Математика

Урок 4: Действия с дробями

Действия с дробями

Часто случается так, что всего одна верно поставленная запятая, может спасти чью-то жизнь, остановить войну или запустить космическую ракету! Точно так и в математике! Обычная запятая может сделать число ничтожно маленьким, и так же легко увеличить в миллионы раз. Как правильно использовать запятую в математике, где необходимо её присутствие, и как выполнять действия при наличии запятой в компонентах, мы узнаем на сегодняшнем занятии.

Обложка урока взята с источника.

План урока:

Введение

Сложение и вычитание десятичных дробей

Умножение и деление десятичных дробей

Округление десятичных дробей

Интересные факты

 

Введение

Мы уже познакомились с дробями и их видами. Давайте вспомним, какие бывают дробные числа:

1

Сегодня рассмотрим новый вид дробных чисел – десятичные дроби. Очень часто возникает необходимость в использовании дробных чисел, знаменатели которых имеют числовые значения 10, 100, 1000, 10000. Что такое десятичная дробь, как правильно её записывать, выполнять математические действия, именно об этом мы сегодня и поговорим.

 

Рассмотрим такую ситуацию:

У Маши был День Рождения, пришли гости. Праздничный торт мама разрезала на 10 кусков по количеству гостей. Какая часть торта досталась каждому гостю?

Давайте разберемся: Торт разрезан на 10 кусков, значит, знаменатель дроби равен 10, каждому достался один кусок, значит, числителем записываем единицу. Записываем как 1/10. Это числовое выражение возможно представить и в другом виде – 0,1. Такой вид числаназывается десятичной дробью. Получается, каждому досталась одна десятая доля торта.

 

Сформулируем определение:

Десятичная дробь – это числовое выражение, имеющее знаменатель, кратный 10. Всегда пишется в строку. Во время написания после целой части указывают только числитель. Целую и дробную части разделяет запятая.

17/100=0,17 или 3/10=0,3

18+(11/100) =18,11 или 39+(7/10)=39,7

В случае, когда дробь правильная, то перед запятой, необходимо записывать 0.

9/10=0,9

Умение записывать десятичные дроби очень помогает в решении многих математических задач.

Теперь давайте разберемся, как же обозначать десятичные дроби на координатной прямой?

 

Рассмотрим ситуацию из жизни:

После окончания учебного года школьники пошли в поход. Длина маршрута составляет 10 километров. Первый привал только через 4 километра. Определите пройденную детьми часть маршрута до привала.

2

Чтобы ответить на главный вопрос необходимо выяснить:

  • Из скольких одинаковых долей состоит весь маршрут;
  • Определите числовое значение одной части всего маршрута;
  • Найдите числовое значение 4 частей?

На рисунке видно, что весь маршрут разбит на 10 одинаковых частей. Одна часть пути равна 1/10 всего маршрута или 0,1. Теперь понятно, что привал будет через 4 такие части, через 4/10 или 0,4 всего пути.

 

А теперь давайте изобразим на координатном луче числовое выражение 4,5.

4,5 состоит из 4 целых единиц и 5 десятых доли. Значит, на координатном луче нужно отложить 4 единичных отрезка (это расстояние между началом луча и единицей), а один такой отрезок необходимо поделить на десять долей и отсчитать 5 таких частей – то есть половину.

3

Запомни! Всегда слева будут лежать меньшие, а справа большие числовые значения.

 

Сложение и вычитание десятичных дробей

В повседневной жизни у каждого из нас почти ежедневно возникает необходимость в выполнении математических действий над десятичными дробями. Разберем простую ситуацию.

Бабушка попросила внука сходить в магазин и купить продукты. Она написала список всего необходимого:

1.Сахар – 1,5кг.

2.Соль – 0,5 кг.

3.Картофель – 1,3кг.

Также бабушка сказала, чтобы внук посчитал общий вес продуктов и определился, сможет он донести покупку или нет!

Для нахождения общего веса необходимо суммировать вес всех компонентов, указанных в списке: 1,5+0,5+1,3. О том, как это сделать сейчас узнаем!

 

Для выполнения сложения десятичных дробей нужно:

  • использовать способ сложения столбиком, необходимое условие – расположение запятой под запятой;
  • сначала суммировать дробную, ипотом целую составляющую;
  • в результат, вписать запятую в то место, в котором она находилась у слагаемых.

Приведем пример:

1,5
+
0,5
2,0

 

2,0
+
1,3
3,3

 

Суммарный вес покупки составил 3,3 кг. Ребенок сможет донести необходимые продукты!

Чтобы выполнить вычитание десятичных дробей необходимо придерживаться очень похожего алгоритма:

  • при нахождении разности использовать способ вычисления в столбик, обязательное условие – расположение запятой под запятой;
  • сначала найти разность дробной, а потом целой составляющей;
  • в разность вписать запятую в то место, в котором она находилась у компонентов.

Приведем пример:

5,6
+
4,1
1,5

 

9,3
 +
1,2
8,1

 

 

Умножение и деление десятичных дробей

4
(Источник)

Хомячку в день дают по половинке яблока. Сколько нужно взять яблок, чтобы накормить 10 хомячков?

Половинка яблока, это ½ = 0,5 яблока.Чтобы узнать количество яблок, долю одного зверька умножаем на количество животных. То есть 0,5×10. А как выполнить данное действие?

Для умножения десятичной дроби на числовые значения 10, 100, 1000, 10000, необходимо переместить запятую вправо на количество символов, равном количеству нулей в целом множителе.

Получается: 0,5×10=5. Чтобы накормить 10 хомячков нужно взять 5 яблок.

Но часто возникают ситуации, когда натуральное число нужно умножить на 0,1; 0,01; 0,0001.

Результат умножения натурального числа на десятичную дробь вида 0,1; 0,01; 0,0001 равен результату деления этого числа на 10, 100, 1000. Нужно в делимом перенести запятую на количество символов влево, равное количеству нулей, находящихся перед единицей в делителе.

7×0,1=0,715×0,01=0,1521×0,1=2,1

 

Переходим к следующему определению.

5
(Источник)

В школьную столовую, для изготовления булочек привезли 7 пакетов муки, расфасованную по 1,5 кг в один пакет. Какой общий вес муки, привезенной в столовую?

Чтобы ответить на главный вопрос, нужно перемножить массу одного пакета и количество таких пакетов: 1,5×7.

При умножении десятичной дроби на натуральное число или десятичную дробь, проводим вычисления, не учитывая запятую. Потом отсчитываем в левую сторону количество символов, равное количеству, находящемуся после запятой в двух компонентах.

1,5
х
7   
10,5

       

В столовую привезли 10,5 кг. муки.

Действуем по такому же алгоритму, если нужно найти произведение двух десятичных дробей.

Приведем пример: 3,4×5,8

3,4
х
5,8 
272
+
170 
19,72

Находим произведение привычным способом.

Сначала 34 умножаем на 8, получаем 272.

Записываем под чертой, при этом последняя цифра произведения должна записываться под множителем (8), на который умножали 34.

Далее 34 умножаем на 5, получаем 170. Записываем под первым произведением, сместив на одну клетку влево (последняя цифра произведения, должна записываться под множителем (5), на который умножали 34).

Суммируем. После, в полученном результате отделяем запятой два символа.

 

Переходим к делению десятичных дробей

6
(Источник)

Для изготовления 6 банок варенья понадобится 10,2 килограмма фруктов и ягод. Какое количество килограммов потребуется для изготовления одной банки варенья?

Все очень просто. Вычислим частное массы фруктов и количества банок, выходит: 10,2/6.

 

Чтобы найти частное десятичной дроби и натурального числа нужно:

  • выполнять деление целой составляющей, не учитывая запятую;
  • после вычисления целой составляющей, поставить запятую;
  • окончить вычисление с дробной составляющей.

10,2 делим на 6.

Сначала берем единицу, она не делится на 6, значит берем 10.

Сколько раз в 10 может поместиться 6? Один раз.

Единицу пишем в результат и ставим запятую, так как действия с целой составляющей окончены, а произведение делителя(6) и целой составляющей частного(1) отнимаем от 10,   10 - 6 = 4.

4 записываем вниз и туда же сносим дробную составляющую – 2.

Получилось число 42. Сколько раз помещается в 42? Семь раз.

В результат записываем 7, а произведение делителя и дробной составляющей частного, отнимаем от 42. В результате получаем 0.

Деление без остатка окончено.

7

 

Выходит, что для приготовления одной банки варенья потребуется 1,7 кг фруктов.

Иногда встречаются задания в которых нужно выполнить деление десятичной дроби на десятичную дробь вида 0,1, 0,01, 0,001.

Для деления десятичных дробей на числовые выражения вида 0,1, 0,01, 0,001, необходимо в делимом, переместить запятую наколичество нулей в делителе.

Приведем пример:

4,99/0,1 = 49,937

48/0,01 = 3748

Алгоритм деления на десятичную дробь:

  • Переместитьзапятую в обоих компонентах на число символов, находящихся после запятой в делителе, чтобы избавиться от запятой.
  • Выполнить действие.

12,4/0,4 = 124/4 = 31124/0,4 = 1240/4 = 310

Ничего сложного нет! Главное – запомнить алгоритмы действий для каждого случая

В нашей жизни встречаются ситуации, когда необходимо округлить какое-то числовое значение. Как правильно это сделать мы сегодня узнаем.

 

Округление десятичных дробей

Округление – изменение числового значения на самое близкое. Знак равенства при округлении заменяется на специальный символ – ≈ (примерно).

Округлим 5,05 до целых. Необходимо, все цифры, стоящие после запятой отбросить, оставив только целую часть: 5,05≈5.

Если необходимо округлить число до указанного разряда, то цифры, стоящие после этого разряда заменяют нулями, а если они находятся после запятой, то их просто не учитывают.

Округлим до десятых число 3,124. Для этого все цифры после разряда десятых отбрасываем. Получаем: 3,124≈3,1.

Помни! В случае, когда первая отброшенная цифра 0,1,2,3,4, то разряд, до которого выполняется округление, оставляем без изменений.

Округлим число 12,344 до целых. Первой цифрой, которую мы не учитываем будет цифра 3, поэтому целое число оставляем без изменений. 12,344≈12.

Но если первой неучтенной цифрой будут цифры от 5 до 9, то тогда разряд до которого выполняется округление увеличивается на 1 единицу.

Округлим число 4,578 до сотых. Первой неучтенной цифрой станет цифра 8, поэтому число разряда десятков увеличивается на единицу. 4,578≈4,58

 

Интересные факты

Число 0,001 очень маленькое. Его невозможно даже представить! А насколько мала величина 0,001 секунды! Но именно за это время наша планета оборачивается на тридцать метров, при вращении вокруг солнца! Любой звук в воздухе перемещается на 33 метра за этот промежуток времени. За такое же время, вредный комар успевает махнуть крылышками!

А число 0,000001 в тысячу раз меньше предыдущего, но даже оно имеет свое название. При измерении длин его называют микрон, и оно в миллион раз меньше метра. В микронах измеряется размер красных кровяных телец, входящих в состав крови. Размер одного тельца составляет 7 микрон в длину, и 2 в толщину! За промежуток времени равный 0,000001 луч света преодолевает 300 метров.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Вычислите 9.6 / 0,03
132
2320
33,2
Ответить
2
Вопрос: 2
Сколько цифр отделим запятой в произведении числе 2,81х3,44
12
23
34
Ответить
3
Вопрос: 3
Где расположены большие числовые значения на координатном луче?
1Справа
2Слева
3Посередине
Ответить
1
Вопрос: 4
Найдите значение выражения 18,99х0,1
11,899
2189,9
31899
Ответить
1
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Вычислите 9.6 / 0,03
1) 32 2) 320 3) 3,2
2 вопрос:

Сколько цифр отделим запятой в произведении числе 2,81х3,44
1) 2 2) 3 3) 4
3 вопрос:

Где расположены большие числовые значения на координатном луче?
1) Справа 2) Слева 3) Посередине
4 вопрос:

Найдите значение выражения 18,99х0,1
1) 1,899 2) 189,9 3) 1899
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: 320
2 вопрос: 4
3 вопрос: Справа
4 вопрос: 1,899