План урока:

Средняя линия треугольника

Средняя линия трапеции

Теорема о точке пересечения медиан

Подобие в прямоугольном треугольнике

Практические задачи

Задачи на построение

Свойство биссектрисы

Средняя линия треугольника

Отметим в треугольнике середины двух сторон и соединим их. В итоге получится отрезок, который именуют средней линией треугольника.

Здесь точки N и M– это середины АС и ВС соответственно, поэтому NM – это средняя линия. Обратим внимание на ∆АBС и ∆СNM. По рисунку видно, что они подобны, и это действительно так. Ясно, что отношение отрезков АС и СN равно 2, ведь середина N разбивает АС на отрезки, которые вдвое меньше АС:

При этом ∠С является общим для обоих треуг-ков. Это значит, что ∆АBС и ∆NMC подобны (по второму признаку подобия треугольников), причем коэффициент их подобия равен 2. Отсюда сразу следует, что и NM вдвое короче, чем АB.

Из подобия треугольников также следует, что

Но эти два угла являются соответственными для отрезков АB и NM и их секущей AN. Из равенства соответственных углов вытекает, что отрезки АB и NM параллельны. В итоге можно сформулировать два основных свойства средней линии:

Задание. Найдите длину средней линии треугольника FDE, параллельной стороне DE:

Решение. Средняя линия будет вдвое короче DE. Видно, что DE имеет длину 10 клеточек, значит, средняя линия равна 10:2 = 5.

Ответ: 5.

Задание. Стороны треуг-ка имеют длину 8, 5 и 7 см. Середины всех сторон соединили отрезками и получили новый треуг-к. Каков его периметр?

Решение. В данном задаче в треуг-ке построили не одну, а сразу 3 средние линии:

Пусть стороны АB, АС и ВС соответственно составляют 8, 7 и 5 см. Тогда средние линии, параллельные им, будут вдвое меньше:

Задание. Докажите, что три средние линии треуг-ка разбивают его на 4 равные части.

Решение. Пусть стороны треуг-ка равны а, b и с.Отметим середины каждой стороны. Эти середины разобьют стороны на отрезки длиной а/2, b/2 и с/2. Средние же линии, построенные в треуг-ке, будут вдвое меньше сторон значит, их длина также будет составлять а/2, b/2 и c/2:

В итоге у каждого из получившегося треуг-ка стороны равны величинам а/2, b/2 и c/2. Значит, по 3-ему признаку равенства треуг-ков, они все равны друг другу, ч. т. д. 

Задание. В произвольном четырехугольнике отрезками соединили середины смежных сторон. Докажите, что эти отрезки образуют параллелограмм.

Решение. Отметим буквами M, E, Fи H середины сторон четырехуг-ка АBСD. Также построим диагонали АС и BD:

Легко заметить, что МН оказывается средней линией в ∆АBD, ведь она соединяет середины AD и AB. Значит, МН параллельна BD. Но и EF в свою очередь – это средняя линия в ∆BDC, и поэтому она также параллельна BD. Но два отрезка, параллельные третьему, должны быть параллельны и друг другу, то есть МН||EF.

Аналогично и отрезки МЕ и HF – это средние линии в ∆АСD и ∆АBС, поэтому они оба параллельны АС, а значит, и друг другу. В итоге в четырехуг-ке МНFE противоположные стороны оказываются параллельными. Это значит, что он по определению является параллелограммом.

Примечание. Геометрия – наука, развивавшаяся ещё во времена Античности, и большинство теорем и фактов из школьного курса было известно ещё древним грекам. Однако тот приведенный выше факт, что середины любого четырехуг-ка образуют параллелограмм, был доказан только в XVII в. французом Пьером Вариньоном. Соответственно, такой параллелограмм называют вариньоновским.

Вариньоновский параллелограмм обладает множеством свойств. В частности, его площадь вдвое меньше площади исходного четырехуг-ка, а периметр – это сумма длин его диагоналей. Попробуйте самостоятельно доказать это.

Средняя линия трапеции

Напомним, что ранее мы уже изучили другую среднюю линию, которую можно провести в трапеции. Мы доказали, что она параллельна основаниям трапеции. Попробуем найти способ для нахождения ее длины.

Пусть точки M и N – середины боковых сторон АB и CD трапеции АBСD. Построим отрезок BN, а далее продлим прямые BN и AD до их пересечения в некоторой точке K:

Посмотрим на ∆ВNC и ∆KND. У них есть два одинаковых угла:

Отсюда вытекает, что эти треуг-ки подобны (по первому признаку подобия), причем стороны ND и CN – сходственные. Однако эти же отрезки одинаковы, ведь N – середина СD. То есть коэффициент подобия треуг-ков – единица. Это означает, что ∆ВСN и ∆KND равны, и тогда ВС = DK, а. Следовательно, длина АК равна сумме длин оснований трапеции:

Из равенства треуг-ков также вытекает, что BN = NK, то есть N– это середина BK. Но тогда MN по определению – это средняя линия для ∆АBK. Значит, она составляет половину AK, которая в свою очередь является суммой оснований трапеции:

Задание. Найдите длину средней линии трапеции, показанной на рисунке:

Решение. По рисунку видно, что основания имеют длины 10 и 4. Надо лишь сложить эти числа и поделить их надвое:

(10 + a):2 = 14:2 = 7

Ответ: 7.

Задание. Длины боковых сторон трапеции имеют длину 13 и 15 см, ее периметр составляет 48 см. Вычислите длину ее средней линии.

Решение. Задачу можно решить и без рисунка. Обозначим основания трапеции буквами a и b. Периметр – это сумма всех сторон фигуры, поэтому, зная его и длины боковых сторон, можем составить уравнение, из которого найдем величину a + b:

Задание. Докажите, что средняя линия трапеции делит ее диагонали пополам.

Решение. Обозначим середину диагонали BD трапеции АBСD как точку К. Нам надо доказать, эта точка лежит на средней линии MN. Будем доказывать способом «от противного». Пусть точка K не лежит на MN:

Тогда МК будет средней линией в ∆АBD, ведь она соединяет середины АB и BD. Значит, отрезок МК параллелен AD. Аналогично и МN как средняя линия в АBСD также параллельна AD. Однако тогда получается, что через точку М проходят сразу две прямые, параллельные AD, что противоречит аксиоме параллельности. Значит, K не может НЕ лежать на MN, то есть эта точка лежит на средней линии.

Очевидна схожесть формул для вычисления средней линии как в трапеции, так и в треуг-ке. Эта схожесть подсказывает нам, что треуг-к можно рассматривать как особый частный случай трапеции, у которой одно из оснований как бы «стянулось» в точку и стало иметь нулевую длину. Такие частные случаи в математике называются вырожденными.

Теорема о точке пересечения медиан

Подобие позволяет найти отношение, в котором медианы треуг-ка делят друг друга. Построим произвольный ∆АBС и отметим середины сторон АC и ВС точками N и M. По определению NM – это средняя линия, а AМ и BN– медианы. Пусть эти медианы пересекаются в точке O:

Отрезки NM и AB параллельны друг другу, ведь NM – средняя линия. Тогда

ведь они накрест лежащие. Тогда в ∆ОАB и ∆ONM есть два одинаковых угла, следовательно, они подобны. АB и NM –сходственные стороны, поэтому их отношение равно коэффициенту подобия. Но MN как средняя линия вдвое короче, чем АB, то есть

k = AB/MN = 2

Тогда и отношение других сходственных сторон треугольников должно быть таким же:

Таким образом, точка пересечения двух медиан делит их в отношении 2:1, причем больший отрезок начинается от вершины, а меньший – от середины противоположной стороны.

Естественно, что аналогичное утверждение можно доказать и для любой другой пары медиан. Но только одна точка на отрезке может делить ее в каком-нибудь конкретном отношении, в частности, 2:1, поэтому все медианы должны пересечься в одной точке.

Задание. Медианы АМ и BN в ∆АBС пересекаются в точке О. Известны их длины: АМ = 15 и BN = 12. Каковы длины отрезков АО, ОВ, ОN и OM?

Решение:

Медиана АМ делится точкой О в отношении 2:1. Это значит, что АО вдвое длиннее М. Обозначим длину ОМ буквой х, тогда длина АО будут записываться как 2х, в сумме же эти величины дают АМ, то есть 15. Отсюда находим х:

Итак, ОМ = 5, а АО вдвое длиннее, то есть АО = 10. Аналогично, обозначив ОN как у, а ОВ как 2у, найдем и эти отрезки:

Задание. Докажите, что медианы треуг-ка разбивают его на 6 равновеликих треуг-ков.

Решение. Сначала напомним уже известный нам факт, что всякая медиана делит треуг-к на две равновеликие части. Действительно, проведем в произвольном треуг-ке из одной вершины и медиану, и высоту:

Площадь ∆АМС можно по формуле

Теперь рассмотрим случай с тремя медианами, которые мы обозначим как AM, BN и СК. Они разбивают ∆АBС на 6 треуг-ков, площади которых обозначим буквами S₁, S₂, S₃, S₄, S₅ и S₆:

СК делит весь ∆АBС на равновеликие ∆АСК (показан желтым цветом) и ∆СКВ (показан красным цветом), поэтому можно записать равенство:

Но заметим, что отрезки ON, OM и ОК являются также медианами для ∆АОС, ∆ВОС и ∆АОВ, то есть они тоже разделены на равновеликие части:

Мы уже доказали, что есть 4 равновеликих фигуры. Чтобы включить сюда оставшиеся 2 фигуры, нужно записать ещё какое-нибудь равенство. Например, медиана BN делит ∆АBС на две равновеликих части, то есть

Подобие в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треуг-к отличается тем, что его легко можно разбить на два подобных ему треуг-ка. Для этого надо всего лишь опустить высоту на его гипотенузу:

Действительно, пусть на гипотенузу АB опущена высота СН. Пусть в ∆АBС ∠А = α. Вспомним, что сумма острых углов в прямоугольном треугольнике составляет 90°. Тогда, рассматривая ∆АBС, мы можем записать, что

Получается, что в ∆АBС, ∆АСН и ∆ВСН есть по два (и даже по три) одинаковых угла, а потому они подобны друг другу.

Этот факт можно использовать в том числе и для того, чтобы доказать теорему Пифагора. Действительно, из подобия ∆АСН и ∆АBС можно записать, что отношение их гипотенуз равно отношению их катетов, лежащих против угла 90° – α:

Перемножая члены пропорции крест накрест, получаем, что

Аналогично из подобия ∆ВСН и ∆АBС получаем, что отношение их гипотенуз равно отношению тех катетов, что лежат против угла α:

Преимущество этого доказательства заключается в том, что оно никак не опирается на понятие площади фигур.

Всего, если опустить на гипотенузу высоту, получается 6 разных отрезков (на рисунке это АB, АС, ВС, СН, АН, ВН). Зная длину лишь любых двух их них, можно найти и все остальные.

Задание. В прямоугольном ∆АBС опустили высоту АН на гипотенузу ВС. Известно, что СН = 90, НВ = 160. Вычислите все остальные неизвестные отрезки на рисунке.

Решение. Проще всего найти ВС, ведь это просто сумма СН и НВ:

Отрезки же АB и АС найдем, применяя теорему Пифагора. Сначала запишем ее для ∆АBН:

Практические задачи

Подобие треуг-ков может быть использовано и на практике, для измерения некоторых размеров. Например, пусть надо измерить высоту одиноко стоящего дерева. Для этого можно просто поставить рядом, например, человека, чей рост известен. Далее надо измерить длину тени этого человека и самого дерева:

Так как тень должна падать под одним и тем же углом, то в итоге можно получить два подобных треугольника:

Например, пусть высота человека составляет 1,8 м, а тени человека и дерева имеют протяженность 1,2 и 4,8 м. На рисунке ∆АBD и ∆АСЕ подобны, причем стороны AD и АЕ – сходственные. Поделим их чтобы найти коэффициент подобия треугольников:

Также подобие помогает находить расстояние до недоступных точек, например, до горных вершин. Пусть точка В недоступна нам. Выберем две доступные нам точки А и С и измерим расстояние между ними. Также измерим∠А и ∠С в ∆АBС (для этого используется какой-нибудь прибор, например, астролябия). Далее построим на бумаге треуг-к А₁В₁С₁ с такими же углами, но меньшей длиной А₁С₁:

При построении можно выбрать определенный масштаб, например, 1:1000. Так, если реальная длина АB оказалась равной 57 метрам, то на чертеже отрезок А₁В₁ должен быть в тысячу раз короче, то есть равен 57 мм (в 1 метр как раз составляет 1000 мм). Далее на чертеже измеряют длину А₁С₁. Пусть она оказалась равной 519 мм. Тогда длина реального размера АС будет составлять уже 519 метров.

Задачи на построение

Подобие помогает решать некоторые задачи, связанные с построением фигур. Пусть требуется построить треуг-к, если известны только два его угла, а также длина биссектрисы, выходящей из третьего угла. Решение состоит из 5 шагов:

На первом шаге строится произвольный треуг-к, в котором два угла равны заданным в условии. На втором шаге третий угол получившегося треуг-ка разбивается пополам, то есть строится его биссектриса, причем она строится в виде луча, а не конечного отрезка. На третьем шаге на этом луче откладывается отрезок, длина которого совпадает с заданной длиной биссектрисы. В результате на луче можно отметить точку, которая соответствует концу этого отрезка. На шаге 4 через эту точку проводится прямая, параллельная основанию уже построенного треуг-ка. Наконец, на последнем шаге стороны треуг-ка продлеваются до пересечения с новой прямой. В итоге получается новый треуг-к, который будет соответствовать условиям задачи.

Свойство биссектрисы

В заключение рассмотрим одно важное свойство биссектрисы, которое напрямую не связано с подобием, однако использует понятие пропорциональных отрезков. Пусть в ∆АBС, в котором известны стороны АС и ВС, проведена биссектриса СМ. Она разбивает АB на два отрезка, АМ и МВ. Можно ли что-то сказать о длине АМ и МВ?

Оказывается, биссектриса будет делить АB на отрезки, которые окажутся пропорциональными сторонам АС и ВС. Докажем это.

Опустим из точки М высоты на МD и MF на стороны АС и ВС:

Исследуем ∆СМD и ∆СМF. Они прямоугольные, причем у них общая гипотенуза СМ и одинаковые острые углы (∠МСD = ∠МСF, ведь МС – биссектриса). Следовательно, они равны, и тогда высоты МD и МF оказываются одинаковыми:

Теперь запишем эти же площади, проведя другую высоту, СН, которая будет общей для ∆АСМ и ∆СМВ:

В итоге получили вывод:

Задание. AD – биссектриса в ∆АBС. Известно, что

Решение.Отношение отрезка BD к DC равно отношению АB к АС:

Сегодня мы увидели, что пропорциональные отрезки в треугольнике возникают и при выполнении множества построений, а подобие фигур позволяет на практике находить размеры, которые сложно измерить непосредственно. Это подчеркивает практическую значимость изучения геометрии.