Физика

Урок 6: Колебания и волны. Часть 1

Механические колебания и волны. Часть 1

Представьте себе маятник часов, бабочку, взмахивающую крыльями, иглу швейной машины и отбойный молоток. На первый взгляд совершенно разные предметы, но с точки зрения физики у них есть одна общая черта. Об этом и не только поговорим в данном уроке.

План урока:

Колебательное движение

Период и частота колебаний

Свободные колебания

Амплитуда колебаний

Колебательные системы

Гармонические колебания

Величины, характеризующие колебательное движение

Затухающие колебания

Вынужденные колебания

 

Колебательное движение

В самом широком смысле, колебательное движение – это любое движение, повторяющееся с течением времени. Например, птица, машущая крыльями вверх-вниз, совершает ими колебательные движения. Ребенок, качающийся на качелях, тоже совершает колебательные движения. Игла швейной машины при шитье – тоже.

Но как же так, ведь в названных примерах тела движутся абсолютно по-разному? Крылья птицы и игла швейной машины движутся вертикально вверх-вниз (прямолинейно), ребенок на качелях движется горизонтально и по дуге (криволинейно). Это все неважно. Главный признак колебательного движения – его повторяемость через определенный промежуток времени, то есть через период колебаний.

 

Период и частота колебаний

Период колебаний (T) – это время, за которое тело совершает полный цикл движения, т.е. совершает одно колебание.

В случае с движением крыльев птицы, если считать, что один взмах начинается с верхней точки, полным колебанием будет считаться, когда крылья пройдут от верхней точки через середину до нижней и вернутся от нижней точки через середину до верхней (рисунок 1).

1 odnosostavnye predlozheniya
Рисунок 1 – Взмах крыльев птицы как пример полного колебания   

Период колебаний обозначается латинской буквой T. По определению период – это время, значит, единица измерения периода будет такой же, как и единица измерения времени. В СИ это секунда.

[T] = 1 с

Как же можно вычислить период колебаний?

Самый простой способ – это посчитать количество колебаний и секундомером измерить время, за которое эти колебания были совершены. Например, ребенок на качелях совершает N = 10 колебаний за t = 30 секунд. Нетрудно подсчитать, что время совершения одного полного колебания будет 30/10 = 3 с. Если обобщить, получится формула для нахождения периода колебаний:

2 odnosostavnye predlozheniya

где t – время, за которое совершено N колебаний.

Рассмотрим еще одну важную характеристику.

Частота колебаний (ν) – это количество колебаний, совершаемое телом за единицу времени.

Частота колебаний обозначается греческой буквой (читается как «ню»).

Если сравнить определение частоты колебаний с определением периода, можно заметить, что это обратные величины. То есть:

3 odnosostavnye predlozheniya

Гц – единица измерения, которую назвали в честь немецкого физика Генриха Герца. При решении задач одинаково часто употребляется и герц, и с-1. Можно употреблять и то, и другое – в зависимости от того, что удобнее при решении конкретной задачи.

Следует так же отметить, что иногда физики пользуются циклической частотой колебаний:

4 odnosostavnye predlozheniya

 

Свободные колебания

Положение равновесия при колебательном движении

Сравним две ситуации:

1. Родитель толкает качели, на которых сидит ребенок, а потом просто наблюдает, как качели качаются сами по себе.

2. Родитель толкает качели с ребенком, а потом при каждом цикле движения подталкивает качели, поддерживая качания.

Физики говорят, что в первом случае система (качели и ребенок) совершает свободные колебания, то есть колебания под действием только внутренних сил. После выведения системы из равновесия (то есть толчка родителя) к ней больше не прикладывают внешних сил. Во втором случае говорят, что система совершает вынужденные колебания – то есть колебания, под действием периодического внешнего воздействия.

Поговорим о свободных колебаниях. Для простоты рассмотрим систему, состоящую из маленького тяжелого шарика на длинной крепкой нити. Такая система называется нитяным маятником (рисунок 2).

5 odnosostavnye predlozheniya
 Рис.2 – Нитяной маятник 

Без воздействия внешних сил шарик будет находиться в положении 1. Такое состояние называется положением равновесия. Далее к шарику прикладывают силу, направленную влево и он начинает совершать колебания. Траектория шарика будет: 1-2-1-3-1 (см. рисунок 1).

Как при этом будет меняться скорость тела? Для того, чтобы рассмотреть подробно, нужно помнить определения потенциальной и кинетической энергии*, а также в чем заключается закон сохранения энергии (систему считаем замкнутой – потерь энергии не происходит, а, значит, закон сохранения энергии выполняется – энергия колебательной системы остается постоянной):

  • при движении из точки 1 в 2 шарик постепенно замедляется (уменьшается его кинетическая энергия, а потенциальная увеличивается);
  • в точке 2 он на мгновенье останавливается (кинетическая энергия равна нулю, потенциальная максимальна);
  • далее он начинает движение с ускорением, но уже в обратном направлении (кинетическая энергия увеличивается, потенциальная уменьшается) - при движении из 2 в 1 тело будет ускоряться;
  • когда шарик дойдет до точки 1 его кинетическая энергия будет максимальна, а потенциальная минимальна.

При движении от точки 1 в 3 будет происходить то же самое, что и при движении из 1 в 2 – предлагаем описать процесс изменения величин (скорости и энергии) самостоятельно.

Если обобщить все сказанное, можно сделать вывод: при колебаниях в положении равновесия кинетическая энергия тела максимальна, а потенциальная минимальна (или равна нулю, в зависимости от выбранной точки отсчета). В крайних положениях потенциальная энергия максимальна, а кинетическая равна нулю. То есть положение равновесия маятника – это такое положение, в котором его потенциальная энергия минимальна (или равна нулю, в зависимости от точки отсчета). При удалении маятника от положения равновесия кинетическая энергия будет уменьшаться, а потенциальная увеличиваться.

*Потенциальная энергия тела зависит от его положения в пространстве; кроме того, это относительная величина – она зависит от того, какая точка отсчета выбрана.

Кинетическая энергия зависит от модуля скорости тела.

 

Амплитуда колебаний

Помимо частоты и периода важной характеристикой колебаний является амплитуда.

Амплитуда колебаний – это модуль максимального смещения тела от положения равновесия. Другими словами, это расстояние между положением равновесия и крайней точкой траектории маятника. Рассмотрим рисунок 3. На нем изображен уже знакомый вам нитяной маятник. В идеальном случае амплитуду колебаний маятника нужно считать как длину дуги от положения равновесия до крайней точки. Но если мы считаем, что колебания малые – то есть длина нити маятника (l) гораздо больше смещения (S), можно считать, что длина дуги совпадает с длиной отрезка между проекциями положения равновесия и крайней точки на ось ОХ.

6 odnosostavnye predlozheniya
Рис.3 – Амплитуда колебаний нитяного маятника

Обычно амплитуда обозначается большой латинской буквой A.

 

Колебательные системы

Для того, чтобы рассмотреть колебательные движения подробнее, рассмотрим несколько колебательных систем, на примере которых будет рассматривать все закономерности.

 

1. Маятник

В общем случае маятник – это система, способная совершать колебания под действием каких-либо сил, например, сил трения, упругости, тяжести.

 

2. Пружинный маятник

Пружинный маятник – это система, состоящая из упругой пружины, один конец которой закреплен, а на другой прикреплен груз.

Такой маятник может быть вертикальным (рисунок 4а), тогда колебания будут совершаться под действием сил тяжести и упругости; и горизонтальным (рисунок 4б), тогда на груз будут действовать сил упругости и трения.

7 odnosostavnye predlozheniya
Рис.4 – Пружинный маятник

Для пружинного маятника справедливы формулы:

8 odnosostavnye predlozheniya

где T –период колебаний пружинного маятника; π ~ 3.14;  mмасса груза;kкоэффициент жесткости пружины; - частота колебаний пружинного маятника.

*Ранее говорилось, что существует такая характеристика, как циклическая частота. Формула для ее нахождения будет выглядеть так:

9 odnosostavnye predlozheniya

 

3. Нитяной маятник

Этот вид маятника уже рассматривался ранее (см. рисунок 3), он состоит из длинной нити и тяжелого грузика, подвешенного на ней.

Для нитяного маятника справедливы формулы:

10 odnosostavnye predlozheniya

где T – период колебаний нитяного маятника; π ~ 3.14; l –длина нити; g – ускорение свободного падения (~9,8 м/с2), v - частота колебаний.

Интересно отметить, что период нитяного маятника и, следовательно, его частота не зависят от массы грузика, прикрепленного к нити.

*Следует отметить, что все приведенные формулы справедливы только для малых колебаний.

** Циклическая частота нитяного маятника:

11 odnosostavnye predlozheniya

 

Гармонические колебания

При решении задач часто используется не нитяной маятник, а его упрощенная модель – математический маятник. Это идеальная колебательная система, в которой нить считается очень длинной по сравнению с амплитудой колебаний и размерами грузика; сам груз достаточно тяжелым, чтобы пренебречь массой нити. Кроме того, считается, что не происходит потерь энергии.

Рассмотрим подробно, какие силы действуют на такую систему. В первую очередь, на грузик действует сила тяжести mg, направленная вниз (см. рисунок 5). Так же на него действует сила натяжения со стороны нити F, она направлена вдоль нити. Обозначим  угол, на который смещается тело от положения равновесия.

12 odnosostavnye predlozheniya

Рис.5 – Силы, действующие на математический маятник

Запишем 2-й закон Ньютона:

13 odnosostavnye predlozheniya

14 odnosostavnye predlozheniya
Рисунок 6 – Силы, действующие на математический маятник при смещении на угол φ

В случае малых углов sinφ можно считать равным φ. Из геометрического определения синуса:

15 odnosostavnye predlozheniya

Тогда в крайней точке 2-й закон Ньютона в проекции на ось OX перепишется следующим образом:

16 odnosostavnye predlozheniya

То есть ускорение, с которым движется маятник прямо пропорционально его смещению от положения равновесия. Минус в данном выражении означает, что ускорении направлено в противоположную сторону от смещения.

Интересно заметить, что ускорение грузика, подвешенного к ниточке (а значит и самого маятника), не зависит от его массы. Период колебаний математического маятника тоже не зависит от массы грузика:

17 odnosostavnye predlozheniya

В случаях, когда колебания происходят под действием силы, пропорциональной смещению тела от положения равновесия, говорят, что тело совершает гармонические колебания.*

График зависимости смещения от времени при гармоническом колебательном движении представляет собой синусоиду или косинусоиду (см. рисунок 7).

Для лучшего понимания, почему график выглядит именно так, можно посмотреть урок в курсе алгебры «Тригонометрические функции»:

18 odnosostavnye predlozheniya
 Рис. 7 – График зависимости смещения (x) от времени (t) при гармонических колебаниях   

На графическом представлении колебаний (рисунок 7) удобно находить период и амплитуду гармонических колебаний.

*Могло сложиться впечатление, что гармонические колебания может совершать только математический маятник. Это не так. Любое тело может совершать колебания, близкие к гармоническим (нужно учитывать не идеальность систем). Например, можно говорить о гармонических колебаниях пружины, если она достаточно жесткая, чтобы она деформировалась упруго, а колебания совершаются с небольшой амплитудой.

 

Величины, характеризующие колебательное движение

Ранее рассматривались такие характеристики колебаний, как период, частота и амплитуда. Помимо этих величин, колебания характеризуются фазой колебаний.

 

Фаза колебаний

На рисунке 7 изображен график зависимости смещения от времени при гармонических колебаниях. Такой график называется синусоидой (косинусоидой). В общем случае уравнение зависимости координаты Х от времени t будет выглядеть так:

19 odnosostavnye predlozheniya

 

Разность фаз

Понятие «разность фаз» применяется, когда мы хотим сравнить движение двух маятников. Пусть маятник 1 и маятник 2 двигаются по законам соответственно:

20 odnosostavnye predlozheniya

Найдем разность фаз колебаний этих двух маятников.

Если взять конкретный момент времени , фаза гармонических колебаний каждого из маятников в этот момент времени будет:

21 odnosostavnye predlozheniya

22 odnosostavnye predlozheniya - это начальные фазы колебания первого и второго маятников соответственно. Эти величины являются начальными условиями, и они не изменяются во время движения, следовательно, при одинаковой частоте колебаний маятников разность фаз остается постоянной.

 

Затухающие колебания

Во всех рассмотренных ранее случаях считалось, что на колеблющуюся систему не действуют силы извне. На самом деле, идеальных систем не существует, поэтому любой маятник во время движения будет преодолевать внешние силы сопротивления и терять энергию. Например, пружинный маятник (рисунок 8) будет преодолевать силу трению о поверхность.

23 odnosostavnye predlozheniya
Рисунок 8 – Пружинный маятник на шероховатой поверхности  

Колебания, энергия которых уменьшается с течением времени, называются затухающими.

Амплитуда затухающих колебаний уменьшается со временем. График таких колебаний изображен на рисунке 9.

24 odnosostavnye predlozheniya
Рисунок 9 – График зависимости координаты от времени при затухающих колебаниях  

 

Вынужденные колебания

Собственная частота колебаний. Частота вынуждающей силы. Установившиеся вынужденные колебания

В реальных (неидеальных) системах колебания всегда нужно поддерживать внешним воздействием.

Под действием периодической внешней изменяющейся силы возникают вынужденные колебания.

Почему же обязательно сила должны быть периодически изменяющейся? Ответ на этот вопрос легко найти, представив себе качели. Если на них действовать с постоянной по модулю и направлению силой, они никогда не начнут качаться. А толчками (то есть периодической изменяющейся силой) раскачать их не составит труда.

Внешняя сила, заставляющая систему совершать колебания, называется вынуждающей силой.

Так как эта сила периодическая, необходимо ввести частоту вынуждающей силы. А чтобы не запутаться, частоту свободных колебаний называют собственной частотой системы. Как показывают эксперименты, даже если изначально собственная частота системы и частота вынуждающей силы отличались, через некоторое время система начинает колебаться с частотой вынуждающей силы. В таких случаях говорят об установившихся вынужденных колебаниях.

Если частота вынуждающей силы равна собственной частоте системы, возникает резонанс – резкое увеличение амплитуды колебаний.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
К основным характеристикам колебательного движения в любой системе относятся такие величины, как:
1Длина нити маятника
2Фаза колебаний
3Масса грузика
4Амплитуда колебаний
5Коэффициент жесткости пружины
6Частота колебаний
Ответить
246
Вопрос: 2
Какие колебания происходят под действием только внутренних сил системы?
1Гармоническими
2Свободными
3Вынужденными
Ответить
2
Вопрос: 3
Выберите формулу, по которой рассчитывается период колебаний нитяного маятника:
101 odnosostavnye predlozheniya
202 odnosostavnye predlozheniya
303 odnosostavnye predlozheniya
404 odnosostavnye predlozheniya
Ответить
1
Вопрос: 4
У затухающих колебаний со временем уменьшается:
1Частота
2Фаза
3Амплитуда
4Период
Ответить
3
Вопрос: 5
Период (T) колебаний пружинного маятника равен 2 секунды, а коэффициент жесткости пружины (k) равен 10 Н/м. Масса грузика маятника (m), округленная до десятых, в этом случае равна (считать π=3,14):
16,4
23,2
31,6
Ответить
1
Вопрос: 6
Длину математического маятника (l) увеличили в 4 раза. Как изменился его период (T)?
1Увеличился в 4 раза
2Увеличился в 2 раза
3Уменьшился в 4 раза
4Уменьшился в 2 раза
Ответить
2
Вопрос: 7
Частота пружинного маятника (v) увеличилась в 3 раза. Как изменилась масса грузика (m), если пружина не менялась?
1Уменьшилась в 3 раза
2Увеличилась в 3 раза
3Уменьшилась в 9 раз
4Увеличилась в 9 раз
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

К основным характеристикам колебательного движения в любой системе относятся такие величины, как:
1) Длина нити маятника 2) Фаза колебаний 3) Масса грузика 4) Амплитуда колебаний 5) Коэффициент жесткости пружины 6) Частота колебаний
2 вопрос:

Какие колебания происходят под действием только внутренних сил системы?
1) Гармоническими 2) Свободными 3) Вынужденными
3 вопрос:

Выберите формулу, по которой рассчитывается период колебаний нитяного маятника:
1) 01 odnosostavnye predlozheniya 2) 02 odnosostavnye predlozheniya 3) 03 odnosostavnye predlozheniya 4) 04 odnosostavnye predlozheniya
4 вопрос:

У затухающих колебаний со временем уменьшается:
1) Частота 2) Фаза 3) Амплитуда 4) Период
5 вопрос:

Период (T) колебаний пружинного маятника равен 2 секунды, а коэффициент жесткости пружины (k) равен 10 Н/м. Масса грузика маятника (m), округленная до десятых, в этом случае равна (считать π=3,14):
1) 6,4 2) 3,2 3) 1,6
6 вопрос:

Длину математического маятника (l) увеличили в 4 раза. Как изменился его период (T)?
1) Увеличился в 4 раза 2) Увеличился в 2 раза 3) Уменьшился в 4 раза 4) Уменьшился в 2 раза
7 вопрос:

Частота пружинного маятника (v) увеличилась в 3 раза. Как изменилась масса грузика (m), если пружина не менялась?
1) Уменьшилась в 3 раза 2) Увеличилась в 3 раза 3) Уменьшилась в 9 раз 4) Увеличилась в 9 раз
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: Фаза колебаний
1 вопрос: Амплитуда колебаний
1 вопрос: Частота колебаний
2 вопрос: Свободными
3 вопрос: 01 odnosostavnye predlozheniya
4 вопрос: Амплитуда
5 вопрос: 6,4
6 вопрос: Увеличился в 2 раза
7 вопрос: Уменьшилась в 9 раз