План урока:

Геометрическая прогрессия

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия

Изучим послед-ть

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128...

Здесь каждый следующее число больше предыдущего в 2 раза:

Подобные послед-ти именуют геометрическими прогрессиями. Они постоянно встречаются в реальной жизни в банковской сфере (при начислении процентов на вклад), при изучении демографических процессов и в ряде других дисциплин.

Из этого определения следует рекуррентная формула, которая задает геом. прог-сию:

где q – это какое-то постоянное число, которое называют знаменателем геометрической прогрессии. Так, в прог-сии

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128...

знаменатель равен 2. Чтобы найти его, достаточно поделить какой-нибудь член геометрической прогрессии на предыдущий, например:

или

Если q= 0, то и все числа послед-ти, начиная со второго, получатся равными нулю:

Такая послед-ть не представляет интерес для математиков, поэтому считается, что знаменатель q не должен равняться нулю.

Пример. Первое число геом. прог-сии z₁ равно 10, а знаменатель q равен 3. Запишите первые пять чисел прог-сии.

Решение. Будем использовать рекуррентную формулу:

Итак, получаем послед-ть:

10, 30, 90, 270, 810...

Ответ: 10, 30, 90, 270, 810

Пример. Про геом. прог-сию известно, что v₁ = 16, q = 0,5. Определите семь первых чисел прог-сии.

Решение: Снова используем рекуррентную формулу:

Пример. Геом. прог-сия начинается с числа 27, а знаменатель q = – 1. Запишите 4 первых числа прог-сии.

Решение. Используя рекуррентную формулу, можно записать:

Получили послед-ть:

27, -27, 27, -27

Ответ: 27, -27, 27, -27

Попытаемся вывести формулу n-ого члена геом. прог-сии. Пусть нам известны z₁ и q. Тогда можно записать:

Легко заметить, что числа прог-сии вычисляются по формуле:

Докажем ее. Для этого необходимо использовать метод индукции. Очевидно, что формула справедлива для n = 1:

Здесь мы использовали тот факт, что любое число в нулевой степени равно единице, то есть q⁰ = 1.

Итак, мы доказали базис индукции. Теперь докажем ее шаг. Предположим, что формула работает для какого-то произвольного n = k:

Необходимо доказать, что (n + 1)-ый член вычисляется по формуле:

И действительно, используя рекуррентную формулу, можно получить:

Тем самым мы подтвердили справедливость формулы

Пример. Первое число послед-ти равно 5, а каждое следующее вдвое больше. Определите 15-тый член этой послед-ти.

Решение. Описанная послед-ть является геометрической, у которой z₁ = 5, q = 2. Найдем ее 15 член:

Ответ: 81920.

Пример. Известно, что геом. прогрессия начинается с числа 6, а третий член – это число 216. Каким может быть второй этой прог-сии?

Решение. Сначала попробуем найти знаменатель прог-сии. Мы знаем, что z₁ = 6, z₃ = 216. Запишем формулу 2-его члена прогр-сии:

Получили квадратное уравнение. Решая его можем найти возможные значений q:

Получили два возможных значения знаменателя. Для каждого случая определим второй член прогр-сии:

при q = – 6 получаем z₂ = z₁•q = 6•(– 6) = – 36;

 при q = 6 получаем z₂ = z₁•q = 6•6 = 36.

Ответ: – 6 или 6.

Пример. Вася решил положить 1 млн рублей на банковский вклад на 1 год. В банке «Золотой гном» ему предлагают доход в 25%, который выплатят в конце года. В банке «Слон» ему предлагают выплачивать каждый месяц по 2%. Какой из вариантов выгоднее для Васи?

Решение. Напомним, что получение дохода в 25% означает увеличение суммы вклада в 1 + 25/100 = 1,25 раза. Получение 2%-ого дохода означает увеличение суммы в 1 + 2/100 = 1,02 раза.

Посчитаем, сколько у Васи будет денег через год, если он выберет банк «Золотой гном»:

Во втором случае сумма будет увеличиваться в 1,02 раза каждый месяц. Если выписывать суммы, лежащие на вкладе в «Слоне», то получится геом. прог-сия, у которой знаменатель равен 1,02, а первый член – миллиону

Тогда сумма, лежащая на вкладе через 12 месяцев, составит

(Примечание.Величину 1,02¹² можно посчитать на калькуляторе или компьютере.)

Получается, что второй вариант выгоднее, ведь он принесет Васе большую сумму денег.

Ответ: Лучше выбрать банк «Слон».

Пример. Дана геом. прог-сия, у которой z₁ = 5, d = 3. Может ли в этой прог-сии находиться числа: 324; 405; 406?Также проверьте числа 123456789 и 5555555555.

Решение. Первый способ (простой, но требующий большого числа расчетов). Так как каждое следующее число в прог-сии больше предыдущего в 3 раза, то мы имеем дело с возрастающей последовательностью. Будем вычислять ее члены, пока не сможем получить число, большее 406:

Получили, что число 405 входит в прог-сию (z₅ = 405), а числа 324 и 406 не входят в число первых 6 членов прог-сии. Однако, так как z₆ = 1215 больше этих двух чисел, а каждый следующий член прог-сии ещё больше, то ясно, что 324 и 406 уже не встретятся в ней. Однако проверить таким способом длинные числа довольно тяжело.

Второй способ. Каждый член последовательности можно записать в виде

Напомним, что если один из множителей произведения делится нацело на какое-то число, то и всё произведение делится на это же число. Множитель 3^n–1 делится на 3 (при n ≥2):

Число 5 делится само на себя. Следовательно, числа, входящие в эту геом. послед-ть, должны делится и на 3, и на 5.

Теперь проанализируем числа 1234546789 и 5555555555, используя признаки делимости на 3 и 5. Первое из них НЕ делится нацело на 5, так как заканчивается на 9. Число 5555555555 НЕ делится на 3, так как сумма его цифр не делится нацело на 3:

Значит, они не могут входить в геом. прог-сию.

Ответ: число 405 входит в прог-сию, а остальные – нет.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Попытаемся вычислить сумму первых членов геом. прог-сии. Обозначим её как S_n:

Умножим обе части рав-ва на знаменатель прог-сии q:

Вспомним рекуррентную формулу:

Из нее следует, что

Тогда ур-ние (2) можно переписать так:

Теперь вычтем из (3) рав-во (1)

Обратите внимание – справа слагаемые z₂, z₃, z₄… z_n сначала идут со знаком «плюс», а потом – со знаком «минус». Это значит, что их можно сократить! Тогда справа останется разница z_n+1– z₁. Это связано с тем, что для слагаемых z_n+1 и z₁ не нашлось противоположного числа, чтобы сократиться. Можно записать:

Далее произведем замену z_n+1 = z₁•qⁿ:

Если q– 1 ≠ 0, то можно поделить обе части рав-ва и получить окончательную формулу:

Отдельно рассмотрим случай, когда q– 1 = 0. Тогда полученная формула будет некорректной (будет получаться деление на ноль). Если q– 1 = 0, то q = 1. Это значит, что все члены прог-сии равны друг другу:

Тогда сумма n первых членов будет равна z₁•n:

Пример. Найдите сумму первых шести членов геом. прог-сии, у которой z₁ = 3, q = 2.

Решение. Используем формулу:

Ответ: 189.

Пример. Определите сумму первых пяти членов геом. послед-ти, у которой z₁ =1 и q = 1/2.

Решение. Здесь в степень придется возводить дробь 1/2:

Ответ: 31/16

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Легко заметить, что если знаменателем геом. прог-сии – это положительное число, которое больше единицы, то прог-сия является убывающей послед-тью. Такие последовательности называют бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями.

В качестве примера приведем послед-ть, у которой z₁ = 1, q = 1/2:

Каждый ее член может быть рассчитан по формуле

Очевидно, что чем больше n, тем меньше z_n, причем значение z_n как бы стремится к нулю. Например, на компьютере можно посчитать, что

То, что величина (1/2)^n–1 при больших n стремится к нулю, в математике записывается так:

Запись «lim» означает «предел», а символ «∞» означает бесконечность. Выражение читается так: «предел (1/2)^n–1 при n, стремящемся к бесконечности, равен нулю». Мы не будем давать строгое определение понятия «предел», так как эта задача выходит за рамки элементарной математики и относится уже к математике высшей. Грубо говоря, предел – это то число, к которому выражение приближается как угодно близко, но не может его достигнуть. Так при – 1 <q< 1 выражение qⁿ стремится к нулю, если n стремится к бесконечности:

Отобразим сумму первых n членов послед-ти

с помощью координатной прямой. Пусть в точке с координатой 0 находится точка B. Отложим от нее вправо точку А₁ так, чтобы ВА₁ =z₁ = 1. Далее от точки А₁ также вправо будем откладывать точку А₂, но длина отрезка А₁А₂ будет уже вдвое меньше, то есть она составит 1/2. Будем и далее откладывать точки А₃, А₄… до какой то точки А_n:

С одной стороны, длина каждого следующего отрезка будет равна члену геом. прог-сии:

C другой стороны, длина отрезков BA₁, BA₂, BA₃… будет равна сумме нескольких первых членов геом. прог-сии:

Отметим, что при таком построении с увеличением n точка А_n всё ближе приближается к числу 2, однако так и не доходит до нее. Действительно, каждая следующая точка делит оставшееся расстояние надвое, поэтому она всегда остается левее точки 2, но приближается к ней. Получается, что сумма первых n членов прог-сии c ростом n приближается к двойке. В математике говорят, что число 2 является пределом послед-ти S_n. Запишем это:

На рисунке мы рассмотрели поведение послед-ти, у которой q = 1/2. Однако оказывается, что и любая другая бесконечная убывающая геометрическая прогрессия ведет себя похожим образом. Для каждой такой послед-ти существует предел суммы ее членов. Покажем, как его найти.

Запишем формулу суммы n членов геом. прог-сии в более удобном дробном виде:

Умножим и числитель, и знаменатель одновременно на (– 1), при этом можно будет поменять местами уменьшаемое и вычитаемое:

Далее выделим целую часть:

Проанализируем полученное выражение. Уменьшаемое z₁/(1 – q) не содержит переменной n, а потому не зависит от этой переменной. А вот вычитаемое содержит множитель qⁿ. Можно доказать, что если выполняется условие–1 <q< 1, то с ростом n этот множитель стремится к нулю:

Значит, и всё вычитаемое также стремится к нулю:

Получается, что при, бесконечно большом значении n сумма S_∞ может быть вычислена так:

Итак, удалось получить формулу S_∞ = z₁/(1 – q). Ещё раз отметим, что по-настоящему строгое доказательство требует использование понятие предела из высшей математики, а потому не рассматривается здесь.

Зачем вообще находить сумму бесконечной геометрической прогрессии? Оказывается, что такая задача встает при изучении ряда других разделов математики, а также при расчете вероятностей некоторых событий.

Пример. Найдите сумму S_∞ для прог-сии, у которой z₁ = 0,1, q = 0,1.

Решение. Запишем первые несколько членов прог-сии:

Теперь будем записывать суммы S_n этой прог-сии:

Очевидно, что при бесконечном n получается бесконечная периодическая дробь:

Подробнее о бесконечных периодических дробях можно узнать из этого урока.

Теперь найдем сумму S_∞, используя формулу S_∞ = z₁/(1 – q):

Получили дробь 1/9. Получается, что обыкновенная дробь 1/9 и бесконечная периодическая дробь 0,(1) – это одно и то же число! И действительно, если на калькуляторе поделить 1 на 9, то он покажет 0,111111111…:

Пример. Какая дробь при разложении ее в бесконечную десятичную дробь дает число 0,010101010101 = 0,(01)?

Решение: По аналогии с предыдущей задачей можно записать:

0,(01) = 0,01010101… = 0,01 + 0,0001 + 0,000001 + 0,00000001…

Получили слева сумму бесконечной прог-сии

в которой z₁ = 0,01, а знаменатель q = 0,01. Ее сумма может быть рассчитана по формуле:

Получили дробь 1/99. То есть

Проверим себя с помощью калькулятора:

Пример. В квадрат со стороной 1 вписали другой квадрат, причем его вершины располагаются на серединах описанного квадрата. По тому же принципу в полученный квадрат вписали следующий квадрат, в него ещё один и т. д. Чему равна общая площадь всех полученных квадратов и каков их общий периметр?

Решение. Сторона первого квадрата равна 1. Найдем сторону вписанного треугольника:

Изучим треугольник АВС. В нем АВ = ВС = 1/2 (ведь они составляют половину от сторон DB и BF, который по условию равны 1). Угол АВС – прямой, а потому можно воспользоваться теоремой Пифагора:

Получили, что сторона вписанного квадрата в √2 раз меньше, чем сторона исходного квадрата. Аналогично можно показать, что и у следующего квадрата сторона будет ещё в √2 раз меньше и т. д. Соответственно и периметры квадратов будут уменьшаться в √2 раз, при этом периметр первого квадрата равен 4•1 = 4.

Получаем, что периметры квадратов образуют убывающую геом. прог-сию, в которой

Найдем сумму S_∞ для этой прог-сии:

Итак, общий периметр найден. Теперь найдем сумму площадей. Площадь исходного квадрата равна 1•1 = 1. Площадь вписанного квадрата составляет:

Получили, что площадь вписанного квадрата вдвое меньше площади исходного. Тогда площади квадратов образуют геом. прог-сию, в которой

Найдем и для этой прог-сии сумму:

Итак, суммарная площадь всех квадратов равна двум.

Наконец, рассмотрим задачу, имеющую практическое содержание.

Пример. Два спортсмена, Вася и Петя, играют в настольный теннис. Счет в их партии равен 10:10, и поэтому у них действует правило «баланса». Согласно нему, игроки при равном счете должны разыграть два очка, причем в первом розыгрыше подавать будет Вася, а во втором – Петя. Если одному игроку удастся выиграть оба очка, то он выиграет всю партию. Если каждый из игроков выиграет по одному розыгрышу, то счет в их партии становится равным, и тогда им снова надо разыгрывать ещё два очка. Проще говоря, партия не закончится, пока разница в счете не составит два очка.

Известно, что при подаче Васи вероятность его победы в розыгрыше составляет 0,7. При подаче Пети шансы подающего на выигрыш очка равны 0,6. Каковы шансы Васи и Пети на победу в партии?

Решение. По условию начальный счет равен 10:10. Будем считать, что первое число в счете – это очки Васи,а второе – очки Пети. Игра закончится победой одного из игроков, когда его преимущество в счете достигнет 2 очков. Тогда возможные варианты развития событий можно изобразить с помощью схемы:

Обратим внимание, что в игре возможно бесконечное количество вариантов развития событий. Так, окончательный счет может быть равен даже 102:100 или 100002:100000 (хотя это и крайне маловероятно). Пусть вероятность, что игра закончится, например, со счетом 15:13, будет обозначаться как Р_15:13. Тогда, чтобы найти вероятность победы Васи, надо сложить бесконечное число вероятностей:

Первую подачу при счете «ровно» Вася выиграет с вероятностью 0,7, поэтому шансы Пети забрать 1-ое очко себе равны 1 – 0,7 = 0,3.

На второй подаче Петя выиграет с вероятностью 0,6, а шансы Васи составят 1 – 0,6 = 0,4.

Тогда вероятность, что Вася выиграет оба очка, составит

Для Пети вероятность забрать себе оба очка равна

Есть и третий вариант развития событий – после двух розыгрышей счет останется равным (каждый выиграет один мяч), и снова возникает «баланс». Вероятность такого исхода равна

Следовательно, можно записать:

Счета 13:11, 12:12 и 11:13 могут наступить только в том случае, если сначала был достигнут счет 11:11. «Переход» из счета 11:11 к счету 13:11 произойдет, если Вася выиграет два очка подряд, а вероятность такого исхода мы уже считали: Р_в = 0,7•0,4 = 0,28. Поэтому можно записать

Аналогично для счетов 12:12 и 11:13 запишем:

Следующие три счета, 14:12, 13:13 и 12:14, возможны только после счета 12:12. Их вероятности записываются так:

По аналогии для счетов 15:13, 14:14 и 13:15 можно записать:

Такие записи можно продолжать бесконечно. Однако легко увидеть, что вероятности счетов, победных для Васи, образуют геом. прог-сию:

Её первый член равен 0,28, а знаменатель составляет 0,54. Тогда сумма всех этих вероятностей, а значит и общая вероятность победы Васи, составит

Аналогично и счета, выигрышные для Пети, образуют геом. прог-сию:

Здесь z₁ = 0,18; q = 0,54. Найдем сумму геометрической прогрессии:

Проверим себя. Ясно, что партию выиграет либо Вася, либо Петя. То есть сумма вероятностей их побед должна равняться единице. И действительно:

Значит, наши расчеты верны.

Ответ: Вася выиграет с вероятностью 14/23, а шансы Пети равны 9/23.