одно свойство четных функций:

48jhgfghj

Например, пусть есть четная ф-ция у = х2. Подставим ее в любую другую ф-цию, скажем, в у = 5х + 7 + 1/х. В итоге получим новую, сложную ф-цию

у = 5х2 + 7 + 1/(х2)

которая будет четной. При этом природа ф-ции у = 5х + 7 + 1/х не играет никакой роли. Мы могли бы взять любую другую ф-цию, например, у = 958,235х3 – 12,25х2 + 19х + 2/3, и подставив в нее х2 вместо х, получить ф-цию

у = 958,235(х2) 3 – 12,25(х2) 2 + 19х2+ 2/3

которая будет четной.

Ограниченные и неограниченные функции

Ещё раз рассмотрим ф-цию у = х2. Очевидно, что все точки ее графика лежат выше оси Ох (кроме точки (0;0), лежащей непосредственно на оси Ох). Ось Ох – это, по сути, горизонтальная прямая у = 0. Можно провести ряд других горизонтальных линий, каждая из которых лежит ниже параболы и не пересекает её:

49fdsdf

В математике говорят, что ф-ция у = х2 ограничена снизу. То есть для любого допустимого х выполняется неравенство у(х) ⩾ а, где а – это какое-то произвольное число. И действительно, неравенство х2⩾ 0 выполняется при всех значениях х. Также выполняются неравенства

х2⩾ – 1,5

х2⩾ – 3

х2⩾ – 5

Дадим определение функции, ограниченной снизу

50dfsg

Очевидно, что если неравенство у(х) ⩾ а выполняется хотя бы для одного числа а, то оно выполняется и для всех а, которые ещё меньше. Так, из справедливости неравенства х2⩾ 0 автоматически следует справедливость неравенства х2⩾ – 1,5, так как

– 1,5 ⩽ 0.

Аналогично в математике существует понятие функции, ограниченной сверху.

51gjhj

В качестве примера ограниченной сверху ф-ции можно привести у = 4 – х2:

52ghjg

Ясно, что неравенство 4 – х2⩽ 4 выполняется при всех х, то есть ни одна точка графика не лежит выше прямой у = 4.

Иногда бывает так, что функция ограничена одновременно и снизу, и сверху. Их называют ограниченными функциями.

53hfghf

Ф-ция, не попадающее под это определение, называется неограниченной функцией. В качестве примера неограниченной функции можно привести линейную ф-цию у = х + 1.

График ограниченной ф-ции находится в своеобразной «полосе» из горизонтальных линий, которые ограничивают его сверху и снизу. Примером ограниченной ф-ции является

54gfdfg

55gfdgd

С одной стороны, у этой дроби и числитель, и знаменатель – положительное число, поэтому она ограничена снизу прямой у = 0. С другой стороны, дробь тем больше, чем меньше ее знаменатель (если они оба положительны). Минимальное значение выражения х2 + 1 – это единица (при х = 0), а поэтому максимальное значение дроби равно 4/1 = 4. Поэтому график ограничен сверху прямой у = 4.

 

Пример. Ограничена ли ф-ция

56hgfgh

Решение. Выделим в ф-ции целую часть:

57gfdfg

Так как величина 5х2 + 5 всегда положительна, то и дробь

58hgfgh

а значит, и вообще вся ф-ция положительна, то есть ограничена снизу прямой у = 0

С другой стороны, дробь будет принимать максимальное значение при минимальном значении знаменателя, которое равно 5 (при х = 0) При х = 0 имеем

59ghdgh

Получается, что ф-ция ограничена сверху прямой у = 1,4.

Ответ: ограничена.

 

Пример. Ограничена ли ф-ция

60gfdfgg

Решение. Величина х2 всегда положительна, то есть х2⩾ 0. Преобразуем это неравенство, умножив его на (– 1) и добавив к нему 16:

х2⩾ 0

– х2⩽ 0

16 – х2⩽ 16

Получили, что подкоренное выражение не превосходит 16, а значит, и корень из него не больше, чем

61gfdgd

То есть график будет ограничен прямой у = 4 сверху. С другой стороны, арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом, а потому его график ограничен снизу прямой у = 0. Для наглядности покажем график исследуемой ф-ции:

62ngfghf

Ответ: ограничена.

 

Квадратичная функция

В качестве ф-ции можно использовать квадратный трехчлен, например:

у = 2х2 + 6х – 10

у = – 1,5х2 + 19х + 0,5

у = 0,005х2 + 654,25х – 124

Все эти ф-ции заданы с помощью выражения, представляющего собой квадратный трехчлен, поэтому в математике их называют квадратичными функциями.

9 1 3

Если коэффициент перед х2 окажется равным нулю, то ф-ция превратится из квадратичной в линейную:

2 + bx + c = bx + c

Попытаемся понять, как выглядит график квадратичной функции. Для этого начнем рассматривать частные случаи и использовать правило растяжения и сжатия, а также параллельного переноса графиков ф-ций.

Если в выражение для квадратичной ф-ции подставить значения

а =1

b= 0

с = 0

то получится уже известная нам степенная ф-ция у = х2:

2 + 0x + 0 = х2

Её графиком является парабола.

График ф-ции у = ах2 – это тоже парабола (где а – некоторое число), которая однако, получена из «обычной» параболы у = х2 путем сжатия или растяжения графика. Если коэффициент а является отрицательным, то парабола «перевернется» то есть отобразится симметрично относительно оси Ох. Покажем примеры нескольких графиков у = ах2:

64hfghf

Напомним, что при добавлении к ф-ции какого-нибудь постоянного числа n ее график переносится на единиц вверх. Зная это можно легко получить график ф-ции у = ах2 + с из графика у = ах2:

65jjhkg

Таким образом, графиком ф-ции у = ах2 + с является парабола, чья вершина поднята на с единиц вверх.

Как изменится график квадратичной ф-ции у = ах2 + с, если в вместо х возводить в квадрат выражение (х +m), где m– произвольное число? В этом случае ф-ция примет вид у = а(х +m)2 + с. Вершина параболы должна будет сместиться на m единиц влево:

66hgfhdf

Теперь докажем, что любая квадратичная ф-ция может быть представлена как в виде у = а(х + m) + n, где mи n – некоторые числа (в том числе и отрицательные).Похожие преобразования мы производили, когда учились решать квадратные уравнения. Запишем саму квадратичную ф-цию:

у = ах2 + bх + с

Вынесем множитель а за скобки:

67gdfhh

Далее попытаемся преобразовать трехчлен в скобках, используя формулу квадрата суммы. Для этого добавим к нему и сразу же вычтем величину (b/2a)2:

68ghfgh

Теперь раскроем внешние скобки:

69jhghj

Теперь произведем две замены:

70jfhjfg

Используя их, можно записать:

71gfdfg

Получили, что любую квадратичную ф-цию можно свести к виду у = а(х + m)2 + n. Что это значит и для чего мы это доказывали? Из этого факта следует, что график любой квадратичной ф-ции может быть получен из обычной параболы у = х2 за счет трех действий.

  1. Необходимо растянуть график у = х2 в а раз и получить график у = ах2. Если число а является отрицательным, то график не только растянется, но ещё «перевернется» ветвями вниз, то есть отобразится симметрично относительно оси Ох.
  2. Необходимо сдвинуть график у = ах2 на единиц вверх и получить график у = ах2 + n. Если n< 0, то график переместится вниз, а не вверх.
  3. Полученный график у = ах2 + n следует сместить влево на единиц и получить график у = а(х + m)2 + n. Если отрицательно, то график сместится не влево, а вправо.

Итак, как будет выглядеть график квадратичной ф-ции? В общем случае он является параболой, центр которой располагается не в точке (0;0), а в некоторой другой точке (х0; у0):

72hfhk

Если мы вернемся к доказательству того, что любую квадратичную ф-цию можно представить в виде у = а(х + m)2 + n, то увидим, что число m рассчитывается по формуле

73hfghf

Так как график из-за этого числа m перемещается влево, а не вправо, то координата вершины х0 рассчитывается по формуле:

74jhghj

Нет смысла составлять такую же формулу для определения координаты вершины у0, ведь можно подставить х0 в сам ф-цию и так узнать вторую координату вершины.

 

Пример. Определите вершину параболы, задаваемой ф-цией

у = 2х2 + 8х + 5

Решение. Выпишем коэффициенты а, b и c квадратичной ф-ции:

а = 2

b = 8

c = 5

Зная их, легко рассчитаем координату х вершины параболы:

75hgfgh

Теперь подставим это число в исходную ф-цию и определим координату у вершины параболы:

у0 = у(х0) = 2(– 2)2 + 8(– 2) + 5 = 8 – 16 + 5 = – 3

Ответ (– 2; – 3)

Напомним, что нули ф-ции – это те точки, в которых ее график пересекает ось Ох. Для их поиска необходимо приравнять ф-цию к нулю и решить уравнение. В случае с квадратичной ф-цией мы получим квадратной уравнение.

 

Пример. Постройте график ф-ции у = х2 – 4х + 3, отметьте на нем вершину параболы и нули ф-ции.

Решение. Приравняем ф-цию к нулю:

х2 – 4х + 3 = 0

Решим это уравнение

D = b2 – 4ас = (– 4)2 – 4•1•3 = 16 – 12 = 4

76hgfgh

Итак, нашли нули ф-ции: 1 и 3. Теперь найдем вершину параболы:

77jhgj

у0 = у(х0) = 22 – 4•2 + 3 = 4 – 8 + 3 = – 1

Вершина находится в точке (2; – 1). Теперь отметим ее, а также нули ф-ции на графике, и соединим их линией, похожей на параболу:

78gdfg

При необходимости для точности построения всегда можно вычислить значение ф-ции в нескольких дополнительных точках и провести параболу через них. Здесь мы этого делать не будем

Ответ: вершина параболы – точка (2; – 1), нули ф-ции х1 = 1 и х2 = 3

Обратите внимание, что в рассмотренном примере вершина параболы оказалась ниже нулей, поэтому ее ветви смотрят вверх. Вообще, если коэффициент а > 0, то ветви смотрят вверх, а если а < 0, то они смотрят вниз. Также можно заметить ещё одно свойство квадратичной функции – вершина параболы находится точно посередине между нулями ф-ции. То есть если нули ф-ции равны 1 и 3, то координата х вершины параболы равна их среднему арифметическому:

х0 = (х1 + х2)/2 = (1 + 3)/2 = 2

Заметим, что не все квадратичные ф-ции имеют нули, ведь не каждое квадратное уравнение имеет решение.

 

Пример. Постройте графики ф-ций

у = – 2х2– 4х + 6

у = – 3х2 + 6х – 4

Решение. Начнем с первой ф-ции. Сначала найдем ее нули:

– 2х2 – 4х + 6 = 0

D = b2 – 4ас = (– 4)2 – 4•(– 2)•6 = 16+48 = 64

79gfddsfg

Найдем вершину. Сначала используем обычную формулу:

80hgfgh

Далее просто проверим себя, найдя среднее арифметическое нулей ф-ции:

81gdfg

Как и ожидалось, получились одинаковые результаты! Вычислим теперь у0:

у0 = у(х0) = – 2(– 1)2 – 4(– 1) + 6 = – 2 + 4 + 6 = 8

Итак, вершина первой ф-ции – это точка (– 1; 8).

Перейдем ко второй ф-ции. Попробуем найти ее нули:

– 3х2 + 6х – 4 = 0

D = b2 – 4ас = 62 – 4•(– 3)•(– 4) = 36–48 = – 16

Дискриминант отрицательный, значит, корней у уравнения нет. Не будет и нулей и ф-ции. Найдем вершину параболы

82gdffg

Найдем координату у0 вершины:

у0 = у(х0) = – 3•12 + 6•1 – 4 = – 3 + 6 – 4 = – 1

Отметим, что у обоих графиков коэффициент а отрицательный, а потому их ветви будут смотреть вниз. Построим их графики:

83hfgh

Иногда приходится решать обратную задачу – по графику квадратичной ф-ции находить выражение, задающее эту ф-цию. Для ее решения необходимо подставлять в общий вид квадратичной ф-ции

у = ах2 + bx + c

значения квадратичной функции, взятые из графика (то есть координаты точек параболы) и получать уравнения, из которых можно найти величины a, и c.

 

Пример. Запишите выражение для квадратичной ф-ции, имеющей следующий график:

84hgfj

Решение. Заметим, что графику параболы принадлежит точка с координатами (0; 3). Подставим эти числа, х = 0 и у = 3, в квадратичную ф-цию:

у = ах2 + bx + c

3 = а•02 + b•02 + c

3 = c

Итак, мы нашли, что коэффициент с = 3. Осталось найти а и b. Возьмем ещё одну точку, скажем, (1; 0), и подставим ее координаты (вообще в большинстве случаев удобно брать точки, одна из координат которой равна 0 или, на худой конец, единице):

у = ах2 + bx + 3

0 = а•12 + b•1 + 3

a + b = – 3

Возьмем точку с координатами (– 3; 0):

у = ах2 + bx + 3

0 = а•(– 3)2 + b•(– 3) + 3

9а – 3b = – 3

Получили два уравнения с двумя неизвестными: a + b = – 3 и 9а – 3b = – 3. Решим систему, составленную из них:

85gdfgd

Подставим первое уравнение во второе и получим:

9а – 3(– 3 – а) = – 3

9а + 9 + 3а = – 3

12а = – 3 – 9

12а = – 12

а = – 1

Нашли а. Теперь подставим его в уравнение для b:

b = – 3 – а = – 3 – (– 1) = – 2

Получили b = – 2. Мы нашли все коэффициенты, а потому можем записать ф-цию в аналитическом виде:

у = – х2 – 2х + 3

Ответ:– х2 – 2х + 3

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
На каком из этих промежутков возрастает ф-ция у = 12х2?
1[– 10; 5]
2[– 10; – 5]
3 [– 5; 10]
4[5; 10]
Ответить
4
Вопрос: 2
Сколько корней имеет уравнение х7 + х5 + х3 + х – 4 = 0?
12
21
3бесконечно много
47
Ответить
2
Вопрос: 3
Укажите координаты вершины параболы у = 2х2 + 8х – 10:
1(– 2; – 18)
2(2; 14)
3(2; – 18)
4(0; – 10)
Ответить
1
Вопрос: 4
Укажите нули ф-ции у = х2 – 9х + 20:
14 и 6
23 и 4
34 и 5
4функция не имеет нулей
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

На каком из этих промежутков возрастает ф-ция у = 12х2?
1) [– 10; 5] 2) [– 10; – 5] 3) [– 5; 10] 4) [5; 10]
2 вопрос:

Сколько корней имеет уравнение х7 + х5 + х3 + х – 4 = 0?
1) 2 2) 1 3) бесконечно много 4) 7
3 вопрос:

Укажите координаты вершины параболы у = 2х2 + 8х – 10:
1) (– 2; – 18) 2) (2; 14) 3) (2; – 18) 4) (0; – 10)
4 вопрос:

Укажите нули ф-ции у = х2 – 9х + 20:
1) 4 и 6 2) 3 и 4 3) 4 и 5 4) функция не имеет нулей
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: [5; 10]
2 вопрос: 1
3 вопрос: (– 2; – 18)
4 вопрос: 4 и 5
Slide6

Подготовься к ОГЭ наилучшим образом

Перейти
slide16

Узнай, как сдать ОГЭ на 100 баллов

Перейти
slide19

Ускоренный курс
подготовки к ОГЭ

Перейти
slmob12

Подготовка к ОГЭ наилучшим образом

Перейти
slmob13

Узнай, как сдать ОГЭ на 100 баллов

Перейти
slide19

Ускоренный курс
подготовки к ОГЭ

Перейти