Алгебра

Урок 6: Многочлены

Многочлены

Многочлены являются одними из самых важных объектов в математике. Исторически именно с их изучением и было связано развитие всей алгебры. Понимание этой темы позволит разобраться в последующем с формулами сокращенного умножения и уравнениями.

План урока:

Многочлен, вычисление значений многочлена

Стандартный вид многочлена

Сложение и вычитание многочленов

Умножение одночлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен

 

Многочлен, вычисление значений многочлена

В предыдущем уроке мы познакомились с понятием одночлена. При записи одночленов не используется операция сложения. Если же возникает необходимость сложить несколько одночленов, то в результате получается многочлен.

1 opredelenie

В качестве примера многочленов можно привести следующие выражения:

2 formula

Стоит обратить внимание, что в записи многочлена может использоваться и знак минус, при этом его всё равно можно считать суммой одночленов, а не разностью. Дело в том, что можно условно считать, что знак минус относится к коэффициенту одночлена, например:

3 formula

Для некоторых видов многочленов существуют особые названия. Если многочлен состоит из двух одночленов, то его называют двучленом. Многочлен, состоящий из 3 одночленов, называют трехчленом.

Иногда в литературе используются такие термины, как «моном» (синоним «одночлена»), «бином» (синоним «двучлена»), «полином» (синоним «многочлена»).

Если известно значение переменных, входящих в полином, то возможно вычисление значения многочлена.

Пример. Найдем значение полинома x3+2x2+5y+1 при значении x=2 и y = 3.

Решение.

4 formula

 

Пример. Вычислим значение полинома v4– d4при значении переменных v = 4 и d = 3.

Решение.

5 formula

 

Стандартный вид многочлена

Иногда некоторые мономы, входящие в состав полинома, имеют одинаковую буквенную часть. Например, в выражении

6 formula

первый и третий мономы отличаются лишь своими коэффициентами. Такие слагаемые называются подобными.

7 opredelenie

У подобных слагаемых одинаковый набор переменных, и при этом они возведены в одинаковые степени. Так, подобными являются мономы:

  • 7a2s3 и 2a2s3, так как совпадает буквенная часть a2s3;
  • 5v9m7t5 и – 4v9m7t5, так как у них одинаковая буквенная часть – 4v9m7t5;
  • a2 и 1000a2, так как есть одинаковая буквенная часть a2.

 

Также подобными слагаемыми можно считать и числа без буквенной части, например 8 и 2.

В качестве примеров неподобных слагаемых можно привести:

  • 7a2s3и 2a2s4 – у переменной s разные степени (3 и 4) в этих мономах;
  • 4x2yи 5x2– в буквенной части первого монома есть переменная y, а у второго его нет.

 

У подобных слагаемых может быть изменен порядок множителей. Так, подобными являются мономы 5p2u4и 9u4p2, так как у одних и тех же переменных стоят одинаковые показатели.

Подобные слагаемые можно складывать друг с другом. В этом случае буквенная часть останется неизменной, а коэффициенты сложатся друг с другом. Например:

8 formula

Такое действие называется приведением подобных слагаемых.

 

Пример. Приведите подобные слагаемые полинома:

9 formula

Решение. В данном полиноме есть три пары подобных слагаемых:

10 formula

Сгруппируем подобные слагаемые друг с другом, после чего сложим их:

11 formula

Если в полиноме нет подобных слагаемых, а все входящие в него мономы записаны в стандартном виде, то его называют многочленом стандартного вида.

12 opredelenie

Что такое одночлен стандартного вида, можно узнать из ранее изученного урока. Примерами полиномов стандартного вида являются:

13 formula

Далее рассмотрим понятие степени многочлена. Каждый из входящих в полином мономов имеет свой показатель степени(см. урок 3). Степенью полинома стандартного вида называется наибольшая из всех степеней одночленов, входящих в его состав.

14 opredelenie

Рассмотрим пример. Дан трехчлен 2y2 + x3y + 5y2x, требуется найти его степень.

Решение. Рассматриваемый трехчлен находится в стандартном виде. Он состоит из трех мономов:

15 formula

Найдем степень каждого из них:

  • 2y2 – степень равна 2;
  • x3y – степень равна 4 = (3+1);
  • 5y2x – степень равна 3 = (2+1).

Получается, что максимальную степень, равную 4, имеет моном x3y. Соответственно, и степень трехчлена также равна 4.

Ответ: 4.

 

Если же рассматривается полином, не находящийся в стандартном виде, то для вычисления его степени сначала надо привести полином к этому виду.

 

Пример. Найдите степень полинома с6 + ac2 + 9 – с6.

Решение. На первый взгляд может показаться, что она равна 6, так как один из его мономов, с6, имеет показатель, равный 6. Но это не так. Приведем полином к стандартному виду:

16 formula

Оказалось, что подобные мономы c6 и – с6 сократились. Получившийся полином состоит из двух мономов, ac2 и 9, чьи степени равны 3 и 0 соответственно. Значит, и степень всего двучлена равна трём.

Ответ: 3.

Определение степени полинома потребуется для решения уравнений в старших классах. Если в одной части уравнения стоит полином, например, третьей степени, в другой части – ноль, то его называют уравнением третьей степени:

17 formula

Аналогично выделяют уравнения первой, второй, четвертой и любой другой степени.

В зависимости от степени уравнения используются различные методы их решения. Ранее (ссылка на урок уравнения) мы уже научились решать линейные уравнения, которые являются уравнениями 1-ой степени. Обычно чем выше степень уравнения, тем сложнее его решать. Также существует интересная зависимость – количество корней уравнения не превышает его степень (за исключением одного частного случая, при котором есть бесконечное множество решений).

Особое значение в алгебре имеют те полиномы, в которых содержится только одна переменная, например:

  • m2 + 4m4 + 5m3 +9(здесь переменная m);
  • c6 + 1(единственная переменная – с);
  • 3x + 10(запись содержит только x);
  • – y4 + 89y10– 2,56y100(используется только y).

Их называют полиномами с одной переменной. Обычно их принято записывать по мере убывания степеней одночленов. То есть впереди пишется моном с максимальной степенью, а в самом конце – число без буквенной части:

18 formula

То число, которое стоит перед одночленом в наибольшей степени, называют старшим коэффициентом, а число, не имеющее буквенной части – свободным членом (реже свободным коэффициентом):

19 formula

Для некоторых полиномов с одной переменной есть особое название. Так, многочлен второй степени называют квадратным трехчленом. Дело в том, вторую степень в математике часто называют квадратом, а состоит квадратный трехчлен из трех монов. В качестве примера можно привести:

20 formula

21 formula

Конечно, квадратный многочлен может содержать и меньше трех одночленов:

22 formula

В этом случае иногда бывает удобно добавить «недостающее» слагаемое, поставив перед ним коэффициент, равный нулю:

23 formula

В общем случае квадратным трехчленом называют выражение вида

24 formula

где x – произвольная переменная, а, b и c являются произвольными действительными числами. При этом a не должно равняться нулю, иначе получится полином уже только 1-ой степени.

Квадратные трехчлены будут изучены подробнее в старших классах при изучении темы «Квадратные уравнения».

Сложение и вычитание многочленов

Полиномы можно складывать друг с другом, а также вычитать. При этом, возможно, придется приводить подобные слагаемые.

 

Пример. Произведите сложение многочленов 8z2 + 3z +12 и 2z4 + 9z.

Решение. Запишем интересующую нас сумму:

25 formula

Если перед скобками стоит знак «+», то можно просто опустить скобки:

26 formula

Осталось привести полином к стандартному виду. Здесь есть лишь одна пара подобных одночленов, 3z и 9z:

27 formula

При вычитании многочленов надо учитывать следующее правило:

28 opredelenie

 

Пример. Вычтите из полинома x5 + 3x3– 7y3 + 9x2 + 17 трехчлен 2y4 + 0,4y3– 25.

Решение:

Запишем разность полиномов:

29 formula

Первые скобки можно опустить, так как перед ними нет никакого знака. Перед вторыми скобками стоит минус, а потому для раскрытия скобок знаки слагаемых в них надо поменять на противоположные. Вместо 2y4 надо написать – 2y4, вместо 0,4y3 поставим – 0,4y3, а – 25 заменим на + 25:

30 formula

Осталось привести подобные слагаемые:

31 formula

Стоит заметить, что при сложении и вычитании полиномов их степени не могут увеличиться. Так, если складываются два полинома 5-ой и 4-ой степени, то в результате получится многочлен, чья степень будет не больше 5.

 

Рассмотрим более сложный пример с вложенными (внутренними) скобками. Необходимо упростить выражение

32 formula

33 formula

 

Решение. Раскроем первые скобки. Перед ними стоит минус, поэтому знаки слагаемых должны поменяться на противоположные. Однако обратите внимание, что здесь есть вложенные скобки (2a2b – ab) и (ab2 + 2a2b). Менять следует только знак перед ними, а знаки внутри вложенных скобок не меняются! Они рассматриваются как единые, неизменяемые слагаемые:

34 formula

Теперь раскроем оставшиеся две скобки:

35 formula

Приведем подобные слагаемые. Для наглядности пары подобных мономов подчеркнуты. Одной чертой подчеркнуты мономы с буквенной частью ab2, двумя чертами – мономы с a2b, а штриховой линией выделены мономы с буквенной частью ab:

36 formula

Умножение одночлена на многочлен

Напомним распределительный закон умножения:

37 formula

Используя этот закон, можно производить умножение одночлена на многочлен.

 

Пример. Перемножьте выражения 5v2 и 9v3 + 2t4.

Решение: Запишем произведение выражений:

38 formula

Такое раскрытие скобок можно объяснить с помощью «метода фонтанчика»:

39 formula

От множителя 5v2 строят линии (синего цвета к) КАЖДОМУ слагаемому в скобке. Каждой такой линии соответствует отдельное произведение в получаемом полиноме.

После раскрытия скобок получили два произведения одночлена на одночлен, которые считаем по отдельности (см. урок 3):

40 formula

Можно сформулировать следующее правило умножения многочлена на одночлен:

41 opredelenie

 

Ещё один пример. Перемножьте полином 2x2y + 4xy2 – 1 и моном – 3ху.

Решение:

42 formula

Здесь метод «фонтанчика» будет выглядеть так:

43 formula

Можно заметить, что после умножения монома на полином получится столько одночленов, сколько их было в исходном полиноме. Это правило можно использовать для самоконтроля.

 

Умножение многочлена на многочлен

Пусть нам надо перемножить два полинома, a+bи c+d. Запишем их произведение:

44 formula

Заменим выражение a + b переменной k:

45 formula

Теперь исходное произведение можно выразить как произведение монома и полинома:

46 formula

Проведем обратное преобразование, заменив k на a + b:

47 formula

Наконец, раскроем скобки в этом выражении:

48 formula

Эту формулу можно проиллюстрировать геометрически. Рассмотрим прямоугольник со сторонами a + b и c + d:

49 raschety

Площадь этого прямоугольника, как и любого другого, равна произведению его сторон, то есть(a + b)(c + d).С другой стороны, она состоит из 4 прямоугольников, чьи площади также вычисляются как произведения их сторон, и составляют ac, bc, ad и bd. Поэтому можно записать равенство

50 formula

Получается, что для умножения многочлена на многочлен нужно перемножать попарно все мономы, входящие в их состав, после чего сложить их.

51 opredelenie

Если в одном полиноме содержится m слагаемых, а в другом n, то результатом их перемножения окажется новый полином, содержащий m•n мономов (до приведения подобных слагаемых). Для перемножения многочленов также используется метод «фонтанчика».

 

Пример. Найдем произведение выражений 3a2 – 4ab + b2и 2a– b.

Решение: В первом полиноме содержится 3 монома, а во втором – 2, поэтому после их перемножения мы получим сумму 3•2 = 6 одночленов:

52 formula

Раскрытие скобок «фонтанчиком» будет выглядеть так:

53 formula

В результате действительно получилась сумма 6 мономов. Осталось вычислить каждый из них, после чего привести подобные слагаемые:

54 formula

Заметим, что при перемножении полиномов происходит сложение степеней многочленов. Действительно, в рассмотренном выше примере мы умножили полином второй степени 3a2 – 4ab + b2 на полином первой степени 2a– b, и получили в результате многочлен 3-ей (2+1) степени.

Также возможно умножение многочленов в столбик. Особенно это удобно делать в случае с полиномами с одной переменной.

Пример. Найдите произведение выражений 2x3 + 3x2 +5x + 9 и x2 + 4x + 7.

Решение: Запишем полиномы в столбик, один под другим:

55 formula

Далее умножим самый правый моном второго многочлена, то есть число 7, на первый полином, и запишем его ниже:

56 raschety

Далее умножим следующий моном, 4х, на первый полином, и запишем результат ещё ниже, причем сместим запись чуть влево, чтобы подобные члены оказались друг под другом:

57 raschety

Также умножим последний одночлен, x2, на первый полином:

58 raschety

Осталось сложить подобные слагаемые (то есть переменные х с одинаковыми степенями), которые записаны друг под другом:

59 raschety

Ещё раз цветом выделим подобные слагаемые и результаты их суммирования:

60 raschety

Ответ: 2х5 + 11х4 + 31х3 + 50х2 + 71х +63.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Какое из этих выражений НЕ является многочленом?
1x2 + y4
20,5c6– 54
31/x + 2x
41+d
Ответить
3
Вопрос: 2
Какая из этих пар мономов образует подобные слагаемые?
14c4 и 4c5
2– р5 и 11р5
33t7 и 3d7
423x2y и 5xy2
Ответить
2
Вопрос: 3
Чему равна сумма двучленов 6x2 – 5х + 9 и 12х + 2?
12 + 7х + 11
22 + 17х + 11
318х2 – 3х + 9
42 – 7х + 11
Ответить
1
Вопрос: 4
Найдите произведение полиномов 4у + 3 и 5у – 2
120у2 + 22у – 6
220у2 + 7у + 6
320у2 + 7у – 6
420у2 – 7у + 6
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Какое из этих выражений НЕ является многочленом?
1) x2 + y4 2) 0,5c6– 54 3) 1/x + 2x 4) 1+d
2 вопрос:

Какая из этих пар мономов образует подобные слагаемые?
1) 4c4 и 4c5 2) – р5 и 11р5 3) 3t7 и 3d7 4) 23x2y и 5xy2
3 вопрос:

Чему равна сумма двучленов 6x2 – 5х + 9 и 12х + 2?
1)2 + 7х + 11 2)2 + 17х + 11 3) 18х2 – 3х + 9 4)2 – 7х + 11
4 вопрос:

Найдите произведение полиномов 4у + 3 и 5у – 2
1) 20у2 + 22у – 6 2) 20у2 + 7у + 6 3) 20у2 + 7у – 6 4) 20у2 – 7у + 6
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: 1/x + 2x
2 вопрос: – р5 и 11р5
3 вопрос: 2 + 7х + 11
4 вопрос: 20у2 + 7у – 6