Алгебра

Урок 2: Уравнения с одной переменной

Уравнения с одной переменной

В этом уроке более углубленно будут рассмотрены вопросы, связанные с решением уравнений, содержащих одну переменную. Школьники познакомятся с уравнениями высоких степеней и некоторыми методами их решения.
slide6

    А Вы уже инвестируете? 
Слышали про акцию в подарок?

Перейти
slide6

               Зарегистрируйся по этой ссылке  
               и получи акцию до 100.000 руб

Перейти

План урока:

Целое уравнение и его степень

Решение уравнений методом подбора корня

Решение уравнений с помощью разложения многочлена на множители

Графический метод решения уравнений

Решение дробно-рациональных уравнений

 

Целое уравнение и его степень

Ранее мы уже изучали понятие целого выражения. Так называют любое выражение с переменной, в котором могут использоваться любые арифметические операции, а также возведение в степень. Однако есть важное ограничение – в целом выражении переменная НЕ может находиться в знаменателе какой-нибудь дроби или быть частью делителя. Также переменная не может находиться под знаком корня. Для наглядности приведем примеры целых выражений:

х – 5;

3 + 6а)(а – 5а2);

(n3 + 7)/5 (в знаменателе находится только число, без переменной);

1ytrty

А вот примеры нецелых выражений:

2fdfg

Отличительной особенностью целых выражений является то, что в них переменная может принимать любое значение. В нецелых же выражениях возникают ограничения на значения переменной, ведь знаменатель дроби не должен равняться нулю, в выражение под знаком корня не должно быть отрицательным.

Введем понятие целого уравнения.

3gfdg

Приведем примеры целых ур-ний:

0,75х7 + 0,53х6 – 45х = 18

4ffddsf

Напомним, что в математике существует понятие равносильных уравнений.

5gfdfg

Когда мы решаем ур-ния, мы в каждой новой строчке записываем ур-ние, равносильное предыдущему. Для этого используются равносильные преобразования (перенос слагаемых через знак «=» с противоположным знаком, деление обоих частей равенства на одинаковые числа и т. д.).

Можно доказать (мы этого делать не будем), что любое целое ур-ние можно возможно преобразовать так, чтобы получилось иное, равносильное ему ур-ние, где в левой части будет находиться многочлен, а справа – ноль. Для этого надо лишь раскрыть скобки и умножить ур-ние на какое-нибудь число, чтобы избавиться от дробей.

 

Пример. Преобразуйте целое ур-ние

6gfdg

так, чтобы слева стоял многочлен, а справа – ноль.

Решение. В ур-нии есть дроби со знаменателями 5 и 4. Если умножить обе части на 20 (это наименьшее общее кратное чисел 5 и 4), то дроби исчезнут:

7hgfgh

Теперь раскроем скобки:

4(5х3 – 3х4 + 45х – 27х2) – 40 = 10х2 + 5х + 35

20х3 – 12х4 + 180х – 108х2 – 40 = 10х2 + 5х + 35

Осталось перенести все слагаемые влево и привести подобные слагаемые:

20х3 – 12х4 + 180х – 108х2 – 40 – 10х2 – 5х – 35 = 0

– 12х4 + 20х3 – 118х2 + 175х – 75 = 0

Получили ур-ние в той форме, которую и надо было найти по условию.

Ответ:– 12х4 + 20х3 – 118х2 + 175х – 75 = 0

В математике любой полином можно обозначить как Р(х). Если ур-ние привели к тому виду, когда в одной части многочлен, а в другой ноль, то говорят, что получили ур-ние вида Р(х) = 0.

8hgfh

Получается, что решение целого уравнения всегда можно свести к решению равносильного ему ур-ния Р(х) = 0. Именно поэтому многочлены играют такую большую роль в математике

Напомним, что степенью многочлена называется максимальная степень входящего в его состав одночлена. Это же число является и степенью целого уравнения Р(х) = 0, а также степенью любого равносильного ему целого ур-ния.

9dfg

 

Пример. Определите степень ур-ния

3 – 5)(2х + 7) = 2х4 + 9

Решение. Приведем ур-ние к виду Р(х) = 0. Для этого раскроем скобки:

3 – 5)(2х + 7) = 2х4 + 9

4 + 7х3 – 10х – 35 = 2х4 + 9

Перенесем все слагаемые влево и приведем подобные слагаемые:

4 + 7х3 – 10х – 35 – 2х4 – 9 = 0

3 – 10х – 44 = 0

Получили в левой части многочлен 3-ей степени. Следовательно, и исходное ур-ние имело такую же степень

Ответ: 3

Приведем примеры ур-ний первой степени:

5х + 8 = 0

9z– 6 = 0

5,4568у + 0,0002145 = 0

Все они являются линейными ур-ниями, метод их решения изучался ранее. Они имеют 1 корень.

Приведем примеры ур-ний второй степени:

6t2 + 98t – 52 = 0

54у + 23у = 0

12x2– 65 = 0

Это квадратные ур-ния. У них не более двух действительных корней. Для их нахождения в общем случае надо вычислить дискриминант и использовать формулу

10gdfgfdg

Квадратные и линейные ур-ния умели решать ещё в Древнем Вавилоне 4 тысячи лет назад! А вот с ур-ния 3-ей степени (их ещё называют кубическими уравнениями) оказались значительно сложнее. Приведем их примеры:

3 + 4х2 – 19х + 17 = 0

у3 – 5у + 7 = 0

Лишь в 1545 году итальянец Джералимо Кардано опубликовал книгу, в которой описывался общий алгоритм решения кубических ур-ний. Он достаточно сложный и не входит в школьный курс математики. Его ученик, Лодовико Феррари, предложил метод решения ур-ний четвертой степени. В качестве примера такого ур-ния можно привести:

4 + 6х3 – 2х2 – 10х + 1 = 0

Лишь в XIX веке было доказано, что для ур-ний более высоких степеней (5-ой, 6-ой и т. д.) не существует универсальных формул, с помощью которых можно было бы найти их корни.

Отметим, что если степень целого ур-ния равна n, то у него не более корней (но их число может быть и меньше). Так, количество корней кубического уравнения не превышает трех, а у ур-ния 4-ой степени их не более 4.

9 2 2

Чтобы доказать это утверждение, сначала покажем способ составления уравнения Р(х) = 0, имеющего заранее заданные корни. Пусть требуется составить ур-ние, имеющее корни k1, k2,k3,…kn. Приравняем к нулю следующее произведение скобок:

(х – k1)(х – k2)(х – k3)…(х – kn) = 0

Составленное ур-ние имеет все требуемые корни и никаких других корней. Действительно, произведение множителей может равняться нулю только в случае, если хотя бы один из множителей нулевой. Поэтому для решения ур-ния

(х – k1)(х – k2)(х – k3)…(х – kn) = 0

надо каждую скобку приравнять к нулю:

х – k1 = 0 или х – k2 = 0 или х – k3 = 0 или…х – kn = 0

Перенесем второе слагаемое вправо в каждом равенстве и получим:

х = k1 или х = kили х = k3 или…х = kn

Чтобы вместо произведения скобок слева стоял многочлен, надо просто раскрыть скобки.

 

Пример. Составьте уравнение в виде Р(х) = 0, имеющее корни 1, 2, 3 и 4.

Запишем целое ур-ние, имеющее требуемые корни:

(х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4) = 0

Будем поочередно раскрывать скобки, умножая 1-ую скобку на 2-ую, полученный результат на 3-ю и т.д.:

2 – 3х + 2)(х – 3)(х – 4) = 0

3 – 6х2 + 11х – 6)(х – 4) = 0

х4 – 10х3 + 35х2 – 50х +24 = 0

Получили ур-ние вида Р(х) = 0. Для проверки вычислений можно подставить в него числа 1, 2, 3 и 4 и убедиться, что они обращают ур-ние в верное равенство.

Ответ: х4 – 10х3 + 35х2 – 50х +24 = 0

 

Заметим, что в рассмотренном примере, когда мы перемножали многочлены, мы получали новый полином, чья степень увеличивалась на единицу. Мы перемножили 4 скобки (х – k1), а потому получили полином 4 степени. Если бы мы перемножали, скажем, 10 таких скобок, то и многочлен бы получился 10-ой степени. Именно поэтому ур-ние n-ой степени не более n корней.

Действительно, предположим, что какое-то ур-ние n-ой степени имеет хотя бы (n + 1) корень. Обозначим эти корни как k1, k2,k3,…kn, kn+1 и запишем уравнение:

(х – k1)(х – k2)(х – k3)…(х – kn)(х – kn+1) = 0

Оно, по определению, равносильно исходному ур-нию, ведь оно имеет тот же набор корней. Слева записаны (n + 1) скобок, поэтому при их раскрытии мы получим полином степени (n + 1). Значит, и исходное ур-ние на самом деле имеет степень n + 1, а не n. Получили противоречие, которое означает, что на самом деле у уравнения n-ой степени не более n корней.

Особо акцентируем внимание на том факте, что если корнями уравнения являются некоторые числа k1, k2,k3,…kn, то этому ур-нию равносильна запись (х – k1)(х – k2)(х – k3)…(х – kn) = 0

12bgfhfgh

Этот факт будет использован далее при решении ур-ний.

Решение уравнений методом подбора корня

Необязательно преобразовывать ур-ние, чтобы найти его корни. Одним из приемов решения целых уравнений является метод подбора корня. Ведь если надо доказать, что какое-то число – это корень ур-ния, достаточно просто подставить это число в ур-ние и получить справедливое равенство!

 

Пример. Докажите, что корнями ур-ния

х3 – 2х2 – х + 2 = 0

являются только числа (– 1), 1 и 2.

Решение. Подставим в ур-ние каждую из предполагаемых корней и получим справедливое равенство. При х = – 1 имеем:

(– 1)3 – 2(– 1)2 – (– 1) + 2 = 0

–1 – 2 + 1 + 2 = 0

0 = 0

При х = 1 получаем:

13 – 2•12 – 1 + 2 = 0

1 – 2 – 1 + 2 = 0

0 = 0

Наконец, рассмотрим случай, когда х = 2

23 – 2•22 – 2 + 2 = 0

8 – 8 – 2 + 2 = 0

0 = 0

Исходное ур-ние имеет 3-ю степень, поэтому у него не более 3 корней. То есть других корней, кроме (– 1), 1 и 2 , у него нет.

Конечно, просто так подобрать корни довольно тяжело. Однако есть некоторые правила, которые помогают в этом. Для начала введем понятие коэффициентов уравнения.

Понятно, что ур-ние Р(х) = 0 в общем виде можно записать так:

а0xn + a1xn–1 + … + аn–1х + аn = 0

Числа а0, а1, а2,…аnи называют коэффициентами уравнений.

Например, для уравнения

4 – 7х3 + 9х2 – х + 12 = 0

коэффициенты равны

а0 = 5

а1 = – 7

а2 = 9

а3 = – 1

а4 = + 12

Если одна из слагаемых «пропущено» в уравнении, то считают, что коэффициент перед ним равен нулю. Например, в ур-нии

х3 + 2х – 15 = 0

нет слагаемого с буквенной частью х2. Можно считать, что ур-ние равносильно записи

х3 + 0х2 + 2х – 15 = 0

где слагаемое х2 есть, но перед ним стоит ноль. Тогда коэффициент а1 = 0.

Для обозначения первого коэффициента а0 может использоваться термин старший коэффициент, а для последнего коэффициента аn – термин «свободный член» или «свободный коэффициент».

Изучение коэффициентов ур-ния помогает быстрее подобрать корень. Существует следующая теорема:

9 2 1

Докажем это утверждение. Пусть m – это целый корень уравнения с целыми коэффициентами

а0xn + a1xn–1 + … + аn–1х + аn = 0

Тогда можно подставить туда число m и получить верное равенство:

а0mn + a1mn–1 + … + аn–1m + аn = 0

Поделим обе его части на m и получим

а0mn–1 + a1mn–2 + … + аn–1 + аn/m = 0

Справа – целое число (ноль), значит, и сумма чисел слева также целая. Все числа а0mn–1, a1mn–2, аn–1, очевидно, целые (так как и целыми являются и m, и все коэффициенты). Значит, и число аn/m должно быть целым. Но это возможно лишь в том случае, если m является делителем числа аn.

Из доказанной теоремы следует, что при подборе корней ур-ния достаточно рассматривать только те из них, которые являются делителями свободного члена. При этом следует учитывать и отрицательные делители.

 

Пример. Найдите целые корни уравнения

4 – х3 – 9х2 + 4х + 4 = 0

Решение. Все коэффициенты ур-ния – целые, а потому целый корень должен быть делителем свободного члена, то есть числа 4. Делителями четверки являются 1 и (– 1), 2 и (– 2), 4 и (– 4). Подставляя каждое из этих чисел в ур-ние, получим верные равенства только для чисел 1, 2 и (– 2):

2•14 – 13 – 9•12 + 4•1 + 4 = 2 – 1 – 9 + 4 + 4 = 0

2•24 – 23 – 9•22 + 4•2 + 4 = 32 – 8 – 36 + 8 + 4 = 0

2•(– 2)4 – (– 2)3 – 9•(– 2)2 + 4(– 2) + 4 = 32 + 8 – 36 – 8 + 4 = 0

Таким образом, только эти числа и могут быть целыми корнями ур-ния. Так как мы рассматриваем ур-ние 4 степени, то, возможно, у него помимо 3 целых корней есть ещё один дробный.

Ответ: 1; 2; (– 2).

 

Пример. Решите ур-ние

0,5х3 + 0,5х + 5 = 0

Решение. У ур-ния дробные коэффициенты. Умножим обе части равенства на 2 и получим ур-ние с целыми коэффициентами:

0,5х3 + 0,5х + 5 = 0

(0,5х3 + 0,5х + 5)•2 = 0•2

х3 + х + 10 = 0

Попытаемся подобрать целый корень ур-ния. Он должен быть делителем свободного члена, то есть десятки. Возможными кандидатами являются числа 1 и (– 1), 2 и (– 2), 5 и (– 5), 10 и (– 10). Подходит только корень х = – 2:

(– 2)3 + (– 2) + 10 = – 8 – 2 + 10 = 0

Обратим внимание, что в левой части ур-ния стоит сумма функций, возрастающих на всей числовой прямой: у = х3 и у = х + 10. Значит, и вся левая часть х3 + х + 10 монотонно возрастает. Это значит, что у ур-ния есть только один корень, и мы его нашли ранее подбором.

Ответ: – 2

 

Ещё быстрее можно узнать, является ли единица корнем уравнения.

14gffdgdfg

Докажем это. Подставим в ур-ние

а0xn + a1xn–1 + … + аn–1х + аn = 0

значение х = 1. Так как единица в любой степени равна самой единице, то получим:

а01n + a11n–1 + … + аn–11 + аn = 0

а0 + a1 + … + аn–1 + аn = 0

Получили равенство, в котором слева стоит сумма коэффициентов, в справа – ноль. Если сумма коэффициентов действительно равна нулю, то равенство верное, а, значит, единица является корнем ур-ния.

 

Пример. Укажите хотя бы 1 корень ур-ния

499х10 – 9990х7 + 501х6 – 10х5 + 10000х4 – 1000 = 0

Решение. Заметим, что при сложении коэффициентов ур-ния получается 0:

499 – 9990 + 501 – 10 + 10000 – 1000 = (499 + 501 – 1000) + (10000 – 9990 – 10) = 0 + 0 = 0

Следовательно, единица является его корнем.

Ответ: 1.

Решение уравнений с помощью разложения многочлена на множители

Если в уравнении вида P(x) = 0в левой части удается выполнить разложение многочлена на множители, то дальше каждый из множителей можно отдельно приравнять к нулю.

 

Пример. Решите ур-ние

х4 – 16 = 0

Решение. Степень х4 можно представить как (х2)2, а 16 – как 42. Получается, что слева стоит разность квадратов, которую можно разложить на множители по известной формуле:

х4 – 16 = 0

2 – 4)(х2 + 4) = 0

Приравняем каждую скобку к нулю и получим два квадратных ур-ния:

х2 – 4 = 0 или х2 + 4 = 0

х2 = 4 или х2 = – 4

Первое ур-ние имеет два противоположных корня: 2 и (– 2). Второе ур-ние корней не имеет.

Ответ: 2 и (– 2).

Предположим, что у ур-ния 3-ей степени есть 3 корня, и подбором мы нашли один из них. Как найти оставшиеся корни? Здесь помогает процедура, известная как «деление многочленов в столбик». Продемонстрируем ее на примере. Пусть надо решить ур-ние

100х3 – 210х2 + 134х – 24 = 0

Можно заметить, сумма всех коэффициентов ур-ния равна нулю:

100 – 210 + 134 – 24 = 0

Следовательно, первый корень – это 1.

Предположим, что у исходного ур-нияР(х) = 0 есть 3 корня, k1, k2и k3. Тогда ему равносильно другое ур-ние

(х – k1)(х – k2)(х – k3) = 0

Мы нашли, что первый корень k1 = 1, то есть

(х – 1)(х – k2)(х – k3) = 0

Обозначим как P1(x) = 0 ещё одно ур-ние, корнями которого будут только числа kи k3. Очевидно, что корнями ур-ния

(х – 1)•P1(x) = 0

Будут числа 1, kи k3. Его корни совпадают с корнями исходного ур-ния, а потому запишем

(х – 1)•P1(x) = 100х3 – 210х2 + 134х – 24

Поделим обе части на (х – 1):

15gfdfg

Итак, если «поделить» исходное ур-ние на х – 1, то получим какой-то многочлен Р1(х), причем решением уравнения P1(x) = 0 будут оставшиеся два корня, k2и k3. Деление можно выполнить в столбик. Для этого сначала запишем «делимое» и «делитель», как и при делении чисел:

16gfdg

Смотрим на первое слагаемое делимого. Это 100х3. На какой одночлен нужно умножить делитель (х – 1), чтобы получился полином со слагаемым 100х3? Это 100х2. Действительно, (х – 1)100х2 = 100х3 – 100х2. Запишем слагаемое 100х2 в результат деления, а результат его умножения на делитель, то есть 100х3 – 100х2, вычтем из делимого:

17ggfh

18gfh

Теперь вычтем из делимого то выражение, которое мы записали под ним. Слагаемые 100х3, естественно, сократятся:

(100х3 – 210х2) – (100х3 – 100х2) = 100х3 – 210х2 – 100х3 + 100х2 = – 110х2

19dfg

Далее снесем слагаемое 134х вниз:

20gdfg

На какое слагаемое нужно умножить (х – 1), что получился полином со слагаемым (– 110х2). Очевидно, на (– 110х):

(х – 1)(– 110х2) = –110х2 + 110х

Запишем в поле «ответа» слагаемое (– 110х2), а под делимый многочлен – результат его умножения на (х – 1):

21gfdg

При вычитании из (–110х2 + 134х) полинома (–110х2 + 110х) остается 24х. Далее сносим последнее слагаемое делимого многочлена вниз:

22gfgty

Выражение х – 1 нужно умножить на 24, чтобы получить 24х – 24. Запишем в поле «ответа» число 24, а в столбике произведение 24(х –1) = 24х – 24:

23gdfg

В результате в остатке получился ноль. Значит, всё сделано правильно. С помощью деления столбиком мы смогли разложить полином 100х3 – 210х2 + 134х – 24 на множители:

100х3 – 210х2 + 134х – 24 = (х – 1)(100х2 – 110х + 24)

Теперь перепишем исходное ур-ние с учетом этого разложения:

100х3 – 210х2 + 134х – 24 = 0

(х – 1)(100х2 – 110х + 24) = 0

Теперь каждую отдельную скобку можно приравнять нулю. Получим ур-ние х – 1 = 0, корень которого, равный единице, мы уже нашли подбором. Приравняв к нулю вторую скобку, получим квадратное ур-ние:

100х2 – 110х + 24 = 0

D =b2 – 4ас = (– 110)2 – 4•100•24 = 12100 – 9600 = 2500

24gdfg

Итак, мы нашли три корня ур-ния: 1; 0,3 и 0,8.

В данном случае мы воспользовались следующим правилом:

25gdfg

 

Пример. Решите уравнение

3 – 8х2 + 16 = 0

Решение. Все коэффициенты целые, а потому, если у уравнения есть целый корень, то он должен быть делителем 16. Перечислим эти делители: 1, – 1, 2, – 2, 4, – 4, 8, – 8, 16, – 16. Из всех них подходит только двойка:

2•23 – 8•22 + 16 = 16 – 32 + 16 = 0

Итак, первый корень равен 2. Это значит, что исходный многочлен можно разложить на множители, один из которых – это (х – 2). Второй множитель найдем делением в столбик. Так как в многочлене 2х3 – 8х2 + 16 нет слагаемого с буквенной часть х, то искусственно добавим её:

3 – 8х2 + 16 = 2х3 – 8х2 + 0х + 16

Теперь возможно деление:

26gfdfg

Получили, что 2х3 – 8х2 + 16 = (х – 2)(2х – 4х – 8)

С учетом этого перепишем исходное ур-ние:

3 – 8х2 + 16 = 0

(х – 2)(2х – 4х – 8) = 0

х – 2 = 0 или 2х – 4х – 8 = 0

Решим квадратное ур-ние

D =b2 – 4ас = (– 4)2 – 4•2•(– 8) = 16 + 64 = 80

27hgfgh

В 8 классе мы узнали, что если у квадратного ур-ния ах2 + bx + c = 0 есть два корня, то многочлен ах2 + bx + c можно разложить на множители по формуле

ах2 + bx + c = а(х – k1)(х – k2)

где kи k2– корни квадратного ур-ния. Оказывается, такое же действие можно выполнять с многочленами и более высоких степеней. В частности, если у кубического ур-ния есть 3 корня k1, kи k3, то его можно разложить на множители по формуле

ах3 +bx2 + cx + d = a(х – k1)(х – k2)(х – k3)

 

Пример. Разложите на множители многочлен 2х3 – 4х2 – 2х + 4.

Решение. Целые корни этого многочлена (если они есть), должны быть делителем четверки. Из всех таких делителей подходят три: 1, (– 1) и 2:

2•13 – 4•12 – 2•1 + 4 = 2 – 4 – 2 + 4 = 0

2•(– 1)3 – 4•(– 1)2 – 2•(– 1) + 4 = – 2 – 4 + 2 + 4 = 0

2•23 – 4•22 – 2•2 + 4 = 16 – 16 – 4 + 4 = 0

Значит, многочлен можно разложить на множители:

3 – 4х2 – 2х + 4 = 2(х + 1)(х – 1)(х – 2)

Возникает вопрос – почему перед скобками нужна двойка? Попробуем сначала перемножить скобки без ее использования:

(х + 1)(х – 1)(х – 2) = (х2 – 1)(х – 2) = х3 – 2х2 – х + 2

Получили не тот многочлен, который стоит в условии. Однако ур-ние

х3 – 2х2 – х + 2 = 0

имеет те же корни (1, 2 и (– 1)), что и ур-ние

3 – 4х2 – 2х + 4 = 0

Дело в том, что это равносильные ур-ния, причем второе получено умножением первого на два:

2•(х3 – 2х2 – х + 2) = 2х3 – 4х2 – 2х + 4

Надо понимать, что хотя ур-ния 2х3 – 4х2 – 2х + 4 = 0 и х3 – 2х2 – х + 2 = 0, по сути, одинаковы, многочлены в их левой части различны. Заметим, что при перемножении скобок (х – k1), (х – k2), (х – k3) и т.д. всегда будет получаться полином, у которого старший коэффициент равен единице. Поэтому, чтобы учесть этот самый коэффициент, надо домножить произведение скобок на него:

3 – 4х2 – 2х + 4= 2•(х3 – 2х2 – х + 2) = 2(х + 1)(х – 1)(х – 2)

Ответ: 2(х + 1)(х – 1)(х – 2).

Графический метод решения уравнений

Любое ур-ние с одной переменной можно представить в виде равенства

у(х) = g(x)

где у(х) и g(x) – некоторые функции от аргумента х.

Построив графики этих функций, можно примерно найти точки их пересечений. Они и будут соответствовать корням уравнения.

 

Пример. Решите графически уравнение

х3 – х2 – 1 = 0

Решение. Строить график уравнения х3 – х2 – 1 = 0 довольно сложно, поэтому перенесем слагаемое (– х2 – 1) вправо:

х3 – х2 – 1 = 0

х3 = х2 + 1

Построим графики у = х3 и у = х2 + 1 (второй можно получить переносом параболы у = х2 на единицу вверх):

28hgfgh

Видно, они пересекаются в точке, примерно соответствующей значению х ≈ 1,4. Если построить графики уравнения более точно (с помощью компьютера), то можно найти, что х ≈ 1,46557.

Ответ: х ≈ 1,46557

Конечно, графический метод решения уравнений не является абсолютно точным, однако он помогает быстро найти примерное положение корня. Также с его помощью можно определить количество корней уравнения. В рассмотренном примере был только 1 корень.

 

Пример. Определите количество корней уравнений

а)х3 – х – 3 = 0

б) х3 – 2х + 0,5 = 0

Решение. Перенесем два последних слагаемых вправо в каждом ур-нии:

а) х3 = х + 3

б) х3 = 2х – 0,5

Построим графики функций у = х3, у = х + 3 и у = 2х – 0,5:

29gfdg

30gfdg

Видно, что прямая у = х + 3 пересекает график у = х3 в одной точке, поэтому у первого ур-ния будет 1 решение.Прямая у = 2х – 0,5 пересекает кубическую параболу в трех точках, а потому у второго ур-ния 3 корня.

Ответ: а) один корень; б) три корня.

 

Решение дробно-рациональных уравнений

До этого мы рассматривали только целые ур-ния, где переменная НЕ находится в знаменателе какого-нибудь выражения. Однако, если в ур-нии есть выр-ние, содержащее переменную в знаменателе, или присутствует деление на выр-ние с переменной, то его называют дробно-рациональным уравнением.

Приведем несколько примеров ур-ний, считающихся дробно-рациональными:

31gfdgf

С помощью равносильных преобразований любое дробно-рациональное ур-ние возможно записать в виде отношения двух полиномов:

32gfdfg

Дробь равна нулю лишь тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель – не равен. Таким образом, нужно сначала решить ур-ние Р(х) = 0 и потом проверить, что полученные корни не обращают полином Q(x) в ноль.

Обычно для решения дробно-рациональных уравнений используют такой алгоритм:

1) Приводят все дроби к единому знаменателю, умножают на него ур-ние и получают целое ур-ние.

2) Решают полученное целое ур-ние.

3) Исключают из числа корней те, которые обращают знаменатель хотя бы одной из дробей в ноль.

 

Пример. Решите ур-ние

33gfdhg

Решение.

Умножим обе части равенства на знаменатель 1-ой дроби:

2 – 3х – 2 = х2(х – 2)

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону:

2 – 3х – 2 = х3– 2х2

х3 – 2х2 – 2х2 + 3х + 2 = 0

х3 – 4х2 + 3х + 2 = 0

У ур-ния могут быть только те целые корни, которые являются делителями двойки. Из кандидатов 1, – 1, 2 и – 2 подходит только двойка:

23 – 4•22 + 3•2 + 2 = 8 – 16 + 6 + 2 = 0

Нашли один корень, а потому исходный многочлен можно поделить в столбик на (х – 2):

34gfdfg

Получили, что х3 – 4х2 + 3х + 2 = (х – 2)(х2 – 2х – 1)

Тогда ур-ние примет вид:

(х – 2)(х2 – 2х – 1) = 0

х – 2 = 0 или х2 – 2х – 1 = 0

Решим квадратное ур-ние:

D =b2 – 4ас = (– 2)2 – 4•1•(– 1) = 4 + 4 = 8

35gfdfg

Мы нашли все 3 корня кубического ур-ния. Теперь надо проверить, не обращают ли какие-нибудь из них знаменатели дроби в исходном ур-нии

36gfdg

в ноль. Очевидно, что при х = 2 знаменатель (х – 2) превратится в ноль:

х – 2 = 2 – 2 = 0

Это значит, что этот корень надо исключить из списка решений. Такой корень называют посторонним корнем ур-ния.

Также ясно, что два остальных корня не обращают знаменатель в ноль, а потому они НЕ должны быть исключены из ответа:

37sdfsdf

Пример. Найдите все корни ур-ния

38bfgh

Решение. Если сразу привести выражение слева к общему знаменателю 4(х2 + х – 2)(х2 + х – 20), то получится очень длинное и неудобное выражение. Однако знаменатели довольно схожи, поэтому можно провести замену. Обозначим х2 + х как у:

у = х2 + х

Тогда уравнение примет вид

39gdfg

Приведем дроби к общему знаменателю 4(у – 2)(у – 20):

40ffdg

Знаменатель должен равняться нулю:

4(у – 20) + 28(у – 2) + (у – 2)(у – 20) = 0

4у – 80 + 28у – 56 + у2 – 20у – 2у + 40 = 0

у2 + 10у – 96 = 0

Решаем квадратное ур-ние:

D =b2 – 4ас = (10)2 – 4•1•(– 96) = 100 + 384 = 484

41gfdfg

Получили, что у1 = – 16, а у2 = 6. Произведем обратную замену:

у = х2 + х

х2 + х = – 16 или х2 + х = 6

х2 + х + 16 = 0 или х2 + х – 6 = 0

Дискриминант 1-ого ур-ния отрицателен:

D =b2 – 4ас = (1)2 – 4•1•(16) = 1– 64 = – 63

А потому оно не имеет решений. Решим 2-ое ур-ние:

D = b2 – 4ас = (1)2 – 4•1•(– 6) = 1+ 24 = 25

42gfdg

Нашли два корня: 2 и (– 3). Осталось проверить, не обращают ли они знаменатели дробей в ур-нии

43gfdfg

в ноль. Подстановкой можно убедиться, что не обращают.

Ответ: – 3 и 2.

При решении дробно-рациональных ур-ний может использоваться и графический метод.

 

Пример. Сколько корней имеет уравнение

44gfgh

Решение. Построим графики функций у = х2 – 4 и у = 2/х:

45gfdfg

Видно, что графики пересекаются в 3 точках, поэтому ур-ние имеет 3 корня.

Ответ: 3 корня.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Вопрос: 1
Что можно сказать о количестве корней уравнения n-ой степени?
1У уравнения всегда 1 корень
2Их больше n
3Их ровно n
4Их не более n
Ответить
4
Вопрос: 2
Укажите единственный корень ур-ния х3 – 3х2 + 4х – 2 = 0
1-1
21
32
4-2
Ответить
2
Вопрос: 3
Какой полином получится при делении полинома х3 + х2 – х + 2 на многочлен х + 2?
1х2 – х + 1
2х2 + х + 1
3х2 + х – 1
4х2 – х – 1
Ответить
1
Вопрос: 4
Сколько корней имеет ур-ние х2 – 5 = 1/х
11
22
33
4ни одного
Ответить
3
Допущено ошибок:
Оценка:
Подробнее
Ваши ответы:
1 вопрос:

Что можно сказать о количестве корней уравнения n-ой степени?
1) У уравнения всегда 1 корень 2) Их больше n 3) Их ровно n 4) Их не более n
2 вопрос:

Укажите единственный корень ур-ния х3 – 3х2 + 4х – 2 = 0
1) -1 2) 1 3) 2 4) -2
3 вопрос:

Какой полином получится при делении полинома х3 + х2 – х + 2 на многочлен х + 2?
1) х2 – х + 1 2) х2 + х + 1 3) х2 + х – 1 4) х2 – х – 1
4 вопрос:

Сколько корней имеет ур-ние х2 – 5 = 1/х
1) 1 2) 2 3) 3 4) ни одного
Посмотреть ответы
Правильные ответы:
1 вопрос: Их не более n
2 вопрос: 1
3 вопрос: х2 – х + 1
4 вопрос: 3
Slide6

Лучшие условия по продуктам        Тинькофф по этой ссылке

Перейти
slide9

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

Перейти