Алгебра
Единичная окружность
План урока:
Числовая и единичная окружность
Откладывание углов на единичной окружности
Числовая и единичная окружность
В средней школе мы уже познакомились с координатной, или числовой прямой. Так называют абстрактную прямую, на которой выбрана точка отсчета, определен единичный отрезок, а также задано направление, в котором следует откладывать положительные числа. С помощью координатной прямой удается наглядно представлять сложение и вычитание как положительных, так и отрицательных чисел, решать задачи, связанные с перемещением по прямой, и делать многое другое.
Однако порою приходится рассматривать задачи, связанные с движением по окружности, а также складывать и вычитать углы. Здесь математикам помогает другая абстракция – числовая окружность. Пусть два гонщика (Вася и Петя) едут по круговой трассе, чья протяженность составляет 1 км. За минуту Вася проехал 1250 м, а Петя преодолел только 500 м. Попытаемся показать их положение графически.
Построим на координатной плоскости окружность с центром в начале координат длиной 1 км. Будем считать, старт находится в крайней правой точке трассы, на пересечении оси Ох и окружности. Также условимся, что гонщики едут против часовой стрелки. Тогда получим такую картинку:
Петя проедет ровно половину окружности и окажется в крайней левой точке трассы. Вася же за минуту успел сделать полный круг (1 км) и проехать ещё 250 м, а потому оказался в верхней точке.
Теперь предположим, что Петя стоит на месте, а Вася проехал ещё 250 м (четверть круга). В результате оба пилота оказались в одной точке, но проехали они разное расстояние! Получается, что по положению гонщика невозможно однозначно определить, сколько именно метров он проехал.
Заметим, что очень удобно характеризовать положение точки на числовой окружности с помощью угла. Достаточно соединить точку отрезком с началом координат. Полученный отрезок образует с прямой Ох некоторый угол α:
В тригонометрии предпочитают использовать особую числовую прямую, радиус которой равен единице. По ряду причин, которые станут ясны чуть позже, с ней очень удобно работать. Такую фигуру называют единичной окружностью.
Выглядит единичная окружность так:
Откладывание углов на единичной окружности
Положение каждой точки на единичной окружности можно указать с помощью угла. Пусть надо найти точку, соответствующую углу 60°. Для этого просто строим угол следующим образом:
Углы, которые откладывают на единичной окружности, называют углами поворота. В данном случае можно утверждать, что точке А соответствует угол поворота, равный 60°.
Отложить можно и угол, больший 90° и даже 180°. Выглядеть они будут примерно так:
Углы можно складывать друг с другом и вычитать. Предположим, нам надо построить угол, равный сумме углов 120° и 110°. Для этого сначала совершить поворот на 120°, а потом от полученного отрезка отложить ещё один угол в 110°:
Ясно, что возможно построить любой угол в диапазоне от 0° до 360°. А можно ли отложить угол, который будет больше 360°? В обычной планиметрии мы не работаем с такими углами, однако в тригонометрии они существуют. Действительно, мы же можем, например, сложить углы 250° и 140°. В итоге получится 250 + 140 = 390°:
В результате мы совершили полный оборот (360°) и вдобавок повернули отрезок ещё на 30°. Получается, что углам в 390° и 30° соответствует одна и та же точка.
Углы можно и вычитать друг из друга. Для этого вычитаемый угол надо отложить в противоположном направлении – не против часовой, а по часовой стрелке. Например, вычитая из 150° угол в 70°, придем в точку, соответствующую 150 – 70 = 80°:
Из арифметики мы помним, что вычитание можно заменить прибавлением противоположного (то есть отрицательного) числа:
a– b = a + (– b)
Получается, что отложив угол 70° по часовой стрелке, мы прибавили к 150° отрицательный угол (– 70°). То есть на единичной окружности можно откладывать отрицательные углы! Для их получения поворот надо осуществлять по часовой стрелке. Например, угол – 60° будет выглядеть так:
Итак, мы можем откладывать и положительные, и отрицательные углы, а также углы, большие 360°. Вообще в тригонометрии угол может быть равен любому действительному числу. На единичной окружности можно отложить углы величиной 1000°, 1000000° и (– 999999999°) и любые другие, самые большие и самые малые углы. В этом смысле единичная окружность схожа с координатной прямой. Разница лишь в том, что на прямой разным числам всегда соответствуют разные точки, а на окружности разным углам могут соответствовать одни и те же точки.
Ещё раз отметим, что один полный оборот равен 360°. Если отложить на окружности произвольную точку А, которой соответствует угол α, а потом добавить к α ещё 360°, то мы попадем в ту же самую точку:
С точки зрения тригонометрии те углы поворота, которые соответствуют одной точке на единичной окружности, равны друг другу. Поэтому можно записать формулу:
α + 360° = α
Естественно, при вычитании 360° из угла мы тоже совершим полный поворот, только по часовой стрелке, поэтому верна и другая запись:
α – 360° = α
Угол, не изменится и в том случае, если мы совершим не один, а два полных оборота, то есть добавим к нему 2•360° = 720°. Можно добавлять к углу два, три, четыре полных поворота, но он не изменится от этого. Обозначим буквой n количество оборотов, которые мы добавляем к углу. Естественно, что n – целое число. Справедливой будет формула:
α + n•360° = α
Например, верны следующие равенства:
15° + 3•360° = 15° + 1080° = 1095°
100° + 10•360° = 100° + 3600° = 3700°
1000° = 1000° – 2•360° = 1000° – 720° = 280°
Очевидно, что любой точке на окружности соответствует какой-то угол α из промежутка 0 ≤ α < 360°. Конечно, с такими углами работать удобнее, поэтому важно уметь переходить от «больших» углов к тем, которые ограничены диапазоном 0°– 360°.
Например, пусть есть угол в 600°. Необходимо выразить его «нормальным» углом из диапазона 0°– 360°. Для этого просто вычтем из него 360°:
600° = 600° – 360° = 280°.
Если дан угол в 1200°, то из него 360° придется вычитать уже трижды:
1200° = 1200° – 3•360° = 1200° – 1080° = 120°.
Как узнать, сколько полных поворотов надо вычесть из угла, чтобы он попал в нормальный диапазон? Для этого достаточно просто поделить угол на 360°.
Задание. Замените угол 10000° на угол α из промежутка 0 ≤ α < 360°.
Решение. Поделим 10000 на 360. Делить будем с остатком:
10000:360 = 27 (280 в остатке)
Этот расчет показывает, что число 10000 можно представить в виде:
10000° = 280° + 27•360°
Величину 27•360° можно смело отбросить, ведь она соответствует 27 полным оборотам против часовой стрелки.
Ответ: 280°.
Несколько сложнее выглядит преобразование отрицательных углов, ведь при делении с остатком получится угол, попадающий в диапазон – 360° ≤ α < 0°. Поэтому после деления необходимо добавить к углу ещё один поворот, чтобы получилась положительная величина.
Задание. Приведите угол (– 10000°) к углу из диапазона 0 ≤ α < 360°.
Решение. Снова поделим (– 10000°) на 360° с остатком:
– 10000:360 = – 27 (– 280 в остатке)
Получили угол – 280°. Но он не попадает в требуемый диапазон. Однако можно просто добавить к нему 360°:
– 280° + 360° = 80°
Ответ: 80°.
Радианная мера угла
Из геометрии мы знаем, что углы можно измерять не только градусами, но и радианами. 1 радиан – это величина такого центрального угла окружности с центром в точке O, опирающегося на дугу, что длина этой дуги АВ равна радиусу окружности ОА:
Обратите внимание, что радиус единичной окружности равен единице. Получается, что угол в 1 рад опирается на дугу длиной 1. Если же мы возьмем угол в 2 рад, то он, очевидно, будет опираться на дугу длиной 2:
Также можно показать, что угол в 3 рад опирается на дугу длиной 3 и т. д. Вообще у единичной окружности величина угла в радианах в точности равна длине дуги, на которую он опирается. Это и есть та удобная особенность единичной окружности, из-за которой математики предпочитают использовать в тригонометрии именно ее.
Теперь попытаемся понять, сколько радиан составляет угол в 180°. Он представляет собой развернутый угол, то есть он опирается на дугу, составляющую ровно половину окружности. Напомним, что длина всей окружности рассчитывается по формуле
L = 2πR,
где R – это радиус окружности;
π – число «пи», математическая константа, равная примерно 3,1415927…
Радиус единичной окружности равен единице, поэтому ее длина составляет
L = 2πR = 2π•1 = 2π
Ясно что половины окружности вдвое меньше, то есть равна π. Получается, что угол в 180° опирается на дугу длиной π. Значит, его величина в радианах как раз и равна π! Проиллюстрируем это:
Итак, π рад = 180°
Представим это равенство несколько в другой форме:
π•1 рад = 180°
Теперь поделим равенство на число π:
1 рад = 180°/π = 1 рад = 180°/π ≈180°/3,1415927 ≈57°17’
Итак, мы смогли вычислить, что 1 радиан примерно равен 57°, или, если быть абсолютно точными, 180/π градусам. Величина угла, записанная в градусах, называется градусной мерой угла. Величина угла в радианах называется радианной мерой угла. Важно уметь переводить углы из градусов в радианы и наоборот.
Обозначим αрад. радианную меру угла, а αград. – градусную меру. Так как 1 радиан составляет 180/π градусов, то можно записать формулу
αград = αрад.•180/π
Если из этой формулы выразить величину αград., то мы получим выражение:
αрад. = αград.•π/180
Продемонстрируем использование этих формул.
Задание. Переведите в радианы углы 45°, 90°, 150°, – 75°, 1440°, 5°, 12°.
Решение. Необходимо просто подставлять величину углов в формулу:
αрад. = αград.•π/180
При этом для удобства счета число числитель и знаменатель можно раскладывать на множители, тогда одинаковые множители можно будет сократить:
Можно заметить, что градусная мера угла выражается целым числом, то при ее переводе в радианах получится дробь, в знаменателе которой будет стоять число π. Конечно, можно подставить вместо него приближенное значение 3,14… и получить радианную меру в более привычном виде, например:
90° = π/2 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57 радиан
Однако в математике работают с точными значениями, а не приближенными, а потому число π так и оставляют в знаменателе. При этом обозначение радиан часто опускают. То есть, если в учебнике указано, что какой-то угол равен π/2, то это значит, что он равен π/2 радиан.
Задание. Выразите углы π/2 , π/4, 5π/18, 4π/3, 19π/6, 11π/2, – 23π/4, 2π в градусах.
Решение. Используем формулу αград = αрад.•180/π:
Желательно запомнить самые часто встречающиеся в тригонометрии углы. Их радианные и градусные меры приведены в таблице:
Отметим эти и некоторые другие углы на числовой окружности:
Напомним, что один полный поворот по окружности составляет 360°, и если эту величину добавить к произвольному углу, то он, с точки зрения тригонометрии, фактически не изменится:
α = α + 360°
Но угол в 360° равен 2π радиан. Поэтому, если добавить у произвольному углу 2π, то он также не изменится:
α = α + 2π
Добавить можно не один, а несколько поворотов, как против, так и по часовой стрелке, и угол всё равно не изменится. Этот факт можно записать следующей формулой:
α = α + 2π•n
где n – произвольное целое число.
Например, справедливы равенства:
π = π + 2π = 3π
π/2 = π/2 + 2π•2 = π/2 + 4π = π/2 + 8π/2 = 9π/2
27π/4 = 27π/4 – 2π•3 = 27π/4 – 6π = 27π/4 – 24π/4 = 3π/4
Удобнее всего работать с углами, чья радианная мера находится в диапазоне от 0 до 2π. Любой другой угол можно заменить углом из этого «стандартного» диапазона.
Задание. Замените угол 32π/3 равным ему углом из диапазона 0 ≤ α ≤ 2π.
Решение. Угол 32π/3 больше 2π, то есть, чтобы его получить, надо сделать несколько полных поворотов на единичной окружности. Для определения числа таких поворотов поделим 32π/3 на 2π:
Получается, что число оборотов равно 5. Так как одному повороту соответствует угол 2π, то пяти поворотам равен угол 5•2π. Мы можем смело вычесть эту величину из исходного угла:
32π/3 – 2•5π = 32π/3 – 10π = 32π/3 – 30π/3 = 2π/3.
Ответ: 2π/3.
Задание. Какому углу из диапазона 0 ≤ α ≤ 2π соответствует угол – 79π/4?
Решение. Поделим 79π/4 на 2π:
Это означает, что к отрицательному углу –79π/4 следует добавить 9 оборотов против часовой стрелки, каждый из которых равен 2π:
– 79π/4 = – 79π/4 + 9•2π = – 79π/4 + 18π = – 79π/4 + 72π/4 = – 7π/4
Получили отрицательный угол. Чтобы сделать его положительным, добавим ещё один оборот, то есть 2π
– 7π/4 + 2π = – 7π/4 + 8π/4 = π/4
Ответ: π/4.
В следующем уроке мы узнаем, как единичная окружность может использоваться для определения синуса угла и нахождения значений других тригонометрических функций.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Чему равен радиус единичной окружности?
1) 5 2) нулю 3) числу π 4) единице
Переведите 120° в радианы:
1) 4π/3 2) 4π/3 3) 5π/6 4) 7π/8
Переведите угол 5π/4 в градусы:
1) 225° 2) 270° 3) 150° 4) 390°
Какому углу α из диапазона 0 ≤α< 2π соответствует угол 13π/6?
1) 5π/6 2) π/3 3) π/6 4) 7π/6