Алгебра

Урок 1: Единичная окружность

Единичная окружность

Для описания многих физических процессов обычных алгебраических выражений бывает недостаточно. В особенности это касается колебаний и распространения волн. Здесь на помощь физикам приходит тригонометрия. Сегодня мы познакомимся с базовым понятием тригонометрии – с единичной окружностью.
slide4

Интенсивные курсы подготовки к ЕГЭ

Перейти

Узнай тонкости ЕГЭ и перестань его бояться

Перейти slide5
slide6

Подготовка к ЕГЭ с командой
лучших преподавателей

Перейти
slmob

Интенсивные курсы подготовки к ЕГЭ

Перейти
slmob10

Узнай тонкости ЕГЭ и перестань его бояться

Перейти
slmob11

Подготовка к ЕГЭ с командой
лучших преподавателей

Перейти

План урока:

Числовая и единичная окружность

Откладывание углов на единичной окружности

Радианная мера угла

 

Числовая и единичная окружность

В средней школе мы уже познакомились с координатной, или числовой прямой. Так называют абстрактную прямую, на которой выбрана точка отсчета, определен единичный отрезок, а также задано направление, в котором следует откладывать положительные числа. С помощью координатной прямой удается наглядно представлять сложение и вычитание как положительных, так и отрицательных чисел, решать задачи, связанные с перемещением по прямой, и делать многое другое.

Однако порою приходится рассматривать задачи, связанные с движением по окружности, а также складывать и вычитать углы. Здесь математикам помогает другая абстракция – числовая окружность. Пусть два гонщика (Вася и Петя) едут по круговой трассе, чья протяженность составляет 1 км. За минуту Вася проехал 1250 м, а Петя преодолел только 500 м. Попытаемся показать их положение графически.

Построим на координатной плоскости окружность с центром в начале координат длиной 1 км. Будем считать, старт находится в крайней правой точке трассы, на пересечении оси Ох и окружности. Также условимся, что гонщики едут против часовой стрелки. Тогда получим такую картинку:

1hgjhj

Петя проедет ровно половину окружности и окажется в крайней левой точке трассы. Вася же за минуту успел сделать полный круг (1 км) и проехать ещё 250 м, а потому оказался в верхней точке.

Теперь предположим, что Петя стоит на месте, а Вася проехал ещё 250 м (четверть круга). В результате оба пилота оказались в одной точке, но проехали они разное расстояние! Получается, что по положению гонщика невозможно однозначно определить, сколько именно метров он проехал.

Заметим, что очень удобно характеризовать положение точки на числовой окружности с помощью угла. Достаточно соединить точку отрезком с началом координат. Полученный отрезок образует с прямой Ох некоторый угол α:

2ghyu

В тригонометрии предпочитают использовать особую числовую прямую, радиус которой равен единице. По ряду причин, которые станут ясны чуть позже, с ней очень удобно работать. Такую фигуру называют единичной окружностью.

3hjhj

Выглядит единичная окружность так:

4gfgh

Откладывание углов на единичной окружности

Положение каждой точки на единичной окружности можно указать с помощью угла. Пусть надо найти точку, соответствующую углу 60°. Для этого просто строим угол следующим образом:

5hgfgh

Углы, которые откладывают на единичной окружности, называют углами поворота. В данном случае можно утверждать, что точке А соответствует угол поворота, равный 60°.

Отложить можно и угол, больший 90° и даже 180°. Выглядеть они будут примерно так:

6hgf

7gfds

Углы можно складывать друг с другом и вычитать. Предположим, нам надо построить угол, равный сумме углов 120° и 110°. Для этого сначала совершить поворот на 120°, а потом от полученного отрезка отложить ещё один угол в 110°:

8jhgj

Ясно, что возможно построить любой угол в диапазоне от 0° до 360°. А можно ли отложить угол, который будет больше 360°? В обычной планиметрии мы не работаем с такими углами, однако в тригонометрии они существуют. Действительно, мы же можем, например, сложить углы 250° и 140°. В итоге получится 250 + 140 = 390°:

9hgfk

В результате мы совершили полный оборот (360°) и вдобавок повернули отрезок ещё на 30°. Получается, что углам в 390° и 30° соответствует одна и та же точка.

Углы можно и вычитать друг из друга. Для этого вычитаемый угол надо отложить в противоположном направлении – не против часовой, а по часовой стрелке. Например, вычитая из 150° угол в 70°, придем в точку, соответствующую 150 – 70 = 80°:

10gfdfg

Из арифметики мы помним, что вычитание можно заменить прибавлением противоположного (то есть отрицательного) числа:

a– b = a + (– b)

Получается, что отложив угол 70° по часовой стрелке, мы прибавили к 150° отрицательный угол (– 70°). То есть на единичной окружности можно откладывать отрицательные углы! Для их получения поворот надо осуществлять по часовой стрелке. Например, угол – 60° будет выглядеть так:

11trty

Итак, мы можем откладывать и положительные, и отрицательные углы, а также углы, большие 360°. Вообще в тригонометрии угол может быть равен любому действительному числу. На единичной окружности можно отложить углы величиной 1000°, 1000000° и (– 999999999°) и любые другие, самые большие и самые малые углы. В этом смысле единичная окружность схожа с координатной прямой. Разница лишь в том, что на прямой разным числам всегда соответствуют разные точки, а на окружности разным углам могут соответствовать одни и те же точки.

Ещё раз отметим, что один полный оборот равен 360°. Если отложить на окружности произвольную точку А, которой соответствует угол α, а потом добавить к α ещё 360°, то мы попадем в ту же самую точку:

12tretu

С точки зрения тригонометрии те углы поворота, которые соответствуют одной точке на единичной окружности, равны друг другу. Поэтому можно записать формулу:

α + 360° = α

Естественно, при вычитании 360° из угла мы тоже совершим полный поворот, только по часовой стрелке, поэтому верна и другая запись:

α – 360° = α

Угол, не изменится и в том случае, если мы совершим не один, а два полных оборота, то есть добавим к нему 2•360° = 720°. Можно добавлять к углу два, три, четыре полных поворота, но он не изменится от этого. Обозначим буквой n количество оборотов, которые мы добавляем к углу. Естественно, что n – целое число. Справедливой будет формула:

α + n•360° = α

Например, верны следующие равенства:

15° + 3•360° = 15° + 1080° = 1095°

100° + 10•360° = 100° + 3600° = 3700°

1000° = 1000° – 2•360° = 1000° – 720° = 280°

Очевидно, что любой точке на окружности соответствует какой-то угол α из промежутка 0 ≤ α < 360°. Конечно, с такими углами работать удобнее, поэтому важно уметь переходить от «больших» углов к тем, которые ограничены диапазоном 0°– 360°.

Например, пусть есть угол в 600°. Необходимо выразить его «нормальным» углом из диапазона 0°– 360°. Для этого просто вычтем из него 360°:

600° = 600° – 360° = 280°.

Если дан угол в 1200°, то из него 360° придется вычитать уже трижды:

1200° = 1200° – 3•360° = 1200° – 1080° = 120°.

Как узнать, сколько полных поворотов надо вычесть из угла, чтобы он попал в нормальный диапазон? Для этого достаточно просто поделить угол на 360°.

 

Задание. Замените угол 10000° на угол α из промежутка 0 ≤ α < 360°.

Решение. Поделим 10000 на 360. Делить будем с остатком:

10000:360 = 27 (280 в остатке)

Этот расчет показывает, что число 10000 можно представить в виде:

10000° = 280° + 27•360°

Величину 27•360° можно смело отбросить, ведь она соответствует 27 полным оборотам против часовой стрелки.

Ответ: 280°.

Несколько сложнее выглядит преобразование отрицательных углов, ведь при делении с остатком получится угол, попадающий в диапазон – 360° ≤ α < 0°. Поэтому после деления необходимо добавить к углу ещё один поворот, чтобы получилась положительная величина.

 

Задание. Приведите угол (– 10000°) к углу из диапазона 0 ≤ α < 360°.

Решение. Снова поделим (– 10000°) на 360° с остатком:

– 10000:360 = – 27 (– 280 в остатке)

Получили угол – 280°. Но он не попадает в требуемый диапазон. Однако можно просто добавить к нему 360°:

– 280° + 360° = 80°

Ответ: 80°.

Радианная мера угла

Из геометрии мы знаем, что углы можно измерять не только градусами, но и радианами. 1 радиан – это величина такого центрального угла окружности с центром в точке O, опирающегося на дугу, что длина этой дуги АВ равна радиусу окружности ОА:

13ghjk

Обратите внимание, что радиус единичной окружности равен единице. Получается, что угол в 1 рад опирается на дугу длиной 1. Если же мы возьмем угол в 2 рад, то он, очевидно, будет опираться на дугу длиной 2:

14gfhgh

Также можно показать, что угол в 3 рад опирается на дугу длиной 3 и т. д. Вообще у единичной окружности величина угла в радианах в точности равна длине дуги, на которую он опирается. Это и есть та удобная особенность единичной окружности, из-за которой математики предпочитают использовать в тригонометрии именно ее.

Теперь попытаемся понять, сколько радиан составляет угол в 180°. Он представляет собой развернутый угол, то есть он опирается на дугу, составляющую ровно половину окружности. Напомним, что длина всей окружности рассчитывается по формуле

L = 2πR,

где R – это радиус окружности;

π – число «пи», математическая константа, равная примерно 3,1415927…

Радиус единичной окружности равен единице, поэтому ее длина составляет

L = 2πR = 2π•1 = 2π

Ясно что половины окружности вдвое меньше, то есть равна π. Получается, что угол в 180° опирается на дугу длиной π. Значит, его величина в радианах как раз и равна π! Проиллюстрируем это:

15hjghj

Итак, π рад = 180°

Представим это равенство несколько в другой форме:

π•1 рад = 180°

Теперь поделим равенство на число π:

1 рад = 180°/π = 1 рад = 180°/π ≈180°/3,1415927 ≈57°17’

Итак, мы смогли вычислить, что 1 радиан примерно равен 57°, или, если быть абсолютно точными, 180/π градусам. Величина угла, записанная в градусах, называется градусной мерой угла. Величина угла в радианах называется радианной мерой угла. Важно уметь переводить углы из градусов в радианы и наоборот.

Обозначим αрад. радианную меру угла, а αград. – градусную меру. Так как 1 радиан составляет 180/π градусов, то можно записать формулу

αград = αрад.•180/π

Если из этой формулы выразить величину αград., то мы получим выражение:

αрад. = αград.•π/180

16gfjhk

Продемонстрируем использование этих формул.

 

Задание. Переведите в радианы углы 45°, 90°, 150°, – 75°, 1440°, 5°, 12°.

Решение. Необходимо просто подставлять величину углов в формулу:

αрад. = αград.•π/180

При этом для удобства счета число числитель и знаменатель можно раскладывать на множители, тогда одинаковые множители можно будет сократить:

17fhy

Можно заметить, что градусная мера угла выражается целым числом, то при ее переводе в радианах получится дробь, в знаменателе которой будет стоять число π. Конечно, можно подставить вместо него приближенное значение 3,14… и получить радианную меру в более привычном виде, например:

90° = π/2 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57 радиан

Однако в математике работают с точными значениями, а не приближенными, а потому число π так и оставляют в знаменателе. При этом обозначение радиан часто опускают. То есть, если в учебнике указано, что какой-то угол равен π/2, то это значит, что он равен π/2 радиан.

 

Задание. Выразите углы π/2 , π/4, 5π/18, 4π/3, 19π/6, 11π/2, – 23π/4, 2π в градусах.

Решение. Используем формулу αград = αрад.•180/π:

18hgfgh

Желательно запомнить самые часто встречающиеся в тригонометрии углы. Их радианные и градусные меры приведены в таблице:

19gfdyt

Отметим эти и некоторые другие углы на числовой окружности:

20gfdrt

Напомним, что один полный поворот по окружности составляет 360°, и если эту величину добавить к произвольному углу, то он, с точки зрения тригонометрии, фактически не изменится:

α = α + 360°

Но угол в 360° равен 2π радиан. Поэтому, если добавить у произвольному углу 2π, то он также не изменится:

α = α + 2π

Добавить можно не один, а несколько поворотов, как против, так и по часовой стрелке, и угол всё равно не изменится. Этот факт можно записать следующей формулой:

α = α + 2π•n

где n – произвольное целое число.

Например, справедливы равенства:

π = π + 2π = 3π

π/2 = π/2 + 2π•2 = π/2 + 4π = π/2 + 8π/2 = 9π/2

27π/4 = 27π/4 – 2π•3 = 27π/4 – 6π = 27π/4 – 24π/4 = 3π/4

Удобнее всего работать с углами, чья радианная мера находится в диапазоне от 0 до 2π. Любой другой угол можно заменить углом из этого «стандартного» диапазона.

 

Задание. Замените угол 32π/3 равным ему углом из диапазона 0 ≤ α ≤ 2π.

Решение. Угол 32π/3 больше 2π, то есть, чтобы его получить, надо сделать несколько полных поворотов на единичной окружности. Для определения числа таких поворотов поделим 32π/3 на 2π:

21fdfhy

Получается, что число оборотов равно 5. Так как одному повороту соответствует угол 2π, то пяти поворотам равен угол 5•2π. Мы можем смело вычесть эту величину из исходного угла:

32π/3 – 2•5π = 32π/3 – 10π = 32π/3 – 30π/3 = 2π/3.

Ответ: 2π/3.

 

Задание. Какому углу из диапазона 0 ≤ α ≤ 2π соответствует угол – 79π/4?

Решение. Поделим 79π/4 на 2π:

22gfhjhj

Это означает, что к отрицательному углу –79π/4 следует добавить 9 оборотов против часовой стрелки, каждый из которых равен 2π:

– 79π/4 = – 79π/4 + 9•2π = – 79π/4 + 18π = – 79π/4 + 72π/4 = – 7π/4

Получили отрицательный угол. Чтобы сделать его положительным, добавим ещё один оборот, то есть 2π

– 7π/4 + 2π = – 7π/4 + 8π/4 = π/4

Ответ: π/4.

В следующем уроке мы узнаем, как единичная окружность может использоваться для определения синуса угла и нахождения значений других тригонометрических функций.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Чему равен радиус единичной окружности?
15
2нулю
3числу π
4единице
Ответить
4
Вопрос: 2
Переведите 120° в радианы:
14π/3
24π/3
35π/6
47π/8
Ответить
2
Вопрос: 3
Переведите угол 5π/4 в градусы:
1225°
2270°
3150°
4390°
Ответить
1
Вопрос: 4
Какому углу α из диапазона 0 ≤α< 2π соответствует угол 13π/6?
15π/6
2π/3
3π/6
47π/6
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Чему равен радиус единичной окружности?
1) 5 2) нулю 3) числу π 4) единице
2 вопрос:

Переведите 120° в радианы:
1) 4π/3 2) 4π/3 3) 5π/6 4) 7π/8
3 вопрос:

Переведите угол 5π/4 в градусы:
1) 225° 2) 270° 3) 150° 4) 390°
4 вопрос:

Какому углу α из диапазона 0 ≤α< 2π соответствует угол 13π/6?
1) 5π/6 2) π/3 3) π/6 4) 7π/6
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: единице
2 вопрос: 4π/3
3 вопрос: 225°
4 вопрос: π/6
slide7

Подготовься к ЕГЭ наилучшим образом

Перейти
slide16

Узнай, как сдать ЕГЭ на 100 баллов

Перейти
slide19

Ускоренный курс
подготовки к ЕГЭ

Перейти
slmob12

На ЕГЭ во всеоружии

Перейти
slmob13

Узнай, как сдать ЕГЭ на 100 баллов

Перейти
slide19

Ускоренный курс
подготовки к ЕГЭ

Перейти