План урока:

Простейшие логарифмические уравнения

Уравнения вида log_a f(x) = log_a g(x)

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Логарифмирование уравнений

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Неравенства вида log_a x < b

Неравенства вида log_a f(x) <log_a g(x)

Простейшие логарифмические уравнения

Рассмотрим уравнение

которое обычно называют простейшим логарифмическим уравнением, его единственным корнем будет число х = а^с.

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Ответ: – 3.

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x⁴ к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t<s), то этим двум значениям на оси Оу будет соответствовать числа log_at и log_as, причем окажется, что log_at лежит ниже, чем log_as. Это значит, что log_at<log_as:

Из картинки можно предположить, что неравенства log_at<log_as и t<s равносильны (если а > 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 <x< 17 выполняется на промежутке (0; 17)

Ответ: (0; 17).

Задание. Решите нерав-во

Очевидно, что первую часть этого двойного нерав-ва можно просто отбросить, ведь условие 0 < 29 справедливо в любом случае:

Ситуация несколько меняется, когда основание лог-фма оказывается меньше единицы, то есть 0 <а < 1. В таком случае функция у = log_a x уже является не возрастающей, а убывающей. Тогда, если мы отметим на оси Ох такие точки tи s, что t<s, то окажется, что величина log_at будет находиться на оси Оу выше, чем log_as, то есть log_at>log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0<а< 1 от логарифмического нерав-ва log_at>log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 <t<s.

Грубо говоря, при переходе от логарифмического нерав-ва к нелогарифмическому знак нерав-ва сохраняется, если основание лог-фма больше единицы. Но в противном случае знак нерав-ва меняется на противоположный.

Задание. Решите нерав-во

Задание. Решите нерав-во

Неравенства вида log_ax<b

В случае, когда в одной из частей неравенства стоит логарифм, а в другой – обычное число, следует просто заменить число логарифмом, чтобы свести его к уже знакомым неравенствам.

Задание. Решите нерав-во

Решение.

Представим число 0,5 как логарифм с основанием 4. Так как 0,5 = log₄ 2, мы можем переписать нерав-во в виде:

Задание. Решите нерав-во

От него можно перейти к нелогарифмическому нерав-ву. Так как основание логарифмов 1/3 меньше единицы, то знак нерав-ва должен измениться:

Неравенства вида log_af(x) <log_ag(x)

В более сложных случаях в обоих частях неравенства под знаком логарифма находятся выражения с переменными. Алгоритм решения в таком случае остается неизменным – надо перейти к нелогарифмическому нерав-ву и при этом не забыть учесть, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число.

Задание. Решите нерав-во

Решение. Основание логарифма, число 3, больше единицы, а потому мы можем перейти к такому двойному нерав-ву:

Для удобства дальше запишем его в виде системы неравенств:

Задание. Решите нерав-во

Так как выражения под знаком логарифма должны быть положительны, то мы можем записать сразу два нерав-ва:

Решим отдельно последнее нерав-во, которое является квадратным. Для этого найдем нули квадратичной функции, стоящей в правой части

Таким образом, нерав-во 0 <x²– 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).

Ответ: (0; 5)⋃(40; 45).