Математика

Урок 2: Дроби

Дроби

Этот раздел математики, по мнению ученых, считается самым сложным и непонятным. Но именно без него, не представляется возможным,дальнейшее развитие математики и многих сопутствующих наук!

Обложка урока взята с источника.

План урока:

Понятие доли и обыкновенной дроби

Правильные и неправильные дроби

Минутка истории

 

Без знания дробей никто не может признаваться знающим арифметику! (Цицерон)

Дробные числа сопровождают нас в течение всей жизни, они помогают строить, лечить, сочинять музыку, писать стихи. Их можно найти везде, нужно только задуматься над этим – начиная от покупки продуктов в магазине (½ кг сахара), кулинарных рецептов и заканчивая спокойствием в доме (честно разделить между всеми домочадцами мамин пирог). Поэтому стоит внимательно и вдумчиво отнестись к изучению данной темы!

 

Понятие доли и обыкновенной дроби

Новый год – любимый праздник многих. Дед мороз, праздничный стол, подарки, веселье. Ассоциации у всех разные. И только мандарин, вызывает у каждого праздничное настроение.

mandarin
Изображение взято с фотостока unsplash.com

Вот именно на примере мандарина и рассмотрим, что такое доли.

Представьте, что праздники закончились, а в вазе остался только один мандарин. Как же разделить его на всех, как сделать так, чтобы все получили одинаковую долю?

Очень просто! Мандарин следует поделить на дольки, и раздать желающим.

На рисунке, фрукт состоящий из 8 долек, то есть 8 человек могут взять по 1 дольке. Делаем вывод, что доля – это одна из одинаковых частей чего-либо. Каждый гость получил по 1 из 8 долек, значит, получил по 1/8 всего мандарина.

Если бы гостей было двое, то фрукт пришлось делить на 2 части, при этом, каждый взял бы по однойиз двух половинок, то есть по ½ мандарина или половину.

Запомни!1/2 – половина,1/3 часть называют – треть, а ¼ – четверть.

Например:яблоко разрезали на 3 кусочкаи раздали 3 детям, получается, что каждому ребенку досталась треть яблока.

Для письменного обозначения количества долей, используются обыкновенные дроби.В записи которой, содержится два числа и черта, которая их разделяет. Черта бывает горизонтальной и вертикальной.

                              5
Например: 4/9 или 8


 Помни! Обыкновенная дробь – число вида c/k, где обязательно с и к натуральные числа.

                             6  2
Например: 11/15, 7, 3

Числовое значение, расположенное над чертой, или слева от неё, называют числителем. Числителем обыкновенной дроби c/k называют натуральное число с.

Числовое значение, расположенное под чертой или справа от неё, называют знаменателем.

Знаменателем обыкновенной дроби c/k, называют натуральное число к.

Давайте разберемся, какую информацию несет числитель и знаменатель?

Запомни! Знаменатель указывает на количество равных долей в предмете.

Например: в дробном числе 5/6, знаменатель 6 говорит, что предмет состоит из 6 долей.

Запомни! Числитель показывает, количество используемых долей.

Например: в записи 5/6, числитель 5 показывает, что используется 5 долей.

Получается, 5/6 говорит о том, что предмет разделен на 6 долей, но используется только 5 из них.       

1

Если пока не получается запомнить из каких компонентов состоит дробь, то просто сохрани табличку и пользуйся!

Теперь давайте рассмотрим, как же выполнить сравнение обыкновенных дробей.

Представим такую ситуацию:

Мама испекла пирог и разделила его на 3 части. Дети съели лакомство. Миша съел 2/3 пирога, а Васе досталась 1/3. Как определить, кому достался больший кусок пирога?

На рисунке видно, что порция Миши оказалась больше.

2

Значит, 2/3>1/3.

Сформулируем правило сравнения обыкновенных дробей.

Помни! Чтобы сравнить дроби, имеющие равные знаменатели, достаточно сравнить только числители. Больший числитель соответствует большему числу.

Например:

   5
9 < 9, 8/11 > 6/11

Довольно часто, возникает необходимость, найти сумму или разность обыкновенных дробей. Как правильно выполнять действия сложения и вычитания обыкновенных дробей?

Рассмотрим сложение дробей:

Назару задали 15 примеров, он сначала решил 2 примера, а потом ещё 1 пример. Мама поинтересовалась у него, какая часть домашнего задания выполнена? Назар задумался. Давайте подумаем и мы:

Все задание состоит из 15 примеров – это количество долей, на которое разбито все задание, или знаменатель. Сначала мальчик вычислил 2 примера – это часть задания, которая взята к рассмотрению, или числитель. Получаем 2/15. Позже он решил еще один пример, значит, выполнил еще 1/15 всей работы. Чтобы определить, какая часть задания выполнена, необходимо сложить полученные выражения: 2/15 + 1/15.

Помни! При сложении обыкновенных дробей, достаточно суммировать числители, а цифру под чертой записать без изменений.

2/15 + 1/15 = (2+1)/15 = 3/15.

Получается, что мальчик выполнил 3/15 всего задания, значит, 3 задания из 15.

Теперь давайте узнаем, как необходимо выполнять вычитание обыкновенных дробей, имеющих равные знаменатели.

Важно! Чтобы найти разностьдвух дробей, нужно от числителя уменьшаемого отнять числитель вычитаемого, а знаменатель записать без изменений.

Например: 5/8 - 2/8 = (5-2)/8 = 3/8

Правильные и неправильные дроби

Все обыкновенные дробные выражения делятся на правильные и неправильные дроби:

  • Правильные дроби,всегда имеют числитель меньший, чем знаменатель: ¾,2/7.Такие дроби < 1.
  • Неправильные дроби, всегдаимеют знаменатель меньший или равный числителю,Такие дроби ≥ 1.

Примеры неправильных дробей: 4/3,9/8, 10/10

В нашей повседневной жизни, возникают разные ситуации, и часто именно знания связанные с дробными выражениями, помогают найти правильное решение. Например:

Маша съела 5/3 яблока. Как узнать, сколько яблок съела Маша?

Если исходить из определений компонентов дробного выражения, получается,что яблоко разделили на 3 кусочка, но съедено было 5 таких кусочков, значит, фрукт был не один.

В таком случае поможет использование правила выделения целой части из неправильной дроби, то есть определения количества целых предметов:

  • найти частное числителя и знаменателя;
  • целое частное, создает целую часть;
  • остаток записывается над чертой, а под чертой остается прежний знаменатель.

Зная, как найти количество целых предметов, давайте узнаем, сколько же яблок съела Маша. Для этого делим числитель на знаменатель (5:3=1(ост.2)), получается 1 и востатке 2.

3

Единица показывает количество целых предметов, остаток записываем над чертой, а под чертой записываем делитель – 1+2/3. Следовательно, Маша съела 1 целое яблоко и 2/3 второго яблока.
Выполнив все расчеты, мы получили запись нового числового значения, состоящего изцелой и дробной части. Числовые значения такого виданазывают смешанными числами. Примеры смешанных чисел: 

000

Важно! Любое смешанное число всегда переводится в неправильную дробь!

Для этого существует специальный алгоритм действий:

  • Перемножаем целую часть и знаменатель.
  • Суммируем произведение с числителем.
  • Суммазаписывается числителем, а знаменатель не меняется.

Например:3 + 4/5 = (3*5+4)/5 = 19/5

Запомни очередность действий, и тогда, даже самое сложное домашнее задание не огорчит тебя!

Часто возникает необходимость в сложении и вычитании смешанных чисел. Как это правильно сделать?     

Важно! При сложении смешанных чисел, сначала суммируются целые части слагаемых, а потом дробные части.

Например: 4+2/7 + 6+3/7 = 10+(2+3)/7 = 10+5/7

Важно! При вычитании смешанных чисел, от целой части уменьшаемого отнимается целая часть вычитаемого, а после отнимаются дробные части.

Например: 14+6/11 – 8+4/11 = 6+(6-4)/11 = 6+2/11

Минутка истории

Точное время появления дробных выражений пока не установлено. Но исторические находки предполагают, что они возникли в связи с жизненной необходимостью. Задания с использованием дробей считались самыми сложными, и выполнять их могли, только люди, обладающие огромным умственным потенциалом. За такие знания, мудрецов почитали на уровне бога. Ведь без их помощи невозможно было разделить добычу между всеми охотниками поровну, уловмежду рыбаками, урожай между соседями. До сих пор в Германии существует поговорка «Оказаться в дробях», – это значит попасть в попасть в непонятную, запутанную ситуацию.

На Русь, понятие «дробь»пришлов начале 9 века. Источником этого понятия стало выражение «дробить» (разделять, разламывать). На протяжении длительного времени,разные народы называли такие числа ломаными, ведь при разделении любого предмета (конфета, яблоко, хлеб) его приходилось разламывать.

В России существовала отдельная единица измерения для определения размеров земельных наделов, она состояла из четверти и получетверти. Еще эту единицу называли осьмина. Это была дробь, которая использовалась только для измерения земельных угодий. Осьминой невозможно измерить другие величины, скорость или количество прибыли. Гораздо позже эта единица измерения преобразовалась в 1/8, которую можно применять для измерения любой величины.

В произношении дробных чисел на Руси, были свои правила. В название, дробного числа,знаменатель которого больше 5, и меньше 11 добавлялось окончание «ина»: 1/6– шестина, 1/9– девятина, 1/10– десятина. Если дробь имела в знаменателе число больше 10, то в названии дроби обязательно произносились слово «жеребей»: 4/13 – четыре тринадцатых жеребьев.

Число, которое записывалось над чертой, называли верхнее число, а число под чертой – исподнее число.

Где в жизни мы можем встретить дроби:

- При использовании мер измерения: 1 грамм=1/1000 килограмма=1/100000 центнера

- Охотники,используют дробь.

- В медицине. Каждое лекарственное средство, в своем составе, содержит различные компоненты, измеряющиеся дробями.

- Быструю, резкую игру на барабанах называют барабанной дробью.

- По команде капитана корабля «дробь» сразу прекращается огонь.

- При нумерации домов использование дробей уместно на двух пересекающихся улицах.

- Основными движениями в русских народных танцах является дробь и бег.

- Во всех кулинарных рецептах, необходимые пропорции указаны дробными числами: 2/3 стакана муки или 3/4 яблока.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Что такое обыкновенная дробь?
1Выражение вида a/b, где a и b - натуральные числа
2Выражение вида ab, где a и b - натуральные числа
3Выражение вида a+b, где a и b - натуральные числа
Ответить
1
Вопрос: 2
Продолжите фразу: меньшей будет та дробь, у которой
1Числовое значение над чертой больше
2Числовое значение над чертой меньше
3Выделяется целая часть
Ответить
2
Вопрос: 3
Доля - это
1Одна из равнозначных частей чего-либо
2Несколько частей предмета
3Одна из различных частей предмета
Ответить
1
Вопрос: 4
Смешанное число состоит из:
1Числового значения над чертой выражения и под нею
2Одинаковых частей
3Целой и дробной частей
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Что такое обыкновенная дробь?
1) Выражение вида a/b, где a и b - натуральные числа 2) Выражение вида ab, где a и b - натуральные числа 3) Выражение вида a+b, где a и b - натуральные числа
2 вопрос:

Продолжите фразу: меньшей будет та дробь, у которой
1) Числовое значение над чертой больше 2) Числовое значение над чертой меньше 3) Выделяется целая часть
3 вопрос:

Доля - это
1) Одна из равнозначных частей чего-либо 2) Несколько частей предмета 3) Одна из различных частей предмета
4 вопрос:

Смешанное число состоит из:
1) Числового значения над чертой выражения и под нею 2) Одинаковых частей 3) Целой и дробной частей
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: Выражение вида a/b, где a и b - натуральные числа
2 вопрос: Числовое значение над чертой меньше
3 вопрос: Одна из равнозначных частей чего-либо
4 вопрос: Целой и дробной частей