План урока:

Определение степени с натуральным показателем

Сравнение степеней

Умножение и деление степеней

Одночлен. Умножение одночленов

Возведение одночлена в степень

Тождества

 

Определение степени с натуральным показателем

Периодически в математике приходится умножать число на само себя несколько раз. Пусть нам надо записать произведение десяти множителей, каждый из которых равен 2. Эта запись будет выглядеть так:

2*2*2*2*2*2*2*2*2*2

Однако существует и более компактная и удобная запись:

2*2*2*2*2*2*2*2*2*2 = 2¹⁰

Говорят, что число 2 возвели в десятую степень. В данном случае двойка – это основание степени, а 10 – показатель степени:

Если показатель равен единице, то в произведении должен быть только один множитель, а потому само число не меняется:

2¹ = 2

Теперь сформулируем определение степени числа с натуральным показателем:

Важно понимать, что такое определение может использоваться только в том случае, если n – натуральное число. В старших классах будут рассматриваться примеры с дробными и отрицательными показателями, однако в таких случаях потребуются и более сложные определения этого понятия.

Отметим, что основание может быть любым числом – целым, дробным, положительным, отрицательным.

Рассмотрим несколько простейших заданий.

1. Возведите в 5-ую степень число 3.

Решение:

3⁵ = 3*3*3*3*3 = 9*3*3*3 = 27*3*3 = 81*3 = 243

 

2. Возведите во 2-ю степень число 0,7.

Решение:

0,7² = 0,7*0,7 = 0,49

 

3. Возведите в 3-ю степень дробь 3/4.

Решение:

 

4. Возведите в 4-ую степень число – 4.

Решение:

(-4)⁴ = (-4)*(-4)*(-4)*(-4) = 16*(-4)*(-4) = (-64)*(-4) = 256

 

5. Возведите в третью степень – 5.

Решение:

(-5)³ = (-5)*(-5)*(-5) = 25*(-5) = -125

Обратите внимание, что при возведении отрицательного числа можно получить как отрицательное, так и положительное число. Здесь всё зависит от значения показателя. Если он четный, то получится положительное число, а если нечетный, то отрицательное.

6. Сравните выражения (–1,365)¹⁰⁶ и (– 2,512)⁷⁵.

Решение:

Число 106 – четное, поэтому при вычислении (–1,365)¹⁰⁶ должно получиться положительное число:

(–1,365)¹⁰⁶> 0.

Число 75 – нечетное, поэтому (– 2,512)⁷⁵ – это отрицательное число:

(– 2,512)⁷⁵<0.

Следовательно, можно записать следующее

(– 2,512)⁷⁵< 0 <(–1,365)¹⁰⁶, откуда

(– 2,512)⁷⁵< (–1,365)¹⁰⁶.

Ответ: (– 2,512)⁷⁵< (–1,365)¹⁰⁶.

Очевидно, что, сколько бы мы не умножали ноль на самого себя, в результате всегда будет получаться снова 0. Поэтому при любом натуральном значении n выражение 0ⁿ равно нулю.

Исторически сложилось, что для некоторых степеней в математике есть особое название. Квадратом числа называют его произведение на само себя. Например, квадрат шести (ещё говорят «шесть в квадрате») равен 36:

6² = 6*6 = 36

Кубом числа называют его третью степень. Так, куб пяти (ещё говорят «пять в кубе») равен 125:

5³ = 5*5*5 = 25*5 = 125

Пример. Найдите сумму квадратов чисел (натуральных) от 1 до 5.

Решение:

1²+2²+3²+4²+5² = 1+4+9+16+25 = 55

Ответ: 55.

Такие названия связаны с тем, что, площадь квадрата со стороной, равной a, составляет a², а объем куба с такой же длиной ребра равен a³. Квадраты и кубы чисел обладают множеством интересных свойств. Например, квадрат натурального числа n равен сумме первых n нечетных чисел:

1² = 1

2² = 1 + 3 = 4

3² = 1 + 3 + 5 = 9

4² = 1 + 3 + 5 + 7 = 16

Попытайтесь привести доказательство этого факта. Если не получается, то просто посмотрите на следующую картинку:

Количество клеточек под каждым числом соответствует его квадрату. Видно, что для получения каждого следующего квадрата нужно добавить к предыдущему нечетное количество клеточек (выделены зеленым цветом), чтобы «достроить» его до «полного» квадрата.

Важно отметить, что в арифметических выражениях операция возведения в степень выполняется до умножения и сложения. Рассмотрим пример. Пусть надо вычислить значение выражения:

-5² + 54/(-3)³

Решение:

Поставим последовательность выполнения операций:

Выполним арифметические операции:

1) 5² = 5*5 = 25

2) (-3)³ = (-3)*(-3)*(-3) = -27

3) 54/(-27) = -2

4) -25+(-2) = -27

Ответ: – 27.

Обратите внимание, что самый первый минус в выражении относится не к пятерке, которую возводят в квадрат, а ко всему квадрату. То есть здесь сначала надо возвести 5 в квадрат, а потом изменить знак выражения

Если бы в этом примере была запись

(-5)² + 54/(-3)³

то тогда в первом действии мы получили бы

(-5)*(-5) = 25

А в четвертом выполняли бы сложение

25 + (-2) = 23

То есть, если необходимо возвести в степень отрицательное число, то его следует записать в скобках:

(-2)⁴ = (-2)*(-2)*(-2)*(-2) = 16

-2⁴ = -2*2*2*2 = -16

Сравнение степеней

Можно заметить несколько очевидных правил, которые помогают сравнивать степени положительных чисел, не вычисляя напрямую их значения.

Правило 1. Каждая следующая степень числа, большего единицы, больше предыдущей:

2¹<2²<2³<2⁴<2⁵<2⁶ ...

3¹<3²<3³<3⁴<3⁵<3⁶ ...

1.1¹<1.1²<1.1³<1.1⁴<1.1⁵<1.1⁶ ...

Правило 2. Каждая следующая степень положительного числа, меньшего единицы, меньше предыдущей:

Правило 3. Все степени единицы равны друг другу:

1¹ = 1² =1³ =1⁴ =1⁵ =1⁶ …

Правило 4. Если две степени имеют одинаковый показатель, но различающееся основание (положительное), то больше та, у которой больше основание:

1²<2²<3²<4²…

0,17²<0,18²<0,19²<0,2²…

Рассмотрим примеры:

1. Необходимо сравнить числа 56¹⁰⁰ и 56¹⁰².

Решение:

Число 56 больше единицы, а 100 < 102. Поэтому и 56¹⁰⁰< 56¹⁰².

Ответ: 56¹⁰⁰< 56¹⁰².

 

2. Сравните числа 0,9¹⁰⁰⁰ и 0,99⁵⁰⁰.

Решение: Сравнить напрямую эти числа друг с другом не получится, так как у них отличаются и показатель, и основание. Однако оба эти выражения можно сравнить с другим числом 0,99¹⁰⁰⁰:

0,9¹⁰⁰⁰<0,99¹⁰⁰⁰, по правилу 4, так как показатели равны, а основание у 0,9¹⁰⁰⁰ меньше(0,9 < 0,99).

0,99¹⁰⁰⁰< 0,99⁵⁰⁰, по правилу 2, так как основания этих чисел равны и меньше единицы, а показатель больше у 0,99¹⁰⁰⁰

На основании этих двух неравенств можно записать двойное неравенство

0,9¹⁰⁰⁰<0,9¹⁰⁰⁰< 0,99⁵⁰⁰,

Из него следует, что 0,9¹⁰⁰⁰< 0,99⁵⁰⁰.

Ответ: 0,9¹⁰⁰⁰< 0,99⁵⁰⁰.

Умножение и деление степеней

Пусть нам надо перемножить две выражения с одинаковым основанием, например, 5⁴ и 5³. Для этого представим их как произведение множителей:

5⁴ = 5*5*5*5

5³ = 5*5*5

Тогда их произведение можно записать как:

5⁴*5³ = (5*5*5*5)(5*5*5) = 5*5*5*5*5*5*5 = 5⁷

Получается, что если перемножаются степени с одинаковым основанием, то в результате получается ещё одна степень с таким же основанием, чей показатель равен сумме показателей перемножаемых степеней. В виде формулы это записывается так:

aⁿ*a^m = a^n+m

Это правило умножения степеней называют основным свойством степени. Доказывается оно так:

Аналогично можно перемножить и более двух чисел. Например,

3²*3³*3⁴ = 3²⁺³⁺⁴ = 3⁹

Теперь попробуем понять, как делить степени с одинаковыми основаниями.

Для этого запишем произведение чисел a^m–n и aⁿ:

a^m–n * aⁿ = a^m–n+n = a^m+(n-n) = a^m+0 = a^m

Получили, что a^m–n * aⁿ = a^m. Теперь поделим правую и левую часть равенства этого равенства на aⁿ:

 

Для наглядности рассмотрим случай с конкретными числами. Пусть надо надо вычислить 2¹⁰:2⁶. Можно записать, что

2^10-6*2⁶ = 2^10-6+6 = 2¹⁰

Поделим правую и левую часть этого равенства на 2⁶:

Получается, что верно следующее правило деления степеней:

Данные правила действуют и в том случае, когда вместо показателя и/или основания используется переменная. Например:

Если в выражении есть и умножение, и деление, то следует сначала сложить показатели перемножаемых чисел, а потом вычесть из нее показатели делителей:

Теперь введем понятие нулевой степени числа. Для этого поделим aⁿ на само себя, учитывая уже сформулированные правила деления:

aⁿ : aⁿ = a^n-n = a⁰

С другой стороны, любое число (кроме нуля), при делении на само себя дает единицу:

aⁿ : aⁿ = 1

Из этих двух равенств можно составить третье равенство:

a⁰ = 1

Получается, что любое число в нулевой степени равно единице.

К выражению 0⁰ подобная логика неприменима, так как деление на ноль не допускается в алгебре. Поэтому считается, что выражение 0⁰ не имеет смысла, так же как и деление на ноль.

Иногда приходится возводить в степень другую степень. Попытаемся вычислить выражение (2³)⁴:

(2³)⁴ = 2³ * 2³ * 2³ * 2³ = 2^3+3+3+3 = 2^3*4 = 2¹²

Видно, что нам пришлось перемножить показатели. Верно следующее правило возведения степени в степень:

(aⁿ)^m = a^nm

Рассмотрим пример. Необходимо вычислить значение выражения 9¹⁰:3¹⁸.

Решение. У делимого и делителя разные основания, поэтому сразу произвести деление не получится. Однако число 9 можно представить как квадрат тройки:

9 = 3²

Тогда и выражение можно переписать:

9¹⁰ : 3¹⁸ = (3²)¹⁰ : 3¹⁸

Далее последовательно выполняем математические операции:

(3²)¹⁰ : 3¹⁸ = 3^2*10 : 3¹⁸ = 3²⁰ : 3¹⁸ = 3^20-18 = 3² = 9

Ответ: 9.

 

Ещё один пример. Необходимо сравнить числа 5³⁰⁰ и 3⁵⁰⁰.

Решение.

5³⁰⁰ = 5^3•100 =(5³)¹⁰⁰ =125¹⁰⁰.

3⁵⁰⁰ =3^5•100 =(3⁵)¹⁰⁰ =243¹⁰⁰.

125¹⁰⁰<243¹⁰⁰, значит, 5³⁰⁰< 3⁵⁰⁰.

Ответ: 5³⁰⁰< 3⁵⁰⁰.

 

Иногда приходится выполнять операции над степенями с разными основаниями, но одинаковыми показателями. Перемножим числа 2⁴ и 3⁴:

2⁴*3⁴ = (2*2*2*2)*(3*3*3*3)

Поменяем местами множители:

(2*2*2*2)*(3*3*3*3) = (2*3)*(2*3)*(2*3)*(2*3) = 6*6*6*6 = 6⁴

Получается, что

2⁴*3⁴ = (2*3)⁴

Аналогичным образом для любых a и b, а также для любого натурального n справедливым будет равенство:

aⁿ•bⁿ = (ab)ⁿ.

Такие же рассуждения помогают найти формулу и для деления чисел с одинаковыми показателями:

aⁿ:bⁿ = (a:b)ⁿ.

Далее решим несколько примеров:

1. Вычислите 5⁶•2⁶.

Решение: 5⁶•2⁶ = (5*2)⁶ = 10⁶ = 1 000 000

Ответ: 1 000 000.

 

2. Вычислите 4¹⁰⁰•16¹⁵⁰•0,5⁷⁹⁵.

Решение: Перепишем выражение с учетом того факта, что 4 = 2², а 16 = 2⁴:

Заметим, что

а потому можно провести замену:

Ответ: 32.

Одночлен. Умножение одночленов

В алгебраических выражениях могут встречаться переменные, возведенные в степень, например, z⁴ или d³. Одночленом называют произведение нескольких таких переменных, а также действительных чисел.

Также может использоваться термин «моном», который является синонимом одночлена.

Приведем примеры мономов:

• 15L⁸F⁴;
• 4bc;
• – 9s¹⁷t²¹;
• 1,563b³h²r¹⁰.

Между переменными можно было бы поставить знак умножения, но почти всегда его опускают. Отдельно отметим, что мономом также считается выражение, в котором отсутствует числовой множитель, присутствует только одна переменная или вовсе нет переменных:

• 15a²;
• c⁵;
• 456.

То есть обычное число также считается мономом. Смысл в том, что для вычисления значения монома достаточно использовать операцию умножения.

Так как множители в произведении можно переставлять местами, то выражения 4•abc и a•4•bc идентичны друг другу. Для удобства принято записывать их в так называемом стандартном виде одночлена, когда числовой множитель располагается на первом месте. Сам этот множитель называют коэффициентом одночлена:

Коэффициент есть у всех мономов. Если он не указан, то считают, что перед переменными стоит единица:

с²а² = 1с²а².

Соответственно, в таком случае коэффициентом является единица. Если же перед мономом стоит только знак минус, то его коэффициентом является –1:

– с²а² = –1с²а².

Следующее важное понятие – степень одночлена. Она равна сумме степеней, стоящих у переменных в мономе. Найдем степени у некоторых одночленов:

• 9a²b³– степень одночлена равна 2+3=5, так как у переменных они равны 2 и 3;
• 7c⁴– степень равна 4, так как у единственной переменной в мономе степень равна 4;
• 56v⁸n³– степень равна 11=(8+3).

Если у переменной в мономе нет степени, то на самом деле она равна единице, так как любое число в 1-ой степени равно самому себе:

a¹ = a.

Если моном представляет собой отдельное число, то есть не содержит переменных, то его степень равна нулю.

При умножении одночленов всегда получается моном. Посмотрим на примере, как выполняется эта операция. Пусть надо перемножить одночлены 5a³b⁴и 6a⁵b⁷. Для этого сначала поменяем местами множители в произведении:

5a³b⁴*6a⁵b⁷ = 5*a³*b⁴*6*a⁵*b⁷ = 5*6*a³*a⁵*b⁴*b⁷ 

Продолжим вычисление, учитывая правила умножения чисел с одинаковыми основаниями:

5*6*a³*a⁵*b⁴*b⁷   = (5*6)*(a³*a⁵)*(b⁴*b⁷) = 30*a³⁺⁵*b⁴⁺⁷ = 30a⁸b¹¹

Получается, что мы просто перемножили коэффициенты мономов, а у одинаковых переменных сложили степени.

Здесь важно не перепутать такие две операции, как нахождение степени монома и умножение одночленов. В первом случае мы складываем степени, стоящие у разных переменных в одном мономе. Во втором случае мы складываем степени, стоящие у одинаковых переменных, но в разных (перемножаемых) мономах.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Перемножьте одночлены 8d²v и 9d³v⁴ и найдите степень получившегося произведения.

Решение:

8d²v•9d³v⁴ = (8•9) d²⁺³v¹⁺⁴ = 72 d⁵v⁵.

Степень получившегося монома равна 5 + 5 = 10

 

2. Перемножьте – 4a²b³с и – 3 b²с³.

Решение:

– 4a²b³с •(– 3b²с³) = (– 4)•(– 3)a²b³⁺²с¹⁺³ = 12a²b⁵с⁴.

 

3. Приведите одночлен к стандартному виду: 19t⁴• (– 2)t²d³.

Решение. В данном случае приведение к стандартному виду значит тоже самое, что и перемножение одночленов:

19t⁴ • (– 2)t²d³ = 19•(–2)•t⁴⁺²d³ = – 38t⁶d³.

Возведение одночлена в степень

Периодически в ходе вычислений возникает необходимость возведения одночлена в степень. Посмотрим, как выполняется подобная операция. Пусть надо возвести 2a³b²c в четвертую степень:

Видно, что каждый множитель монома мы по отдельности возвели в 4-ую степень. Можно сформулировать следующее правило:

 

Рассмотрим ещё несколько примеров:

• (3v³b²n⁴)³ = 3³(v³)³(b²)³(n⁴)³ = 27v^3•3b^2•3n^4•3 = 27v⁹b⁶n¹²;
• (4t⁵u⁷g⁹)² = 4²t^5•2u^7•2g^9•2 = 16t¹⁰u¹⁴g¹⁸.

Тождества

Рассмотрим равенство

a+(a+5)=2a+5.

В данном случае переменная a, содержащаяся в равенстве, может принимать любое значение. Подставим значение a, равное 1:

1+(1+5)=2•1+5;

1+6=2+5;

7=7.

Получили верное равенство. Подставим другое значение переменной, например, а=2, снова получим верное равенство (9=9). Вообще при любом допустимом значении переменной a всегда будет получаться верное равенство. Такое равенство называют тождеством.

Иногда в тождествах вместо знака равенства используют особый значок «≡». Основные тождества алгебры, которые вы уже встречали ранее – это переместительные законы сложения и умножения:

• a+b=b+a;
• ab=b•a;

сочетательные законы сложения и умножения:

(a+b)+c = a+(b+c);

(a•b)•c = a•(b•c);

а также распределительный закон, позволяющий раскрывать скобки:

(a+b)•c = a•c+b•c.

Иногда в понятие тождества включают также и равенства, вовсе не содержащие никаких переменных, например:

6² =36.

В качестве примера равенства, не являющегося тождеством, можно привести 5d+10 = 50. Оно будет выполняться только при значении переменной, равной 8, а при всех остальных значениях не выполняться.

Если два выражения равны друг другу при любых значениях переменных, то их называют тождественно равными.Тождественным преобразованием называют замену выражения на другое, тождественно ему равное. В качестве примера тождественного преобразования можно привести запись:

a⁵+a⁶ =a¹¹.