План урока:

Разность квадратов

Квадрат суммы

Квадрат разности

Формулы для кубов

Треугольник Паскаля

Разность квадратов

Пусть есть два числа, одно из которых равно a, а другое – b. Их сумма будет равна a + b, а разность составляет a– b. Оба эти выражения являются многочленами.

Теперь перемножим сумму и разность, пользуясь правилами перемножения многочленов (см. урок 6) :

(a + b)(a - b) = a² - ab + ba - b²

Слагаемые – a b и b a являются подобными, их сумма равна нулю:

-ab + ab = -1ab + 1ab = ab(-1 + 1) = ab * 0 = 0

Поэтому в выражении их можно сократить:

(a + b)(a - b) = a² - ab + ba - b² = a² - b²

Получается, что произведение суммы двух чисел на их разность равно разности их квадратов. Естественно, как и любое другое математическое равенство, это можно переписать в обратном порядке:

a² - b²  = (a + b)(a - b)

Данное тождество называют формулой разности квадратов.

Вместо a и b в это тождество можно подставлять любые числа, выражения, одночлены, многочлены. Убедимся в ее справедливости на нескольких примерах. Вычислим значение выражения

7² - 5²

сначала напрямую, а потом с помощью формулы разности квадратов:

7² - 5² = 7*7 - 5*5 = 49 - 25 = 24

7² - 5² = (7 - 5)(7 + 5) = 2*12 = 24

Видно, что ответ не зависит от способа вычисления. Однако в ряде один из них представляется более удобным.

Пример. Вычислите разность двух квадратов: 2516² и 1516².

Решение. Возводить во вторую степень четырехзначные числа без калькулятора тяжело, поэтому используем сокращенное умножение:

2516² - 1516² = (2516 + 1516)(2516 + 1516) = 4032 * 1000 = 4032000

Ответ: 4032000

Пример. Вычислите 499•501.

Решение. Используем две простые замены:

499 = 500 - 1

501 = 500 + 1

С их помощью вычисления существенно упрощаются, так как произведение можно представить как разность квадратов двух чисел:

499 * 501 = (500 - 1)(500 + 1) = 500² - 1² = 250000 - 1 = 249999

Ответ: 249999.

Пример. Докажите, что число 765873² – 765864² делится на 9.

Решение. Разность квадратов равна:

765873² – 765864² = (765873 - 765864)(765873 + 765864) = 9*(765873 + 765864)

Даже не складывая слагаемые во второй скобке, мы можем сказать, что исходное число делится на 9, так как на 9 делится один из множителей, на которые мы разложили разность квадратов.

Теперь рассмотрим случаи, когда в формулу подставляются переменные. Пусть необходимо найти произведение полиномов 8u + 5v и 8u– 5v. С помощью формулы сокращенного умножения получаем:

(8u + 5v)(8u - 5v) = (8u)² - (5v)² = 64u² - 25v²

Конечно, мы могли бы выполнить эту операцию и без использования сокращенного умножения, просто раскрыв скобки методом «фонтанчика». Но тогда мы потратили бы больше времени, усилий и бумаги:

(8u + 5v)(8u - 5v) = (8u)² - 8u*5v + 5v*8u - (5v)² = 64u² - 25v²

Пример. Перемножьте полиномы x²z +2y³ и x²z– 2y³.

Решение.

(x²z +2y³)(x²z +2y³) = (x²z)² - (2y³)² = x⁴z² - 4y⁶

Пример. Упростите выражение

-3.5m² - (1.5n - 2m)(1.5n + 2m)

Решение:

-3.5m² - (1.5n - 2m)(1.5n + 2m) = -3.5m² - ((1.5n)² - (2m)²) = -3.5m² - 2.25n² + 4m² = 0.5m² - 2.25n²

Иногда с помощью сокращенного умножения можно разложить полином на множители. Например, двучлен x²– 25 можно представить как

x² - 25 = x² - 5² = (x - 5)(x + 5)

С помощью разложения разности квадратов на множители можно доказать, что разность вторых степеней двух последовательных натуральных чисел всегда является нечетным числом. Обозначим за n произвольное натуральное число. Тогда следующим за ним будет число n+1. Разность их квадратов равна

(n + 1)² = n²

Раскроем скобки:

(n + 1)² - n² = (n + 1 - n)(n + 1 + n) = 1*(2n + 1) = 2n + 1 = 1*(2n + 1) = 2n + 1

Число 2n +1 при делении на 2 дает остаток 1, то есть является нечетным.

Стоит отметить, что для суммы квадратов a² + b² аналогичной формулы разложения на множители не существует.

Квадрат суммы

Возведем во вторую степень сумму двух произвольных величин, которые обозначим буквами a и b:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

То есть верно тождество

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Это тождество называют формулой квадрата суммы.

Покажем ее верность на числовом примере. Вычислим значение выражения (5 + 3)² двумя различными способами, с помощью формулы возведения суммы в квадрат и без нее:

(5 + 3)²  = 8² = 64

(5 + 3)² = 5² + 2 * 5 * 3 + 3² = 25 + 30 + 9 = 64

Выражение для квадрата суммы используется также, как и формула разности квадратов. В нее можно подставлять числа, полиномы и мономы, произвольные выражения. Тождество можно перевернуть, и тогда получится равенство:

a² + 2ab + b² = (a + b)²

которое является верным.

Тождество можно проиллюстрировать и геометрически. Построим квадрат со стороной a + b (отрезки длиной а выделены красным цветом, а длиной b– синим):

Площадь такой фигуры равна второй степени стороны:

S = (a + b)²

С другой стороны, этот квадрат составлен из двух прямоугольников площадью ab и квадратов со сторонами a и b:

S = a² + 2ab + b²

Пример. Вычислите 1010².

Решение. Представим число 1010 как сумму 1000 и 10. Тогда можно записать:

(1010)² = (1000 + 10)² = 1000² + 2 * 1000 * 10 + 10² = 1000000 + 20000 + 100 = 1020100

Пример. Докажите, что число 9060100 является второй степенью натурального числа.

Решение. Представим 9060100 как сумму слагаемых 9000000, 60000 и 100. В свою очередь верны следующие равенства:

3000² = 9000000

10² = 100

2 * 10 * 3000 = 60000

Тогда можно воспользоваться сокращенным умножением:

9060100 = 9000000 + 60000 + 100 = 3000² + 2 * 10 * 3000 + 10² = (3000 + 10)² = 3010²

Получили, что 9060100 – это вторая степень числа 3010. При этом нам не пришлось извлекать квадратный корень.

В тождество квадрата суммы можно подставлять не только числа, но и многочлены. Представим в виде произведения мономов выражение

(5h + 8)² - (4h + 10)²

Сначала по формуле квадрата суммы раскроем каждую из скобок:

(5h + 8)² - (4h + 10)² = (25h² + 80h + 64) - (16h² + 80h + 100) = 25h² + 80h + 64 - 16h² - 80h - 100

Далее приведем подобные слагаемые:

25h² + 80h + 64 - 16h² - 80h - 100 = (25h² - 16h²) + (80h - 80h) + (64 - 100) = 9h² - 36

оставшийся полином раскладывается на множители с помощью сокращенного умножения:

9h² - 36 = (3h)² - 6² = (3h - 6)(3h + 6)

Квадрат разности

Своя формула сокращенного умножения существует не только для квадрата суммы, но и для квадрата разности. Выведем её. Для этого возведем во вторую степень выражение a– b:

(a - b)² = (a - b)(a - b) = a² - ab - ba + b² = a² - 2ab + b²

Итак, мы получили тождество, называемое формулой квадрата разности:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Убедимся в верности тождества на примере. Для этого вычислим значение выражения (9 – 5)² двумя разными способами, с использованием формулы возведения разности в квадрат и без неё:

(9 - 5)² = 4² = 16

(9 - 5)² = 9² - 2 * 9 * 5 + 5² = 81 - 90 + 25 = 16

Заметим, что если поменять местами переменные aи b, то значение квадрата их разности не изменится:

(b - a)² = b² - 2ba + a² = a² - 2ab + b² = (a - b)²

Дело в том, что числа a– b и b – a являются противоположными. В предыдущем уроке «Разложение многочленов на множители» мы узнали, что

a - b = -(b - a)

Вторые же степени (как и вообще любые четные степени) противоположных чисел равны друг другу:

(-a)² = (-a)(-a) = (-1)*(-1)a² = a²

Можно заметить сходство между тождествами для вычисления квадрата разности и суммы. Действительно, они отличаются лишь одним знаком. Поэтому иногда эти два тождества записывают как единое целое:

Если в левой скобке стоит плюс, то и в правой должен быть именно он. Если в левой части тождества стоит минус, то справа также должен стоять минус.

Пример. Вычислите 999999².

Решение. Перемножать два шестизначных числа весьма сложно. Однако заметим, что число 999999 можно представить как разницу миллиона и единицы:

999999 = 1000000 - 1

Используем сокращенное умножение:

999999² = (1000000 - 1)² = 1000000² - 2*1*1000000 + 1 = 1000000000000 - 2000000 + 1

Несложно выполнить оставшиеся вычисления в столбик

1000000000000 - 2000000 + 1 = 999998000001

Ответ: 999998000001.

Пример. Раскройте скобки в выражении (4m– 3)²

Решение. Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

(4m– 3)² = (4m)² - 2*4m*3 + 3² = 16m² - 24m + 9

Важно понимать, что вместо букв a и b могут стоять не только одночлены, но и полиномы. Пусть нам надо возвести во вторую степень полином

u² - 6u + 5

Если просто выполнить умножение методом «фонтанчика», то после раскрытия скобок получим 3•3 = 9 одночленов (так как исходный многочлен состоит из 3 мономов). Для упрощения представим исходный трехчлен как разность:

u² - 6u + 5 = u² - (6u - 5)

Тогда вторую степень можно найти так:

(u² - 6u + 5)² = (u² - (6u - 5))² = (u²)² - 2*u²(6u - 5) + (6u - 5)² = u⁴ - 12u³ + 10u² + 36u² - 60u + 25 = u⁴ - 12u³ + 36u² - 60u + 25 = u⁴ - 12u³ + 46u² - 60u + 25

Пример. Докажите, что квадратный трехчлен m²– 16m + 66 ни при каких значениях переменной m не принимает отрицательные значения.

Решение.

Известно, что вторая степень любого числа неотрицательна. Выделим в исходном трехчлене квадрат, содержащий переменную m. Для этого разложим число 66 как сумму 2 + 64:

m² - 16m + 65 = m² - 16m + 64 + 2 = m² - 2 * 8 * m + 8² + 2 = (m - 8)² + 2

При любом значении m выражение (m – 8)² неотрицательно, а значит, неотрицательно и значение (m – 8)² + 2. Более того, можно указать, что минимальное значение, которое может принимать исходный трехчлен, равно 2.

Заметим, что использованный в данном методе прием позволяет представить, по сути, любой квадратный трехчлен как разницу или сумму полного квадрата какого-то полинома и числа, что в свою очередь помогает оценить его максимальное или минимальное значение. Например, дан трехчлен 4v² + 12v – 10.Первое его слагаемое можно представить как квадрат какого-то числа:

(4v²) = (2v)²

Подобное действие в отношении трехчлена можно предпринять всегда, правда, иногда придется использовать квадратные корни, которые мы ещё не изучали детально. Далее второе слагаемое можно разложить на три множителя, одним из которых будет двойка, а вторым – тот самый одночлен, дающий при возведении во вторую степень первое слагаемое. Третий же множитель окажется каким-то числом:

12v = 2*2v*3

Теперь чтобы воспользоваться формулой квадрата суммы или квадрата разности, добавим к многочлену квадрат этого третьего множителя, а чтобы значение полинома не изменилось, сразу же его и вычтем. В данном случае третьим множителем оказалась тройка, а потому надо добавить 3² и сразу же отнять 3². Один из этих квадратов войдет в формулу сокращенного умножения, а другой – нет:

4v² + 12v - 10 = (2v)² + 2*2v*3 - 10 + 3² - 3² = ((2v)² + 2*2v*3 + 3²) - 10 - 3² = (2v + 3)² - 19

Так как выражение (2v + 3)² не может быть меньше нуля, то и минимальное значение трехчлена 4v² + 12v– 10 равно(– 19)

Пример. Оцените возможные значения трехчлена – 9с² + 15с + 8

Решение.

Воспользуемся таким же методом, но сначала вынесем знак минус за скобки, чтобы можно слагаемое 9c² представить как квадрат какого-то монома:

-9c² + 15c + 8 = -(9c² - 15c - 8) = -((3c)² - 2 * 3c * 2.5 - 8 + 2.5² - 2.5²) = -((3c - 2.5)² - 8 - 6.25) = -(3c - 2.5)² + 14.25

Значение выражения – (3с – 2,5)² может быть только меньше или равным нулю. Значит, исходный трехчлен не может принимать значения, большие, чем 14,25.

Формулы для кубов

До этого мы познакомились с тождествами, в которых величины возводились во вторую степень. Их будет достаточно почти для всех школьных заданий, в том числе и на ЕГЭ, поэтому необходимо сосредоточиться именно на их изучении.Однако в алгебре есть и более сложные формулы сокращенного умножения, в которых переменные возводятся в куб.Их использование может пригодиться в задачах повышенной сложности. Выведем их.

Найдем значение куба суммы двух слагаемых. Для этого возведем в куб выражение a + b:

(a + b)³ = (a + b)²(a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b) = a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Получили тождество

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

которое называют формулой куба суммы.

Пример. Вычислите 101³

Решение.

101³ = (100 + 1)³ = 100³ + 3*100²*1 + 3*100*1² + 1 = 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301

Ответ: 1030301.

Пример. Представьте в виде многочлена выражение (4p + 3k)³.

Решение. Воспользуемся формулой куба суммы:

(4p + 3k)³ = (4p)³ + 3*(4p)²*3k + 3*4p*(3k)² + (3k)³ = 64p³ + 144p²k + 108pk² + 27k³

Выведем аналогичным образом и формулу куба разности чисел:

(a - b)³ = (a - b)²(a - b) = (a² - 2ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - 2a²b + 2ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Итак, мы получили ещё одно тождество

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Пример. Вычислите 498³.

Решение. Представим число 498 как разность 500 – 2. Тогда для вычисления можно воспользоваться выражением для вычисления куба разности:

498³ = (500 - 2)³ = 500³ - 3*500²*2 + 3 * 500 * 2² - 2³ = 125000000 - 1500000 + 6000 - 8 = 123505992

Ответ: 123505992.

Сложнее получить тождества для суммы и разности кубов, ведь напрямую найти разложить на множители выражение a³ + b³ довольно тяжело. К счастью, математикам удалось подобрать новые множители.

Сначала рассмотрим выражение

a² + ab + b²

Оно отличается от квадрата суммы только одним слагаемым. Вместо 2ab стоит ab. Из-за этой схожести его называют неполным квадратом суммы.

Аналогично определяют и такое понятие, как неполный квадрат разности.

Теперь попробуем перемножить неполный квадрат суммы чисел a и b и их разность:

(a - b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² - a²b - ab² - b³ = a³ - b³

В результате нам удалось получить формулу разности кубов:

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Теперь попробуем умножить сумму двух величин на неполный квадрат разности:

(a + b)(a² - ab + b²) = a³ - a²b + ab² + a²b - ab² + b³ = a³ + b³

Получили формулу суммы кубов:

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Понятно, что запомнить все эти тождества нелегко, однако их всегда можно посмотреть в любом математическом справочнике.

Пример. Разложите на множители полином 8p³ + 0,001q³.

Решение. Здесь можно воспользоваться тождеством для куба суммы:

8p³ + 0.001q³ = (2p)³ + (0.1q)³ = (2p + 0.1q)((2p)² - 2p*0.1q + (0.1q)²) = (2p + 0.1q)(4p² - 0.2pq +0.01q²)

Применять формулы с кубами для вычислений значительно сложнее, чем со вторыми степенями, однако всё же иногда они могут помочь. Пусть надо вычислить значение выражения 55³ + 45³, не используя калькулятор или компьютер. Разложим его на множители:

53³ + 45³ = (55 + 45)(55² - 55*45 + 45²) = 100(55² - 55*45 + 45²)

Далее для упрощения расчетов добавим к значению в скобке произведение 55•45 и тут же отнимем его. Это позволит сделать «дополнить» неполный квадрат разности и воспользоваться соответствующей формулой сокращенного умножения:

100(55² - 55*45 + 45²) = 100((55² - 55*45 - 55*45 + 45² + 55*45) = 100((55² - 2*55*45 + 45²) + 55*45) = 100((55 - 45)² 55*45) = 100((10)² + 55*45) = 100(100 + 55*45)

В свою очередь произведение 55•45 можно также упростить:

100(100 + 55*45) = 100(100 + (50 + 5)*(50 - 5)) = 100(100 + (50² - 5²)) = 100(100 + 2500 - 25) = 100*2575 = 257500

Полученный результат можно проверить с помощью калькулятора:

55³ + 45³ = 257500

Треугольник Паскаля

До этого мы нашли формулы сокращенного умножения, которые позволяют возводить бином (a + b) во вторую и третью степень. Интересно, что есть быстрый способ составить подобное тождество для возведения выражения (a + b) в любую натуральную степень. Для этого используется так называемый треугольник Паскаля. Справедливости ради сразу отметим, что Блез Паскаль описал его лишь в 1653 году, в то время как упоминание о таком треугольнике содержится в трудах китайца Чжу Шицзе (1303 г.), перса Омара Хайяма (1100 г.) и индийца Халаюдхи (Xвек).

Выглядит треугольник Паскаля так:

На вершине (его условно считают нулевым, а не первым уровнем) стоит число 1. На следующем (первом) уровне стоит уже две единицы. Изучим уровень ниже. Здесь уже три числа. По краям снова единицы, а в центре двойка. Обратите внимание, что двойка равна сумме тех 2 цифр, которые расположены над ней (1 и 1).

На следующем уровне уже 4 числа. Снова по краям единицы, а в других ячейках стоят такие числа, что они равны сумме двух чисел над собой (2 + 1 = 3).

По такому же принципу построен весь треугольник. Количество уровней в нем не ограничено, хотя на рисунке последним показан 10-ый уровень.

Итак, при построении треугольника Паскаля используются следующие правила:

• на вершине стоит одна единица
• на каждом следующем уровне находится на одно число больше, чем на предыдущем;
• по бокам на каждом уровне стоят единицы;
• на всех остальных позициях стоят числа, которые равны сумме двух расположенных над ними чисел.

Какое же отношение треугольник Паскаля имеет к формулам сокращенного умножения? Запишем тождества для возведения в различные степени бинома a + b, а рядом – числа из соответствующего уровня треугольника (их называют биноминальными коэффициентами):

• (a + b)¹ = 1a + 1b, биноминальные коэффициенты 1 и 1;
• (a + b)² = 1a²+ 2ab+ 1b², биноминальные коэффициенты 1, 2, 1;
• (a + b)³ = 1a³ + 3a²b +3ab² + 1b³, коэффициенты равны 1, 3, 3, 1;

Можно заметить, что числа в треугольнике совпадают с теми коэффициентами, которые есть в формуле сокращенного умножения:

И такое соответствие будет верно для любой формулы вида (a + b)ⁿ, где n– натуральное число, хотя доказательство этого факта выходит за рамки 7 класса. Так, формула для возведения в 6-ую степень будет выглядеть так:

(a + b)⁶ = a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + b⁶

Первым слагаемым идет a⁶, а далее слагаемое с буквенной частью a⁵b. У каждого следующего слагаемого числовой множитель берется из треугольника Паскаля, а в буквенной части у переменной a степень уменьшается, в то время как у b – увеличивается:

a⁶

6a⁵b

15a⁴b²

20a³b³

15a²b⁴

6ab⁵

b²

При этом степень каждого одночлена равна 6.

У треугольника Паскаля есть много других важных свойств, из-за которых он используется в иных разделах математики, в частности, в комбинаторике (она изучает количество способов, которыми можно расставить в определенном порядке предметы)и теории вероятностей. Например, можно заметить, что сумма всех чисел в строке n равна 2ⁿ:

1 + 2 + 1 = 4 = 2²

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2⁴

Более подробно использование треугольника Паскаля будет рассмотрено в старших классах.