Математика

Урок 1: Делимость

Делимость

На школьном празднике ученики показывали творческие номера. Выступления были необычными, интересными. Самый большой успех у зрителей имела пятиклассница Мария. Она предложила зрителям, называть различные числа, не вычисляя, говорила, можно ли разделить без остатка предложенное число на 5,10,3,9! Одноклассники Марии решили показать подобные фокусы родителям. Для этого нужно научиться определять, делится то или иное число на один из рассмотренных делителей или нет. Как это сделать? В чем секрет Машиного выступления? Найти ответы на вопросы, можно, если рассмотреть данный урок!

Обложка урока взята с источника.

План урока:

Делимость чисел

Признак делимости на 5

Признак делимости на 2

Признак делимости на 3

Признак делимости на 9

Минутка истории

 

Делимость чисел

Рассмотрим простую задачку.

Глеб вышел во двор. Шестеро друзей ждали на детской площадке. В кармане мальчик нес 18 конфет. Он решил разделить конфеты поровну,между товарищами. Сколько сладостей досталось каждому ребенку?

1Chocolate Truffles
Источник

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, общее количество конфет разделим на количество детей.

Прежде, вспомним название компонентов при делении:

2

Делимым, тем, что мы должны разделить, будет общее количество конфет. Делителем числа – числом, на которое количество конфет должно поделиться без остатка, является численность детей.

Выполним деление:

18 : 6 = 3.

Деление выполнено. Принято говорить, число 18 кратно 6.

3

Получается, каждому ребенку досталось 3 конфеты.

 

Разберем задание

Подберем числа, кратные числу два.

Чтобы выполнить данное задание, нужно знать, что кратными числу, называют числа, которые делятся без остатка на данное число.

Поэтому, запишем числа, которые делятся на два.

2,4,6,8,10,12,14,16….. 10856…..4855364….

Ряд чисел продолжится до бесконечности. Исходя из этого, делаем вывод:

4

Получается, каждому ребенку досталось 3 конфеты.

 

Разберем задание

Подберем числа, кратные числу два.

Чтобы выполнить данное задание, нужно знать, что кратными числу, называют числа, которые делятся без остатка на данное число.

Поэтому, запишем числа, которые делятся на два.

2,4,6,8,10,12,14,16….. 10856…..4855364….

Ряд чисел продолжится до бесконечности. Исходя из этого, делаем вывод:

5gp View
Источник

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно выяснить можно ли заехавших детей, каждого лагеря распределить на десять отрядов. Для этого, численность отдыхающих, каждого лагеря, разделим на 10.

Давайте вспомним ка выполнить деление натурального числа на 10:

6

Используя данное правило, выполним  необходимые вычисления.

Известно, что  «Дружба» приняла 450 ребят. Давайте разделим численность(450) ребят на количество отрядов (10):

450 : 10 = 45.

Деление выполнено. Получается, в каждом из 10 отрядов будет 45 человек.

«Радость» приняла 388 человек. Давайте разделим, количество детей на отряды:

388 : 10 = 38,8.

В этом случае, выполнить деление без остатка не получается. Значит, получить нужное количество отрядов с равным числом отдыхающих в лагере «Радость» невозможно.

В «Улыбку» заехало 500 детей.

Давайте узнаем, можно ли их распределить на 10 отрядов с равным количеством воспитанников?

Для этого делим число въехавших, на предполагаемые отряды:

500 : 10 = 50.

Деление выполнено. Дети распределены на отряды, по 50 человек в каждом.

 Первый и третий лагеря могут выполнить задуманное распределение воспитанников, а второй лагерь не имеет такой возможности.

 Внимательно рассмотрев решение задачи, приходим к выводу:  разделить число на 10, без остатка, возможно,  если число заканчивается цифрой 0.

 Мы вывели признак делимости натурального числа на 10:

7

 

Признак делимости на 5

Рассмотрим еще один пример.

В магазине было 15 килограммов яблок, 33 килограмма груш, 20 килограммов бананов. Можно ли поровну, разложить фрукты в 5 ящиков?

8fruit transparent
Источник

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно разложить каждый вид фруктов в пять ящиков.

Сначала, разложим яблоки. Для этого, количество яблок, делим на количество ящиков:

15 : 5 = 3.

Деление выполнено. Значит, в ящике буде по 3 килограмма яблок.

Теперь разложим по ящикам груши. Для этого количество груш делим на количество ящиков:

33 : 5 = 6 ( остаток 3).

Деление выполнили с остатком. Разложить груши в 5 ящиков поровну не получится, в каждом ящике окажется по 6 груш, и три груши останутся нераспределенными.

Распределим бананы. Количество бананов делим на численность ящиков:

20 : 5 = 4.

Деление выполнено. Бананы можно разложить по 4 килограмма в пять ящиков.

Если внимательно рассмотреть решение задания, становится понятно, что без остатка на 5 можно разделить числа которые заканчиваются цифрой 5 или 0.

9

 

Признак делимости на 2

В городе имеется два прогулочных катера. Все желающие отдохнуть делятся между этими катерами поровну. В первый день билеты на прогулку по воде купило 48 человек, во второй день – 43, в третий – 52. Были ли разделены поровну все отдыхающие в каждый из дней?

10wx1080
Источник

Чтобы ответить на вопрос задачи нужно разделить численность отдыхающих, в каждый из дней, на два катера.

Рассмотрим первый день. Известно, что на прогулку отправилось 48 человек:

48 : 2 = 24.

Деление выполнено. Значит, на каждом катере было  24 человека.

Второй день: билеты приобрели 43 человека:

43 : 2 = 21 ( остаток 1).

Разделить желающих отдохнуть,  поровну невозможно.На один катер попало 22 человека, а на второй 21.

Третий день: продано 52 билета:

52 : 2 = 26.

Деление выполнено, отдыхающие распределены по 26 человек.

Мы смогли распределить людей поровну, между двумя катерами только в первый итретий день. В эти дни число проданных билетов заканчивалось четной цифрой: 48, 52.

Во второй день запись количества билетов оканчивалось нечетной цифрой 43.

Делаем вывод:

11

 

Признак делимости на 3

Кассир выдала заработную платуодномуработнику, на все звено. Сумма составила 85236 рублей. Звено состоит из 3 человек. Как узнать получателю, не отходя от кассы, что полученная сумма разделится на троих рабочих поровну?

12b
Источник

Чтобы ответить на вопрос задачи,  необходимо полученную сумму разделить на количество работников. Но бывают ситуации, когда выполнять вычисления нет возможности – например, стоя около кассы, а узнать делится ли число на 3 без остатка, очень нужно.

На такой случай в арифметике  существует правило:

13

Используя рассмотренное правило, выясним, сможет ли звеньевой разделить полученную сумму поровну.

Делимое состоит из цифр 8,5,2,3,6.

Найдем сумму: 8+5+2+3+6 =24.

Полученное число делится на 3: 24: 3 = 8.

Значит, вся сумма поделится на работников:

85236 : 3 =28412.

Зарплата одного сотрудника составила 28412 рублей.

 

Признак делимости на 9

Девять друзей пошли в лес за грибами. Они нашли 1017 грибов. Выясните, можно ли поделить грибы между грибниками поровну не выполняя сложных вычислений.

14gallery photo
Источник

Чтобы дать ответ на главный вопрос задачи, нужно выяснить, возможно ли разделить количество собранных грибов между ребятами поровну.

Для этого, необязательно выполнять сложные вычисления. Арифметика приходит на помощь:

15

Применим данное правило к нашей задаче.

Делимое число состоит из цифр : 1,0,1,7.

Найдем сумму: 1+0+1+7 = 9.

Полученная сумма делится на 9, значит,делимое число можно поделить на 9:

1017 : 9 = 113.

Теперь мы знаем, что каждому грибнику достанется по 113 даров леса.

Постарайтесь запомнить все рассмотренные правила, и необходимость выполнять сложные, длинные вычисления отпадет сама собой.

Для любого натурального числа от 1 до 100 … существуют признаки делимости, но в курс школьной программы для 6 класса, входят основные, на 2, 5, 10, 3, 9. Так - как использование этих признаков, не требует выполнения сложных вычислений, и пользоваться ими может любой школьник. А остальные признаки очень трудоемкие и сложные, использовать их в повседневной работе не очень удобно.

Например: Число делится на 7 тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 343 делится на 7, так как 34-(2·3)=34-6=28 делится на 7)

 

Минутка истории

  • Рассмотренные сегодня, признаки делимости чисел, с успехом применяли на практике жители Древнего Египта, еще две тысячи лет до нашей эры.
  • На гробнице Египетской пирамиды написано число 2520. Ученые долгое время пытаются найти ответ: «Почему это число?». Версией ученых, стало предположение, что начертано то число, которое делится на все натуральные числа от 1 до 10.
  • Математик Блез Паскаль, в довольно юном возрасте, вывел общий алгоритм нахождения признаков делимости любого натурального числа на любое натуральное число. Этим изобретением пользуются до сих пор ученые всего мира

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Что значит «Число а, кратно числу b»?
1число а, делится без остатка на число b
2число а, больше числа b
3число а, меньше числа b
Ответить
1
Вопрос: 2
Любое натуральное число делится без остатка на 10, если:
1последняя цифра в записи числа – 5
2последняя цифра в записи числа – 0
3последняя цифра в записи числа – 1
Ответить
2
Вопрос: 3
Если в записи натурального числа, последняя цифра 5 или 0, то оно делится без остатка на:
15
210
32
Ответить
1
Вопрос: 4
Если сумма цифр в записи делимого числа делится на делимое, то и само число делится без остатка на…:
13 и 5
29 и 2
33 и 9
Ответить
3
Вопрос: 5
Какое из чисел кратно 5?
1583
2425
3111
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Что значит «Число а, кратно числу b»?
1) число а, делится без остатка на число b 2) число а, больше числа b 3) число а, меньше числа b
2 вопрос:

Любое натуральное число делится без остатка на 10, если:
1) последняя цифра в записи числа – 5 2) последняя цифра в записи числа – 0 3) последняя цифра в записи числа – 1
3 вопрос:

Если в записи натурального числа, последняя цифра 5 или 0, то оно делится без остатка на:
1) 5 2) 10 3) 2
4 вопрос:

Если сумма цифр в записи делимого числа делится на делимое, то и само число делится без остатка на…:
1) 3 и 5 2) 9 и 2 3) 3 и 9
5 вопрос:

Какое из чисел кратно 5?
1) 583 2) 425 3) 111
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: число а, делится без остатка на число b
2 вопрос: последняя цифра в записи числа – 0
3 вопрос: 5
4 вопрос: 3 и 9
5 вопрос: 111