План урока:

Производные некоторых элементарных функций

Основные правила дифференцирования

Производная сложной функции

Производные некоторых элементарных функций

Ранее мы для вычисления производных использовали ее определение. То есть каждый раз мы давали функции некоторое приращение ∆х, потом находили соответствующую ему величину ∆у, далее составляли отношение ∆у/∆х, после чего находили предел этого отношения при ∆х →0. Выполнение такого алгоритма довольно трудоемко. Поэтому на практике используются специальные формулы для вычисления производных.

Нам известно несколько основных функций, которые в математике чаще называют элементарными. Например, элементарными являются линейная функция, степенная, показательная, логарифмическая. Также существует несколько различных тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс), которые тоже считаются элементарными. Попытаемся вычислить для них производные.

Начнем с линейной функции. В общем случае она выглядит так:

где k и b – некоторые постоянные числа.

Выберем произвольную точку х₀ и дадим ей приращение ∆х, в результате чего мы придем в новую точку (х₀ + ∆х). Вычислим значения линейной функции в этих двух точках:

Теперь мы можем найти приращение функции ∆у:

Находим отношение ∆у/∆х:

Получилось, что это отношение не зависит ни от приращения ∆х, ни от выбора исходной точки х₀. Естественно, что предел этого отношения при ∆х→0 (то есть производная) также будет равен k:

Задание. Вычислите производную функции у = 4х + 9.

Обратите внимание, что в рассмотренном примере запись у′ = 4 означает функцию. Просто при любом значении х она принимает одно и то же значение, равное 4. График производной функции будет выглядеть так:

Рассмотрим два особых частных случая линейной функции. Пусть k = 1 и b = 0, тогда она примет вид у = х. Её производная тогда будет равна 1:

Теперь предположим, что коэффициент k = 0. Тогда функция примет вид

где С – некоторое постоянное число, то есть константа (большая буква Св таких случаях используется из-за латинского термина constanta). Производная такой функции будет равна нулю:

Задание. Найдите вторую производную функции у = 9х + 2.

Решение. Сначала вычислим первую производную:

Очень легко объяснить, почему производная константы равна нулю. Представим себе, что закон движения некоторого тела выглядит как s(t) = C, например, s(t) = 5. Это значит, что тело в любой момент времени находится в точке, находящейся в 5 метрах от какого-то начала отсчета. То есть тело находится в одной и той же точке, а это значит, что оно не двигается. Тогда его скорость равна нулю. Но производная – это и есть скорость, значит, она также равна нулю.

Далее вычислим производную для функции у = 1/х. Выберем некоторую точку х₀ и дадим ей приращение ∆х. В результате имеем две точки с координатами х₀ и (х₀ + ∆х). Вычислим значение функции в каждой из них:

Осталось найти предел данного отношения при ∆х→0. Ясно, что при этом множитель х₀ + ∆х будет стремится к х₀, то есть

Задание. Вычислите производные функции

Обратите внимание, что производная функции у = 1/х оказывается отрицательной при любом значении х (кроме нуля, для которого производную посчитать нельзя, так как получится деление на ноль). Это должно означать, что функция убывает в каждой своей точке, а любая касательная к ней образует с осью Ох тупой угол наклона. И это действительно так:

Мы разобрали несколько простейших примеров того, как находить формулы производных. Для этого используется понятие предела функции. Для вывода всех подобных формул требуется хорошо знать тему вычисления пределов, которая не изучается детально в школе. Поэтому мы просто дадим следующие формулы без доказательств.

Начнем со степенной функции у = хⁿ, где n– некоторое постоянное число. Её производная вычисляется по формуле:

Приведем примеры использования этой формулы:

Задание. Найдите производную функции у = х⁶ в точке х₀ = 10.

Задание. Движение самолета при разгоне описывается законом движения s(t) = t³. Найдите его скорость через 5 секунд после начала разгона.

Решение. Скорость самолета в любой момент времени равна производнойs′(t). Найдем её:

Заметим, что используемая нами формула работает и в том случае, если показатель степени является отрицательным или дробным числом. Действительно, ранее мы вывели формулу

По определению отрицательной степени мы можем записать, что

Задание. Вычислите производную функции

Задание. Определите, в какой точке необходимо провести касательную к графику функции

чтобы она образовывала с осью Ох угол в 45°?

Решение. Тангенс угла наклона касательной равен производной. Известно, что tg 45° = 1. Значит, нам надо найти такую точку х₀, в которой значение производной квадратного корня будет равно единице. Производная вычисляется по формуле:

Ответ: х₀ = 0,25.

Далее изучим формулы производных для тригонометрических функций. Они выглядят так:

Рассмотрим несколько примеров использования этих формул.

Задание. Найдите производную функции у = cosx в точке х₀ = π.

Решение. Мы знаем, что

Задание. Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику у = sinx в начале координат.

Решение. Производная синуса вычисляется по формуле:

Получается, что тангенс угла наклона также равен единице. Это значит, что сам угол равен 45°. Построение показывает, что это действительно так:

Задание. Найдите производную функции у = tgx в точке х₀ = π/6.

Решение. Для тангенса используется формула:

Далее рассмотрим показательную и логарифмическую функцию. Их производные рассчитываются по следующим формулам:

Обратите внимание, что в этих формулах появился натуральный логарифм, то есть логарифм, основанием которого является число е. Именно из-за наличия натурального логарифма в формулах дифференцирования он играет особо важную роль в математике и имеет отдельное обозначение. Вычислим несколько производных с помощью приведенных формул:

Напомним, что справедлива формула

Стоит обратить внимание, что функции у = е^х при дифференцировании не меняется. Эта особенность функции также имеет огромное значение в математическом анализе.

Задание. Найдите угол наклона касательных, проведенных к графику у = е^х в точке (0; 1) и к графику у = lnx в точке (1; 0).

Решение. Используем формулы производных:

Получили, что тангенс наклона касательной равен 1. Из этого следует, что угол наклона касательной равен 45°. Далее найдем производную натурального логарифма при х = 1:

Производная снова равна 1, значит, угол наклона также составит 45°, что подтверждается рисунком:

Ответ: 45°.

Задание. Вычислите производную функции у = 2^х при х₀ = 3.

Решение. Используем формулу

Сведем использованные нами равенства в одну таблицу производных основных функций:

Основные правила дифференцирования

До этого мы рассматривали довольно простые, то есть стандартные функции, для каждой из которых производную можно узнать из справочника или таблицы. Но что делать, если нам потребовалось продифференцировать функцию, которая состоит из нескольких основных? Например, что делать с функциями у = 5х² + 6х – 3 или у = x•sinx?

Все более сложные функции можно получить из нескольких простых, комбинируя их. Так, функция у = х³ + х² получается сложением функций у = х³ и у = х², а функция у = (lnx)•(cosx) – произведением функций у = lnx и у = сosx.

Есть несколько правил, которые позволяют находить производные в таких случаях. Мы не будем их доказывать, а просто дадим их формулировки. Также будем нумеровать правила. Первое из них помогает находить производную сумму функций.

В данном случае u и v – это просто обозначение каких-то произвольных функций. Рассмотрим пример. Пусть надо найти производную функции

Правило работает и в том случае, если сумма представляет собой сумму не двух, а большего числа слагаемых:

Следующее правило позволяет выносить постоянный множитель за знак производной:

Покажем использование этого правила:

Действительно, зная эти формулы и первые два правила вычисления производных, мы можем записать, что

Задание. Вычислите значение производной функции у = 9х³ + 7х² – 25х + 7 в точке х₀ = 1.

Решение. Пользуясь правилами дифференцирования, находим производную:

Несколько сложнее обстоит дело с дифференцированием функций, получающихся при перемножении простых функций. В таких случаях используется следующее правило:

Предположим, надо найти производную для функции у = х²•sinx. Её можно представить как произведение u•v, где

Примечание. В последнем случае мы в конце примера использовали формулу косинуса двойного угла:

Заметим, что иногда одно и то же задание с производной можно решить по-разному, используя или не используя правило для вычисления производной произведения функций.

Задание. Найдите производную функции у = х²•(3х + х³). Вычислите ее значение при х = 1.

Решение. Функция у представляет собой произведение более простых функций u•v, где

Задание. Продифференцируйте функцию

Решение. Здесь перед нами функция, которая представляет собой произведение сразу трех множителей. Что делать в таком случае? Надо всего лишь добавить скобки и их помощью оставить только два множителя (один их них окажется «сложным»):

Довольно сложно выглядит формула для поиска производной дроби:

Например, пусть надо найти производную функции

С помощью данного правила можно доказать некоторые равенства. Так, ранее мы уже записали (без доказательства) формулы производных тригонометрических функций:

Оказывается, формула для тангенса может быть выведена из формул для синуса и косинуса. Действительно, тангенс можно записать в виде дроби:

Задание. Найдите, в каких точках надо провести касательную к графику дробно-линейной функции

чтобы эта касательная образовала с осью Ох угол в 135°.

Решение. Угол будет равен 135° только тогда, когда значение производной будет равно (– 1) (так как tg 135° = – 1). Поэтому сначала найдем производную. В данном случае следует использовать правило 4, так как функция у явно записана как дробь:

Получили два значения х. Построив график и проведя касательные, мы убедимся, что они действительно образуют с осью Ох угол 135°:

Ответ: – 2 и 0.

Заметим, что иногда можно избавиться от необходимости использовать правило 4, если дифференцируемую функцию можно преобразовать. При этом часто помогает использование отрицательных степеней. Пусть надо продифференцировать функцию

Напрашивается решение использовать правило 4.И такой путь позволит получить правильное решение, хотя и будет несколько трудоемким. Однако можно преобразовать функцию:

У нас получилось произведение, а потому можно использовать правило 3, которое представляется более простым:

Производная сложной функции

«Сконструировать» громоздкую функцию из нескольких простых можно не только с помощью арифметических действий. Например, возьмем функции

В обоих случаях мы получили некоторую функцию, продифференцировать которую с помощью уже известных нам правил не получится. Функции, сконструированные таким образом, называются сложными. Есть универсальная формула, позволяющая находить производную сложной функции:

Посмотрим, как пользоваться эти правилом. Пусть надо вычислить производную функции

Она сконструирована из функции у = e^x и у = sinx, причем вторая подставлена в первую. Это значит, что первую можно обозначить буквой u, а вторую – буквой v (если использовать обозначения в правиле 5):

Задание. Найдите у′, если у = sin 2x.

Решение. На этот раз в качестве исходной функции выступает

Убедиться в справедливости правила 5 можно на примере функции

Её можно продифференцировать двумя разными способами. Сначала попробуем просто избавиться от квадрата в исходной функции, используя формулу квадрата суммы:

В результате оба способа вычисления производной дали одинаковый ответ.

Задание. Найдите производную сложной функции у = (2х + 5)¹⁰⁰⁰.

Решение. В данном случае мы рассматриваем комбинацию следующих функций:

Теперь мы умеем вычислять производные почти любых функций, которые можно записать с помощью элементарных функций и арифметических операций. При этом нам не надо использовать определение понятия производной и вычислять какие бы то ни было пределы. Достаточно знать производные основных функций и несколько (всего лишь 5) правил дифференцирования. Навыки дифференцирования функций пригодятся в будущем при решении практических задач, связанных с производными.