Геометрия

Урок 8: Объем

Объем

Каждая фигура в стереометрии ограничивает определенную часть пространства. Для количественного измерения этого пространства используется величина, известная как объем.

План урока:

Понятие объема

Свойства объема

Объем куба и прямоугольного параллелепипеда

Объем прямой призмы

Объем цилиндра

 

Понятие объема

Понятие объема появилось у человечества задолго до того, как геометрия оформилась как строгая наука. Многие вещества и товары, такие как зерно, рис и вода, необходимо хранить и транспортировать в различных упаковках (сосуды, бочки, ящики, контейнеры). При этом разные емкости могут вместить разное количество товаров. Например, пусть есть бочка, имеющая форму цилиндра, и контейнер, выглядящий как прямоугольный параллелепипед:

1 obem

Предположим, что в бочку можно поместить 5 кг пшеницы, а в контейнер помещается уже 15 кг пшеницы, то есть в контейнер можно положить в 3 раза больше пшеницы, чем в бочку. Можно сказать, что вместимость контейнера втрое больше вместимости бочки. Однако измерять вместимость емкости с помощью массы пшеницы, помещаемой в него, неудобно, ведь в них можно класть и другие вещества. Мы можем положить в емкости что-нибудь более тяжелое, например сухой песок. Тогда в бочку может влезть уже 10 кг песка, а в контейнер – 30 кг. И снова получается, что вместимость контейнера втрое больше, хотя масса вещества увеличилась.

Именно для измерения вместимости и было введено понятие объема. Если в одну упаковку помещается вдвое больше товаров, чем во вторую упаковку, то и объем у нее будет вдвое больше. С древнейших времен замечено, что отношение объемов двух сосудов не зависит от того вещества, которое в них хранят. Например, если в один сосуд помещается в 5 раз больше риса, чем в другой сосуд, то в него также будет помещаться в 5 раз больше воды, в 5 раз больше песка, в 5 раз больше нефти и т. д. Таким образом, в практическом смысле объем – это количественная характеристика вместимости тех или иных упаковок.

В рамках стереометрии изучаются не реальные сосуды, а абстрактные тела. Каждое из них занимает определенную часть пространства, большую или меньшую. Объем используется для измерения этих частей пространства. Для обозначения объема используется латинская буква V.

2 obem

Для измерения объема необходима единица измерения. Условно принимается, что куб, чьим ребром является единичный отрезок, имеет объем, равный единице. Такой куб именуется единичным. Заметим, что грани единичного куба – это единичные квадраты.

3 obem

В случае, когда длина ребра куба является безразмерной величиной, то объем также будет безразмерной величиной. Если же указана единица измерения длины, то объем куба будет измеряться этой же единицей, к которой приписано слово «кубический». Например, если ребро куба равно 1 м, то объем куба будет равен 1 кубическому метру, или 1 м3. Объем куба с ребром 1 мм будет составлять 1 мм3 и т. д.

4 obem,

 

Свойства объема

Свойства объема во многом совпадают со свойствами площади. Ясно, что у равных тел будут одинаковы и объемы.

5 obem

Второе свойство объема связано с тем, что он является аддитивной величиной. Это значит, что если тело можно разбить на несколько тел, то его объем будет равен сумме объемов этих тел.

6 obem

Это свойство аддитивности объема уже позволяет решать некоторые стереометрические задачи.

 

Задание. Тело состоит из цилиндра объемом 12 см3 и конуса объемом 4 см3. Каков объем этого тела?

7 obem

Решение. Здесь надо просто сложить объемы цилиндра и конуса, чтобы найти общий объем всей фигуры:

8 obem

Ответ: 16 см3.

 

Задание. Найдите объем фигуры, показанной на рисунке:

9 obem

Решение. Данную фигуру несложно разбить на три единичных куба:

10 obem

Тогда объем тела будет равен сумме объемов трех единичных кубов, то есть трем:

11 obem

Ответ: 3.

 

Задание. Вычислите объем фигуры, получающейся при рассечении куба плоскостью, проходящей через два его ребра.

Решение. Ясно, что такая секущая плоскость будет делить куб на две равные фигуры (иначе просто не удастся провести плоскость через два ребра):

12 obem

Также понятно, что два получившихся многогранника равны друг другу. Обозначим объем каждого из них как V. Тогда в сумме их объем должен быть равен 1, ведь вместе эти фигуры образуют единичный куб. Это позволяет составить уравнение, из которого можно вычислить величину V:

13 obem

 

Объем куба и прямоугольного параллелепипеда

Докажем важную вспомогательную теорему:

14 obem

Действительно, пусть у двух параллелепипедов одинаковы основания. Тогда их можно совместить. Пусть общим основанием будет АВСD, а высотами параллелепипедов будут отрезки АР и АК, причем АР <АК. Объем меньшего параллелепипеда с высотой АР обозначим как VР, а большего – как VK:

15 obem

Нам надо доказать, что объемы фигур пропорциональны их высотам:

16 obem

Для начала рассмотрим случай, когда отношение высот является рациональным числом. Это означает, что существует некоторая дробь m/n, такая, что

17 obem

где m и n – натуральные числа. Тогда разобьем отрезок АК как раз на n равных отрезков. В этом случае отрезок АР будет состоять в точности из m таких отрезков. Далее через концы отрезков проведем плоскости, параллельные основанию:

18 obem

В результате мы получили n равных параллелепипедов («пластин»), которые все вместе образуют большой параллелепипед объемом VK. Поэтому объем одной такой пластины равен величине VK/n:

19 obem

Итак, мы доказали теорему для случая, когда отношение высот является рациональным числом. Теперь перейдем к более сложному случаю, когда это отношение представляет собой иррациональное число. Здесь можно рассуждать от противного. Предположим, что теорема ошибочна, тогда для каких-нибудь двух параллелепипедов отношение их объемов будет равно не отношению их высот, а какому-то другому числу k:

20 obem

Это значит, что k либо меньше, либо больше, чем отношение АР/АК. Рассмотрим случай, когда k< АР/АК (случай, когда k> АР/АК, рассматривается аналогичным образом). Тогда возьмем какое-нибудь рациональное число R, находящееся между числами k и АР/АК:

21 obem

(Примечание. Здесь мы неявно используем утверждение, которое можно доказать в рамках алгебры – между любыми двумя различными действительными числами располагается хотя бы одно рациональное число).

Умножим это неравенство на длину АК:

22 obem

Построим параллелепипеды с общим основанием АВСD и высотами АК и АР, а также с высотой АЕ = R•АК. Так как R•АК < АР, то точка Е будет лежать между А и Р:

23 obem

Объем параллелепипеда с высотой АЕ обозначим как VЕ. Ясно, что

24 obem

ведь число k не может быть одновременно и больше, и меньше R. Полученное противоречие означает, что исходное предположение об ошибочности теоремы неверно, и на самом деле она справедлива, ч. т. д.

Теперь с помощью доказанной теоремы можно вывести известную ещё из младших классов формулу для расчета объема прямоугольного параллелепипеда.Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда являются числами а, b и c. Построим:

  • единичный куб;
  • параллелепипед с габаритами а, 1, 1 с объемом V1;
  • параллелепипед с габаритами а, b, 1 с объемом V2;
  • параллелепипед с габаритами а, b, c с объемом V.

Тогда можно последовательно вычислить их объемы. Объем первого параллелепипеда будет в а раз больше объема единичного куба, то есть он будет равен а. Объем второго параллелепипеда будет больше ещё в bраз, а третьего – ещё в с раз:

25 obem

Соответственно, для расчета объема параллелепипеда используется формула

26 obem

Иногда эту формулу формулируют несколько иначе: объем параллелепипеда – это произведение площади его основания на длину высоты, перпендикулярной этому основанию.

 

Задание. Три смежных ребра прямоугольного параллелепипеда имеют длины 9, 4 и 7 см. Каков объем параллелепипеда?

Решение. Здесь надо просто перемножить габариты параллелепипеда:

27 obem

Ответ: 252 см3.

 

Куб можно рассматривать как прямоугольный параллелепипед с одинаковыми измерениями. Поэтому для вычисления его объема надо умножить ребро куба само на себя дважды, то есть возвести его в куб.

28 obem

 

Задание. Вычислите объем куба с ребром 8 метров.

Решение. Просто возводим сторону ребро куба в третью степень:

29 obem

 

Задание. Если ребро куба увеличить на 2 дм, то его объем вырастет на 98 дм3. Какова длина ребра этого куба?

Решение. Обозначим длину ребра буквой х. Тогда объем куба будет составлять х3 дм. Если ребро увеличить на 2 дм, то оно будет иметь длину х + 2 дм, и тогда объем куба будет равен уже (х + 2)3 дм. Условие задачи можно записать в виде уравнения:

30 obem

Это квадратное уравнение имеет два корня, 3 и (– 5), что можно проверить с помощью теоремы Виета. Корень х = – 5 не имеет геометрического смысла, поэтому остается ответ х = 3.

Ответ: 3 дм.

 

Далее рассмотрим перевод единиц измерения объема. Например, как перевести 1 м3 в кубические сантиметры? Рассмотрим куб с ребром 1 м. Ясно, что его объем будет равен 1 м3. С другой стороны, можно сказать, что длина ребра этого куба составляет 100 см:

31 obem

Тогда объем этого куба можно посчитать так:

32 obem

Аналогично можно переводить и другие единицы измерения.

 

Объем прямой призмы

Рассмотрим сначала прямую призму, в чьем основании располагается прямоугольный треугольник. Ее можно достроить до прямоугольного параллелепипеда:

33 obem

Ясно, что объем параллелепипеда будет вдвое больше объема исходной призмы, ведь он состоит из двух таких призм. Аналогично и площадь основания у параллелепипеда будет вдвое больше. Обозначим площадь основания призмы буквой S, а ее высоту как h, тогда площадь основания параллелепипеда будет 2S, а его объем составит 2S•h. Тогда объем призмы будет вдвое меньше, то есть он окажется равным S•h.

34 obem

Далее рассмотрим прямую призму, в основании которой лежит уже произвольный треугольник. Проведем в этом треугольнике высоту, которая упадет на противоположную сторону (такую высоту всегда можно провести). Далее через эту высоту проведем плоскость, перпендикулярную основанию. В результате мы разделим призму на две прямых призмы, в основании каждой из которых будет лежать прямоугольный треугольник:

35 obem

Пусть площади получившихся прямоугольных треугольников обозначены как S1и S2, а общая площадь основания исходной призмы – это S. Мы можем вычислить объемы этих призм:

36 obem

Теперь, наконец, рассмотрим прямую призму, чье основание – произвольный многоугольник. Этот многоугольник можно разбить на несколько треугольников с площадями S1, S2, S3…, а призма соответственно будет разбита на несколько треугольных призм с объемами V1, V2, Vи. т. д.

37 obem

Объем каждой треугольный призмы мы можем рассчитать:

38 obem

 

Задание. Все ребра правильной шестиугольной призмы одинаковы, их длина обозначена буквой а. Найдите объем такой призмы.

Решение. Сначала необходимо найти площадь основания призмы, то есть площадь правильного шестиугольника. Напомним формулы для правильных многоугольников, изученные ещё в девятом классе:

39 obem

Для вычисления объема надо лишь умножить полученную площадь на высоту призмы, а она также равна а:

40 obem

 

Задание. В кубе АВС1В1С1D1 через середины ребер СD и BC проведено сечение, параллельное ребру СС1. Это сечение отсекает от куба треугольную призму, чей объем равен 19. Найдите объем куба.

41 obem

Решение. Ясно, что и куб, и треугольная призма будут прямыми призмами, причем у них одинаковая высота СС1. Тогда можно утверждать, что отношение их объемов равно отношению площадей их оснований:

42 obem

Пусть сторона АВ имеет длину а. Тогда площадь квадрата АВСD будет составлять а2. Отрезки ЕС и FC будут вдвое короче АВ, то есть их длина составляет a/2. ∆EFC – прямоугольный, и его площадь может быть рассчитана как половина произведения его катетов:

43 obem

 

Объем цилиндра

Цилиндр не получится разбить на несколько призм, поэтому для вычисления его объема используется другой метод. Впишем цилиндр в правильную n-угольную призму. Одновременно построим и другую правильную n-угольную призму, которая сама будет вписана в цилиндр. Объем вписанной призмы обозначим как Vв, а объем описанной призмы как Vо. Объем самого цилиндра – это Vц. При этом высоты всех трех фигур одинаковы:

44 obem

Ясно, что объем вписанной призмы меньше объема цилиндра, а тот в свою очередь меньше объема описанной призмы:

45 obem

Теперь будем неограниченно увеличивать число n. При этом площади Sв и Sо будут стремиться к площади основания цилиндра, равной величине πr2, где r– радиус основания цилиндра. Это возможно лишь в том случае, если справедливо равенство

46 obem

 

Задание. Найдите объем цилиндра с высотой 5 см и радиусом 6 см.

Решение. Сначала находим площадь основания:

47 obem

 

Задание. Известно, что высота цилиндра вдвое больше его радиуса, а объем цилиндра равен 54π. Найдите радиус цилиндра.

Решение. Обозначим радиус цилиндра буквой х. Тогда по условию высота будет вдвое больше, то есть она составит 2х. Вычислим объем цилиндра:

48 obem

Ответ: 3.

 

Задание. Труба изготовлена из металла с плотностью 11,4 г/см3. Внутренний диаметр трубы равен 13 мм, а ее стенка имеет толщину 4 мм. Длина трубы – 25 метров. Какова ее масса?

49 obem

Решение. Для расчета массы необходимо сперва вычислить объем трубы. Ясно, что если к объему трубы прибавить объем внутреннего отверстия, то в итоге получится объем большого цилиндра, чей диаметр равен наружному диаметру трубы:

50 obem

Легко найти объем отверстия, ведь оно имеет форму цилиндра. Его радиус вдвое меньше диаметра, то есть он равен 13/2 = 6,5 мм. При расчете важно не забыть перевести высоту в миллиметры:

51 obem

Сегодня мы узнали о такой характеристике тел, как объем. Если объем куба и прямоугольного параллелепипеда мы умели находить ещё в средней школе, то определять объем цилиндра и прямой призмы мы научились только сейчас. Однако все эти случаи по сути одинаковы – надо перемножить высоту фигуры и площадь ее основания. В будущем мы научимся вычислять объемы более сложных фигур – пирамиды, конуса, шара.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Тело А составлено из трех других тел с объемами 6, 12 и 20. Каков объем тела А?
12
226
31440
438
Ответить
4
Вопрос: 2
Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда, ребра которого имеют длины 4, 5 и 6.
115
2120
3180
460
Ответить
2
Вопрос: 3
Одно из ребер прямоугольного параллелепипеда меньше второго ребра в 2 раза и меньше третьего ребра в три раза. Чему равна длина этого наименьшего ребра, если объем параллелепипеда составляет 2058?
17
28
39
410
Ответить
1
Вопрос: 4
Радиус цилиндра – 10 см, а его высота – 15 см. Каков объем цилиндра?
1150π см3
22250π см3
31500π см3
425π см3
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Тело А составлено из трех других тел с объемами 6, 12 и 20. Каков объем тела А?
1) 2 2) 26 3) 1440 4) 38
2 вопрос:

Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда, ребра которого имеют длины 4, 5 и 6.
1) 15 2) 120 3) 180 4) 60
3 вопрос:

Одно из ребер прямоугольного параллелепипеда меньше второго ребра в 2 раза и меньше третьего ребра в три раза. Чему равна длина этого наименьшего ребра, если объем параллелепипеда составляет 2058?
1) 7 2) 8 3) 9 4) 10
4 вопрос:

Радиус цилиндра – 10 см, а его высота – 15 см. Каков объем цилиндра?
1) 150π см3 2) 2250π см3 3) 1500π см3 4) 25π см3
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: 38
2 вопрос: 120
3 вопрос: 7
4 вопрос: 1500π см3