План урока:

Степень с рациональным показателем

Свойства дробных степеней и операции с ними

Сравнение степеней

Степень с рациональным показателем

Напомним, что в 7 классе мы впервые познакомились с понятием степени, причем тогда рассматривались случаи, когда показателем степени является натуральное число. В 8 классе понятие степени было расширено, теперь в него включались случаи, когда показатель являлся целым числом. Настоятельно рекомендуем перечитать соответствующие уроки. Сегодня же мы можем сделать ещё один шаг вперед и рассмотреть степени с рациональными показателями.

При расширении понятия степени важно обеспечить то, чтобы уже известные правила работы с целыми степенями работали и для дробных показателей. Одно из свойств степеней выглядит так:

(a^m)ⁿ = a^mn

Подставим в эту формулу следующие значения переменных:

а = 3

m = 1/6

n = 6

Мы специально выбрали эти числа такими, чтобы произведение mn равнялось единице:

mn = (1/6)•6 = 1

Подставляем эти значения:

(3^1/6)⁶ = 3^1/6•6 = 3¹ = 3

Получили, что

(3^1/6)⁶ = 3

Однако по определению корня n-ой степени число, дающее при возведении в шестую степень тройку, является корнем шестой степени из трех. То есть можно записать:

С помощью подобных преобразований нам удалось указать, чему равно число, возведенное в дробную степень. Аналогично можно показать, что для любого а > 0 справедлива формула:

Действительно, если возвести левую часть в n-ую степень, то получим:

(а^1/n)ⁿ = a^1/n•n = a

Значит, по определению корня n-ой степени

Ограничение а > 0 необходимо для того, чтобы не рассматривать случаи, когда подкоренное выражение является отрицательным.

Продолжим наши рассуждения. Чему будет равна степень а^m/n? Ясно, что дробь m/n можно представить в виде:

m/n = (1/n)•m

C учетом этого выполним преобразование:

В результате несложных преобразований нам удалось получить формулу, позволяющую возводить число в степень, у которой рациональный показатель!

Приведем несколько примеров вычисления дробных степеней:

Часто при вычислениях удобнее сначала извлечь корень из числа, а потом полученный результат возвести в степень:

Напомним, что одну и ту же дробь можно представить разными способами, например:

1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 0,5

Возникает вопрос – изменится ли значение дробной степени, если мы приведем дробь к новому знаменателю? Очевидно, что нет, но всё же убедимся в этом на примере. Сначала возведем в степень 1/2 число 25:

Теперь заменим дробь 1/2 на идентичную ей дробь 2/4:

Результат не изменился. В общем случае есть смысл максимально сократить дробь перед вычислением, чтобы избежать операций с большими числами. Особенно это касается десятичных дробей. Например, пусть необходимо вычислить значение выражения 81^0,25. По определению десятичной дроби можно записать, что 0,25 = 25/100. Тогда вычислить 81^0,25 можно так:

Согласитесь, возводить число 81 в 25-ую степень не очень легко! Поэтому поступим иначе. Сократим дробь 25/100:

0,25 = 25/100 = 25/(25•4) = 1/4

Теперь вычисления будет более простыми:

Вообще легко запомнить, что 0,25 = 1/4, а 0,5 = 1/2. Замена десятичных дробей обыкновенными дробями сильно упрощает вычисления. Приведем примеры:

Свойства дробных степеней и операции с ними

Когда мы изучали степени с целыми показателями, мы выяснили, что правила работы с ними ничем не отличаются от правил работы со степенями с натуральным показателем. Оказывается, эти же правила работают и для степеней с рациональным показателем. Сформулируем основные свойства дробных степеней.

Например, справедливы следующие действия:

5^0,5•5^2,5 = 5^{0,5 + 2,5} = 5³ = 125

19^5/3•19^1/3 = 19^{5/3 + 1/3} = 19² = 361

29,36^–0,37•29,36^1,37 = 29,36^{–0,37 + 1,37} = 29,36¹ = 29,36

Вот несколько примеров подобных вычислений:

17^4,5:17^3,5 = 17^4,5–3,5 = 17¹ = 1

4^9,36:4^6,36 = 4^9,36–6,36 = 4³ = 64

20¹²:20¹⁴ = 20^12–14 = 20^–2

Проиллюстрируем это правило примерами:

(6^0,25)⁸ = 6^0,25•8 = 6² = 36

(9^3/2)² = 9^(3/2)•2 = 9³ = 729

(25⁴)^0,125 = 25^4•0,125 = 25^0,5 = 5

Покажем, как можно применять данное правило:

4^1/6•16^1/6 = (4•64)^1/6 = 64^1/6 = 2

0,5^1,5•50^1,5 = (0,5•50)^1,5 = 25^1,5 = 25^1+0,5 = 25¹•25^0,5 = 25•5 = 125

4,9^0,5•10^0,5 = (4,9•10)^0,5 = 49^0,5 =7

Это правило можно применять следующим образом:

360^0,5:10^0,5 = (360:10)^0,5 = 36^0,5 = 6

500³:50³ = (500:50)³ = 10³ = 1000

6,25^1/4:0,01^1/4 = (6,25:0,01)^1/4 = 625^1/4 = 5

Заметим, что степени очень удобны тем, что с их помощью легко упростить работу с корнями, ведь если

то верное и обратное:

То есть любое выражение с корнями в виде степени с рациональным показателем.

Пример. Вычислите значение выражения

Решение. Корней много, поэтому для удобства заменим их степенями

Получили тоже самое выражение, но в более компактном виде. Посчитаем его значение:

(9^1/4)^1/5•3^9/10 = (9^0,25)^0,2•3^0,9 = 9^0,25•0,2•3^0,9 = 9^0,05•3^0,9 = (3²)^0,05•3^0,9 =

=3^2•0,05•3^0,9 = 3^0,1•3^0,9 = 3^0,1•0,9 = 3¹ = 3

Ответ: 3.

Пример. Упростите выражение

(81ⁿ⁺¹– 65•81ⁿ)^0,25

Решение. Степень 81ⁿ⁺¹можно представить как произведение:

81ⁿ⁺¹ = 81ⁿ•81¹ = 81•81ⁿ

С учетом этого можно записать:

(81ⁿ⁺¹– 65•81ⁿ)^0,25 = (81•81ⁿ– 65•81ⁿ)^0,25 = (81ⁿ(81 – 65))^0,25 =

= (81ⁿ•16)^0,25 = 81^0,25n •16^0,25 = 81^0,25n •16^1/4 = 2•81^0,25n

Ответ: 2•81^0,25n.

Сравнение степеней

Напомним, что из двух корней n-ой степени больше тот, у которого больше подкоренное выражение:

Отсюда следует вывод, что если a<b, то

а^1/n<b^1/n

теперь возведем каждую часть этого неравенства в степень m. Тогда получим неравенство:

а^m/n<b^m/n

Получили, что из двух степеней с одинаковыми показателями меньше та, у которой меньше основание (правила сравнения будем нумеровать, чтобы на них удобнее было ссылаться):

В частности, справедливы следующие неравенства:

23^3,75< 24^3,75

63^4/3< 64^4/3

0,008^0,002< 0,008^0,002

Здесь мы рассматривали случаи, когда показатель степени является положительным числом. А что делать, если он отрицательный? Тогда степень следует «перевернуть», воспользовавшись уже известной вам формулой:

a^–n = 1/aⁿ = (1/а)ⁿ

Пример. Сравните выражения с рациональным показателем степени:

20^–3,14 и 50^–3,14

Решение. Избавимся от знака минус в показателе:

20^–3,14 = (1/20)^3,14 = 0,05^3,14

50^–3,14 = (1/50)^3,14 = 0,02^3,14

Получили две степени с одинаковым и, что принципиально важно, положительным показателем. Из них больше та, у которой больше основание. То есть из неравенства 0,02 < 0,05 следует, что

0,02^3,14< 0,05^3,14

Это означает, что

50^–3,14< 20^–3,14

Ответ: 50^–3,14< 20^–3,14.

Особенным является случай, когда показатель степени равен нулю. Напомним, что любое число в нулевой степени (кроме самого нуля) равно единице, а выражение 0⁰ не имеет смысл. Это значит, что числа в нулевой степени равны друг другу, даже если у них разные основания:

25⁰ = 26⁰ = 1

9,36⁰ = 9,37⁰ = 1

18,3546⁰ = 12,3647⁰ = 1

Несколько сложнее сравнивать числа, у которых одинаковые основания, но различные показатели. Здесь возможны три случая – основание либо равно единице, либо больше неё, либо меньше неё.

На основании этого правила можно записать, что:

5^3,14< 5^3,15

45^–0,563< 45^0,001

1,235^–5,623< 1,235^–4,958

Единица в любой степени равна самой себе. Поэтому, если у двух чисел в основании записана именно она, то они должны быть равны друг другу:

1^–7,56 = 1^–0,15 = 1^0,236 = 1 ^521,36 = 1

Осталось рассмотреть случай, когда основание меньше единицы (но всё равно положительное). В таком случае ситуация становится противоположной – чем больше степень, тем меньше число. Проиллюстрируем это на примере. Пусть надо сравнить числа 0,5^7,6 и 0,5^8,9. Заменим дробь 0,5 так, чтобы вместо нее получилась степень с основанием, большим единицы:

0,5 = 1/2 = 1/(2¹) = 2^–1

Итак, 0,5 = 2^–1. Тогда можно записать, что:

0,5^7,6 = (2^–1)^7,6 = 2^–7,6

0,5^8,9 = (2^–1)^8,9 = 2^–8,9

Такие числа мы уже умеем сравнивать. Так как

– 8,9 <– 7,6

то и

2^–8,9< 2^–7,6

Следовательно, 0,5^7,6> 0,5^8,9.

Например, справедливы неравенства:

0,99⁷> 0,99^7,24

0,57^15,36> 0,57^16,47

0,49^0,04> 0,49^0,05

Рассмотрим чуть более сложное задание на сравнение степеней, где надо использовать одновременно несколько правил.

Пример. Докажите, что

0,9^0,9 + 0,8^0,8 + 0,7^0,7< 28^1/3

Решение. Напрямую вычислить значение выражений в правой и левой части затруднительно. Однако мы можем усиливать неравенство, чтобы получить более простые выражения.

Усилить неравенство – это значит увеличить его меньшую или уменьшить большую часть. Например, неравенство 10 < 20 усилится, если вместо 10 написать большее число (11 < 20), или вместо 20 написать меньшее число (10 < 19). Очевидно, что если усиленное неравенство верное, то и изначальное (ослабленное) также справедливо.

Очевидно, что можно легко посчитать значение выражения 27^1/3:

Также ясно, что 27^1/3< 28^1/3 (правило 1). Усилим исходное неравенство:

0,9^0,9 + 0,8^0,8 + 0,7^0,7< 27^1/3 (1)

Действительно, если (1) справедливо, то мы можем записать двойное неравенство

0,9^0,9 + 0,8^0,8 + 0,7^0,7< 27^1/3< 28^1/3

Опустив здесь среднюю часть, получим исходное неравенство. Так как 27^1/3 = 3, мы можем переписать (1) так:

0,9^0,9 + 0,8^0,8 + 0,7^0,7<3 (2)

Далее будем работать с левой частью. Очевидно, что 0,8^0,8< 0,9^0,8 (снова используем правило 1). С другой стороны, 0,9^0,8< 0,9^0,7 (правило 3). Значит, можно записать двойное неравенство:

0,8^0,8< 0,9^0,8<0,9^0,7

или просто 0,8^0,8<0,9^0,7. Абсолютно аналогично можно записать, что

0,7^0,8< 0,9^0,7<0,9^0,7

Или 0,7^0,8<0,9^0,7. Наконец, в силу правила (3), 0,9^0,9<0,9^0,7. Итак, имеем три неравенства:

0,9^0,9<0,9^0,7

0,8^0,8<0,9^0,7

0,7^0,8<0,9^0,7

Их левые части стоят в (2). Следовательно, можно усилить (2):

0,9^0,7 + 0,9^0,7 + 0,9^0,7<3

3•0,9^0,7< 3

Поделим обе части на 3:

0,9^0,7< 1

Заменим единицу равным ему выражением 1^0,7:

0,9^0,7<1^0,7 (4)

Из правила 1 следует, что (4) справедливо. Но мы получили его, усиливая исходное неравенство. Из справедливости более сильного неравенства следует и справедливость более слабого. Следовательно, из справедливости (4) вытекает верность исходного неравенства, которое и надо было доказать.