План урока:

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник с углом в 30°

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Понятие расстояния между точкой и прямой

Расстояние между параллельными прямыми

Построение треугольника по трем элементам

Прямоугольный треугольник

Напомним, что прямоугольным треугольником называют треуг-к, один из углов которого равен 90°.

Покажем несколько рисунков, на которых изображены прямоугольные треуг-ки:

Тот угол, который равен 90° (его ещё называют прямым), отмечается квадратиком.

Может ли у треуг-ка быть два или три прямых угла? Конечно же нет, ведь сумма углов треугольника должна равняться 180°. Отсюда следует очевидный факт – те 2 угла прямоугольного треуг-ка, которые не равны 90°, должны быть острыми. Более того, можно утверждать, что их сумма в точности равна 90°.

Задание. В прямоугольном треуг-ке один из углов равен 40°. Чему равен второй острый угол?

Решение.

Обозначим неизвестный нам угол как ∠1. Сумма острых углов должна равняться 90°, поэтому можно записать уравнение:

Этот ответ можно получить и немного иначе. Сумма всех углов треуг-ка равна 180°. Один из них равен 40°, а другой – 90°. То есть можно составить такое равенство:

Первый способ отличается лишь тем, что он требует более простых вычислений.

Ответ: 50°

Задание. Найдите все углы треугольника, который одновременно является и прямоугольным, и равнобедренным.

Решение. У любого равнобедренного треуг-ка есть два одинаковых угла при основании. Ясно, что в прямоугольном треуг-ке не может быть двух прямых углов, а потому равны друг другу острые углы. Обозначим величину одного из них как х. Оба угла равны х, поэтому можно записать уравнение:

Получается, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике два угла равны 45°, а один – 90°.

У сторон прямоугольного треугольника есть особые названия. Та сторона, которая лежит против прямого угла, называется гипотенузой прямоугольного треугольника, а две остальные стороны называют катетами.

По рисунку видно, что гипотенуза длиннее катетов. И это правило выполняется для всех прямоугольных треуг-ков. В самом деле, в любом треуг-ке против наибольшего угла лежит наибольшая сторона. Катеты лежат против острых углов, а гипотенуза – против прямого угла, и поэтому она длиннее.

Задание. Докажите, что если в треуг-ке из одной вершины провести и медиану, и высоту, то медиана будет не меньше высоты.

Решение. Напомним, что высота – это отрезок, опущенный на сторону под прямым углом, а медиана – отрезок, проведенный к середине противоположной стороны. В принципе, эти два отрезка могут совпасть друг с другом, и тогда их длины равны. Рассмотрим случай, когда медиана и высота не совпадают:

Обозначим буквой М середину АС, тогда ВМ – медиана. Высоту обозначим как ВН. В результате у нас образуется ∆МВН, причем угол на пересечении ВН и АC(∠BHM) равен 90°. В этом треуг-ке медиана оказывается гипотенузой, а высота – катетом прямоугольного треугольника. Так как гипотенуза всегда длиннее катета, то и МВ длиннее ВН.

Прямоугольный треугольник с углом в 30°

Особый интерес представляет прямоугольный треуг-к, у которого один из углов равен 30°:

Несложно вычислить его второй угол. Он будет равен 60°:

Оказывается, у данного треуг-ка катет, лежащий против угла в 30° (ВС), вдвое меньше гипотенузы. Докажем это утверждение. Для это приложим к ∆АВС другой, равный ему ∆АСD, получив, по сути, его зеркальное отображение:

Так как ∠В = 60°, то и ∠D = 60°. Величина угла ∠ВАD равна сумме углов ∠ВАС и ∠САD:

В итоге получается, что в ∆АВD каждый из углов 60°. Это означает, что он является равносторонним, то есть его стороны равны. В частности

Именно это и необходимо было доказать. Аналогично с помощью такого же построения можно доказать обратное утверждение – у прямоугольного треуг-ка, в котором гипотенуза вдвое длиннее одного из катетов, острый угол (тот самый, который лежит против этого катета) равен 30°.

Задание. В треуг-ке СMH угол С – прямой. Внешний угол при вершине M составляет 120°. Известно, что сумма МН и МС составляет 18 см. Чему равны МН и МC?

Решение. Выполним построение треугольника согласно указанным условиям:

Внешний угол треугольника равен сумме тех 2 углов, которые не смежны с ним. То есть

Итак, рассматриваемый нами треуг-к имеет острый угол, равный 30°. Из этого следует, что катет МС вдвое короче гипотенузы МН:

Задание: У равнобедренного треуг-ка ECB основанием является EC. Известно, что ∠В = 120°. Высота, опущенная из точки Сна боковую сторону ЕВ, равна 9 см. Чему равна длина основания?

Решение.

Обозначим высоту как СН. Обратите внимание, что в данном случае высота падает не на сам отрезок ЕВ, а на его продолжение. Эта особенность характерна для всех тупоугольных треуг-ков.

Изучим ∆ЕВС. С одной стороны, он равнобедренный. Значит, углы при его основании равны:

Но в сумме все углы треугольника дают 180°. Это позволяет найти углы при его основании:

Итак, углы при основании треуг-ка равны 30°. Теперь внимательно посмотрим на другой треуг-к – ЕНС. С одной стороны, он является прямоугольным, ведь ∠ЕНС = 90°. С другой стороны, мы только что вычислили, что один из его острых углов, ∠НЕС, равен 30°. Это значит, что катет НС вдвое должен быть вдвое короче гипотенузы ЕС:

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Ранее мы доказали три признака равенства треуг-ков. Зная их, можно составить особые признаки равенства прямоугольных треугольников.

Пусть у двух треуг-ков равны катеты. Но угол между катетами всегда равен 90°. Но если у треуг-ков совпадают две стороны и угол между ними, то они равны друг другу (по первому признаку). Поэтому можно сформулировать такую теорему:

Треуг-ки окажутся равными и в том случае, если у них одинаковы гипотенуза и один из острых углов. Ведь тогда у них будут одинаковы сторона (гипотенуза) и прилегающие к ней углы (прямой и острый угол).

Наконец, есть ещё один признак – по одинаковым катету и гипотенузе.

Последняя теорема нуждается в доказательстве. Пусть есть ∆АВС и ∆А₁В₁С₁, у которых прямыми являются∠С и ∠С₁, при этом равны гипотенузы (АВ = А₁В₁) и одни из катетов, например, ВС = В₁С₁. Наложим ∆А₁В₁С₁ на ∆АBС так, чтобы совпали вершины С, а также стороны СВ и СА наложились на лучи С₁В₁ и С₁А₁. Это можно сделать, так как углы С и С₁ равны друг другу.

Очевидно, что при этом также совпадут и точки В и В₁, ведь ВС = В₁С₁. А что будет с точками А и А₁, могут ли они не совпасть? Предположим, что это так, тогда картинка будет выглядеть так:

Рассмотрим получившийся треуг-к АА₁В. Он является равнобедренным, так как гипотенузы АВ и А₁В₁ равны. Однако угол ∠ВАА₁ – тупой, ведь он является смежным с острым углом ∠САВ. Может ли существовать равнобедренный треуг-к, у которого угол при основании тупой? Не может, ведь тогда и второй его угол при основании был бы тупым, и их сумма оказалась бы больше 180°. Получившееся противоречие означает, что исходная предпосылка суждения, согласно которой точки А и А₁ могут не совпасть, ошибочна. Следовательно, они совпадают. Получается, что можно так наложить треуг-ки АВС и А₁В₁С₁ друг на друга, что все их вершины совпадают. Но это и означает, что треуг-ки равны.

Задание. В равнобедренном треуг-ке из вершин, лежащих в основании, опущены высоты на противоположные стороны. Докажите, что они равны друг другу.

Решение. Сначала построим рисунок. Традиционно обозначим треуг-к как АВС, причем АС будет его основанием. Высоты обозначим как CD и АЕ:

Нам требуется показать, что СD = AE. Видно, что у нас есть два треуг-ка, ∆АСE и ∆АСD, которые кажутся равными. Докажем, что они действительно равны. С одной стороны, оба треуг-ка являются прямоугольными, ведь АЕ и СD – это высоты:

ведь это углы при основании равнобедренного треуг-ка. В итоге получаем, что у двух треуг-ков равны как гипотенузы, так и один из острых углов. Следовательно, ∆АDCи ∆АЕС равны. Но из этого следует, что у них одинаковы катеты DCи АЕ, чье равенство как раз необходимо доказать.

Задание. Треуг-к АВС – равнобедренный, с основанием АС. Высоты СDи АЕ пересекаются в точке М. Известно, что ∠АМС = 140°. Вычислите углы треуг-ка АВС.

Решение. Данная задача во многом повторяет предыдущую, поэтому мы используем картинку из неё:

В предыдущей задаче мы уже доказали, что ∆ADC = ∆AEC. Из этого равенства следует, что АD = ЕС. Теперь рассмотрим ∆АDM и ∆СЕМ. Они оба являются прямоугольными, ведь

У них есть одинаковые катеты: АD = ЕС. Также у треуг-ков есть одинаковые острые углы, это ∠DMAи ∠ЕМС (они равны, так как являются вертикальными). Если у двух прямоугольных треуг-ков совпадает один острый угол, то должен совпадать и второй, ведь их сумма постоянна и составляет 90°. Получается, что ∠DAM = ∠ECM.

В итоге у двух прямоугольных треуг-ков, ∆DMA и ∆ЕМС, равны катеты и прилегающий к ним острый угол. Значит, ∆DMA = ∆EMC. Но тогда АМ = МС. Получается, что ∆МАС является равнобедренным, и углы при его основании равны:

∠MAC = ∠MCA

Найдем эти углы равнобедренного треугольника, записав сумму углов ∆МАС:

Следующий шаг – находим угол ∠DAM. Сумма острых углов прямоугольного треуг-ка равна 90°, поэтому запишем равенство:

Для наглядности отметим все найденные нами углы на рисунке:

Задание. В ∆КЕН известны два угла: ∠К = 55° и ∠Е = 67°. В ∆КЕН проведены высоты ЕР и КТ. Чему равен угол ∠КМЕ?

Решение: Как всегда, начинаем с построения:

У нас есть два прямоугольных треуг-ка, у которых известен один из острых углов. Это ∆КРЕ и ∆КТЕ. Но если известен один из острых углов, то можно найти и второй, ведь их сумма составляет 90°. Для ∆РКЕ можно записать равенство:

Теперь в ∆КМЕ нам известны сразу два угла, ∠ТКЕ и ∠КЕР. Значит, можно найти и третий угол, ведь их сумма известна (она составляет 180°):

Ответ: 122°.

Задание. На сторонах луча О отмечены точки А и В, причем эти точки равноудалены от О. Через А и В проведены прямые, перпендикулярные сторонам угла. Эти прямые пересекаются в точке С. Докажите, что ОС – это биссектриса угла О.

Решение. Построим картинку по условию задачи:

Попробуем показать, что ∆ОАС = ∆ОСВ. Оба эти треуг-ка являются прямоугольными. Гипотенуза у них общая – это ОС. Также у них есть одинаковые катеты, ведь ОА = ОВ (так как А и В равноудалены от О). Получаем, что у треуг-ков ОАС и ОСВ совпадают гипотенуза и один из катетов. Этого достаточно для того, чтобы считать треуг-ки равными.

Но если ∆ОАС = ∆ОСВ, то ∠АОС = ∠СОВ. Получается, что ОС разбивает луч АОВ на два равных угла. А это как раз и значит, что ОС является биссектрисой.

Однако полностью задачу мы ещё не решили. Обратите внимание, что в условии сказано, что через А и В проходят прямые, перпендикулярные сторонам угла. На нашем рисунке АС⊥ОА и ВС⊥ОВ. Но ведь можно выполнить построение и иначе, когда АС⊥ОВ, а ВС⊥ОА. Тогда рисунок будет выглядеть значительно сложнее:

Здесь буквами D и E обозначены точки пересечения перпендикулярных прямых и сторон угла. Нам снова надо доказать, что ∠АОС = ∠СОВ. Заметим, что АВ – это основание равнобедренного треуг-ка ОАВ (ведь ОА = ОВ). Значит, ∠ОАВ = ∠ОВА (углы при основании). На следующем шаге сравним ∆ADB и ∆АЕВ. Они прямоугольные, а гипотенуза АВ у них общая. Только что мы выяснили, что у них совпадает и один из острых углов (∠ОАВ = ∠ОВА). На основании этого можно утверждать, что ∆АЕВ = ∆АDВ.

Из этого равенства следует, что AD = EB. Далее сравним отрезки ОD и ОЕ. Для них можно записать соотношения:

Но АО = ОВ (по условию), а AD = EB. Отсюда следует, что и ОD = ОЕ.

Теперь мы можем рассмотреть ∆DOCи ∆СОВ. У них равны катеты OD и ОЕ, а гипотенуза ОС является общей. Значит, треуг-ки равны. Но тогда ∠АОС = ∠СОВ, а именно этот факт нам и надо доказать.

Понятие расстояния между точкой и прямой

Ранее мы принимали за расстояние между двумя точками длину отрезка, соединяющего их. То есть утверждения «отрезок НВ равен 5 см» и «расстояние между точками Н и В равно 5 см» эквиваленты друг другу. Однако в геометрии расстояние можно определить и между точкой и прямой.

Рассмотрим некоторую прямую b и произвольную точку А, не лежащую на ней. Опустим из точки перпендикуляр на прямую, и точку их пересечения обозначим как Н. Также отметим на прямой точку М, не совпадающую с Н, и соединим ее с А:

В результате мы получаем прямоугольный треуг-к АНМ. Так как АМ – гипотенуза, то она длиннее катета АН:

AM > AH

Прямую АМ называют наклонной к прямой, а АН – это перпендикуляр. Получаем, что перпендикуляр из точки всегда короче, чем наклонная. Именно длину перпендикуляра называют расстоянием между точкой и прямой. Другими словами, расстояние между прямой и точкой – это наименьшая возможная длина отрезка, соединяющего эту точку с прямой.

Задание. Докажите, что середина основания р-бедр. треуг-ка равноудалена от боковых сторон треугольника.

Решение. Обозначим вершины треуг-ка буквами А, В и С, причем АС – основание. Буквой Н обозначим середину АС. Естественно, что АН = НС. Теперь опустим из Н перпендикуляры на стороны АВ и ВС, которые обозначим как НМ и НЕ:

Нам необходимо доказать, что НМ = НЕ. Для этого сравним ∆АМН и ∆НЕС. Они прямоугольные. Их гипотенузы равны, ведь АН = НС. Также ∠А = ∠С, ведь это углы при основании равнобедренного треуг-ка. Значит, ∆АМН и ∆НЕС равны по равны по равному острому углу и гипотенузе. А из равенства треуг-ков следует, что МН = НЕ.

Задание. Докажите, что концы отрезка равноудалены от прямой, проходящей через середину этого отрезка.

Решение. Обозначим отрезок как АС, а его середину буквой Н. Опустим из А и С перпендикуляры АР и СМ на прямую, проходящую через Н:

Требуется доказать, что АР = СМ. Рассмотрим ∆АНР и ∆МНС. Они прямоугольные, при этом АН = НС (по условию). Ясно, что ∠АНР = ∠МНС, ведь они являются вертикальными. Если у прямоугольных треуг-ков равны гипотенуза и один из острых углов, то такие треуг-ки равны, то есть ∆АНР = ∆МНС. Из этого следует, что АР = СМ.

Расстояние между параллельными прямыми

Построим пару параллельных прямых. Далее из одной точки, лежащей на первой прямой, опустим перпендикуляр на вторую прямую. Длина этого перпендикуляра будет считаться расстоянием между параллельными прямыми:

Возникает логичный вопрос – а зависит ли расстояние между параллельными прямыми от выбора точки, из которой опускается перпендикуляр? Естественно, не зависит, но это надо доказать. Пусть есть прямые а и b, причем а||b. Выберем на а произвольные точки Р и К и опустим из них перпендикуляры РМ и КС на b. Докажем, что РМ = КС.

Сначала заметим, КС перпендикулярно не только b, но и а, ведь прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой параллельной прямой. Теперь рассмотрим ∆РМС и ∆РКС. Они прямоугольные, у них есть общая гипотенуза РС. Заметим, что ∠РКС = ∠РСМ, ведь это накрест лежащие углы. Получается, что ∆РКС = ∆РМС. Значит, РМ = КС, что и необходимо доказать.

Задание. Прямая АВ параллельна прямой СD. Известно, что AD = 6 см, ∠ADC = 30°. Чему равна расстояние между АВ и СD?

Решение. Выполним построение:

Опустим из А перпендикуляр на СD, который пересечет прямую в точке Н. Расстояние между прямыми будет равно длине АН, а ее можно найти из ∆АНD. Он является прямоугольным, а один из его острых углов (∠АDH) равен 30°. Это значит, что катет АН вдвое короче, чем гипотенуза АD:

AH = AD:2 = 6:2 = 3 см

Ответ: 3 см.

Построение треугольника по трем элементам

Рассмотрим важную практическую задачу. Нам известны три признака равенства треуг-ка, каждый из которых требует, чтобы у треуг-ков совпадали три элемента. Другими словами, часто по трем элементами можно однозначно построить треуг-к. Рассмотрим, как это делается.

Пусть известны две стороны треугольника и угол между ними. Например, надо построить треуг-к со сторонами 6 и 4 см, а угол между ними равен 45°. В этом случае сначала надо построить угол, а потом отложить на его лучах отрезки длиной 4 и 6 см. Далее концы этих отрезков необходимо соединить:

Очень легко построение треугольника по стороне и прилегающей к ней углам. Пусть сторона треугольника равна 10 см, а прилегающие к ней углы должны равняться 20° и 50°. В этом случае на первом шаге следует построить отрезок длиной 10 см. Далее от одной из его вершин надо отложить луч, образующий угол в 50° с отрезком(естественно, можно начать и с угла 20°). На последнем шаге из второй вершины откладывается луч, образующий угол 20°. Точка пересечения этих двух лучей и будет третьей вершиной треуг-ка:

Построение треугольника по трем сторонам вызывает у школьников куда большие затруднения. Пусть нужно построить треуг-к со сторонами 10, 8 и 5 см. Сначала откладывается отрезок, равный одной из сторон, например, 10 см. Далее. Из концов этого отрезка проводятся окружности, чьи радиусы равны 2 оставшимся сторонам. Если длины сторон удовлетворяют неравенству треуг-ка, то окружности пересекутся в двух точках. Осталось соединить концы первого отрезка с любой из этих точек, и получится требуемый треуг-к:

Попробуйте самостоятельно использовать этот метод для сторон, которые не удовлетворяют неравенству треуг-ка, например, для 3, 4 и 8 см. Если вы всё сделаете правильно, то окружности просто не пересекутся, и построить треуг-к не удастся.

В трех рассмотренных примерах ответ задачи был единственным. Однако иногда существует несколько неравных друг другу треуг-ка, у которых равны 3 элемента. Для примера попытаемся построить треуг-к РЕН, у которого РЕ = 10 см, РН = 7 см, ∠Е = 30°. Сначала построим отрезок РЕ. Далее от одной из его вершин, например от Е, отложим угол 30°. На следующем шаге строим окружность радиусом 7 см, центр которой располагается в точке Р. Она пересечет угол в двух точках, Н₁ и Н₂. В итоге получается, что есть сразу два треуг-ка, удовлетворяющие условию задачи – РЕН₁ и РЕН₂. Они явно не равны друг другу, так как РЕН₂ является тупоугольным, а РЕН₁ – остроугольным треуг-ком:

Итак, мы узнали много нового о прямоугольных треуг-ках, научились определять расстояние между прямой и точкой и между двумя параллельными прямыми, а также узнали, как строить треуг-ки по 3 элементам. Эти знания помогут в дальнейшем освоении геометрии.