План урока:

Вынесение общего множителя за скобки

Способ группировки

Применение разложение многочленов на множители

Вынесение общего множителя за скобки

В предыдущем уроке мы изучили умножение многочлена на одночлен. Например, произведение монома a и полинома b + c находится так:

a(b + c) = ab + bc

Однако в ряде случае удобнее выполнить обратную операцию, которую можно назвать вынесением общего множителя за скобки:

ab + bc = a(b + c)

Например, пусть нам надо вычислить значение полинома ab + bc при значениях переменных a = 15,6, b = 7,2, c = 2,8. Если подставить их напрямую в выражение, то получим

ab + bc = 15.6 * 7.2 + 15.6 * 2.8

что, скорее всего, не получится посчитать в уме. Если же вынести a за скобки, то получим иную запись:

ab + bc = a(b + c) = 15.6 * (7.2 + 2.8) = 15.6 * 10 = 156

В данном случае мы представили полином ab + bc как произведение двух множителей: a и b + с. Данное действие называют разложением многочлена на множители.

При этом каждый из множителей, на которые разложили многочлен, в свою очередь может быть многочленом или одночленом.

Рассмотрим полином 14ab – 63b². Каждый из входящих в него одночленов можно представить как произведение:

14ab = 7b * 2a

63b² = 7b * 9b

Видно, что у обоих многочленов есть общий множитель 7b. Значит, его можно вынести за скобки:

14ab - 63b² = 7b*2a - 7b*9b = 7b(2a-9b)

Проверить правильность вынесения множителя за скобки можно с помощью обратной операции – раскрытия скобки:

7b(2a - 9b) = 7b*2a - 7b*9b = 14ab - 63b²

Важно понимать, что часто полином можно разложить несколькими способами, например:

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bd) = bc(5a + 6d)

Обычно стремятся вынести, грубо говоря, «наибольший» одночлен. То есть раскладывают полином так, чтобы из оставшегося полинома больше нечего нельзя было вынести. Так, при разложении

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd)

в скобках осталась сумма одночленов, у которых есть общий множитель с. Если же вынести и его, то общих множителей в скобках не останется:

b(5ac + 6cd) = bc(5a + 6d)

Разберем детальнее, как находить общие множители у одночленов. Пусть надо разложить сумму

8a³b⁴ + 12a²b⁵v + 16a⁴b³c¹⁰

Она состоит из трех слагаемых. Сначала посмотрим на числовые коэффициенты перед ними. Это 8, 12 и 16. В 3 уроке 6 класса рассматривалась тема НОД и алгоритм его нахождения.Это наибольший общий делитель.Почти всегда его можно подобрать устно. Числовым коэффициентом общего множителя как раз будет НОД числовых коэффициентов слагаемых полинома. В данном случае это число 4.

Далее рассмотрим буквенную часть. В ней должны быть переменные, которые есть во ВСЕХ слагаемых. В данном случае это a и b, а переменная c общей не является, так как не входит в первое слагаемое.

Далее смотрим на степени у этих переменных. В общем множителе у букв должны быть минимальные степени, которые встречаются в слагаемых. Так, у переменной a в многочлене степени 3, 2, и 4 (минимум 2), поэтому в общем множителе будет стоять a². У переменной b минимальная степень равна 3, поэтому в общем множителе будет стоять b³:

8a³b⁴ + 12a²b⁵v + 16a⁴b³c¹⁰ = 4a²b³(2ab + 3b²c + 4a²c¹⁰)

В результате у оставшихся слагаемых 2ab, 3b²c, 4a²c¹⁰ нет ни одной общей буквенной переменной, а у их коэффициентов 2, 3 и 4 нет общих делителей.

Выносить за скобки можно не только одночлены, но и многочлены. Например:

x(a-5) + 2y(a-5) = (a-5)(x+2y)

Еще один пример. Необходимо разложить выражение

5t(8y - 3x) + 2s(3x - 8y)

Решение. Напомним, что знак минус меняет знаки в скобках на противоположные, поэтому

-(8y - 3x) = -8y + 3x = 3x - 8y

Значит, можно заменить (3x – 8y) на – (8y – 3x):

5t(8y - 3x) + 2s(3x - 8y) = 5t(8y - 3x) + 2*(-1)s(8y - 3x) = (8y - 3x)(5t - 2s)

Ответ: (8y – 3x)(5t – 2s).

Запомним, что вычитаемое и уменьшаемое можно поменять местами, если изменить знак перед скобками:

(a - b) = - (b - a)

Верно и обратное: минус, уже стоящий перед скобками, можно убрать, если одновременно переставить местами вычитаемое и уменьшаемое:

Этот прием часто используется при решении заданий.

Способ группировки

Рассмотрим ещё один способ разложения многочлена на множители, который помогает раскладывать полином. Пусть есть выражение

ab - 5a + bc - 5c

Вынести множитель, общий для всех четырех мономов, не получается. Однако можно представить этот полином как сумму двух многочленов, и в каждом из них вынести переменную за скобки:

ab - 5a + bc - 5c = (ab - 5a) + (bc - 5c) = a(b - 5) + c(b - 5)

Теперь можно вынести выражение b – 5:

a(b - 5) + c(b - 5) = (b - 5)(a + c)

Мы «сгруппировали» первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым. Поэтому описанный метод называют способом группировки.

Пример. Разложим полином 6xy + ab– 2bx– 3ay.

Решение. Группировка 1-ого и 2-ого слагаемого невозможна, так как у них нет общего множителя. Поэтому поменяем местами мономы:

6xy + ab - 2bx - 3ay = 6xy - 2bx + ab - 3ay = (6xy - 2bx) + (ab - 3ay) = 2x(3y - b) + a(b - 3y)

Разности 3y – b и b – 3y отличаются только порядком переменных. В одной из скобок его можно изменить, вынеся знак минус за скобки:

(b - 3y) = - (3y - b)

Используем эту замену:

2x(3y - b) + a(b - 3y) = 2x(3y - b) - a(3y - b) = (3y - b)(2x - a)

В результате получили тождество:

6xy + ab - 2bx - 3ay = (3y – b)(2x – a)

Ответ: (3y – b)(2x – a)

Группировать можно не только два, а вообще любое количество слагаемых. Например, в полиноме

x² - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z

можно сгруппировать первые три и последние 3 одночлена:

x² - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z = (x² - 3xy + xz) + (2x - 6y + 2z) = x(x - 3y + z) + 2(x - 3y + z) = (x + 2)(x - 3y + z)

Теперь рассмотрим задание повышенной сложности

Пример. Разложите квадратный трехчлен x²– 8x +15.

Решение. Данный полином состоит всего из 3 одночленов, а потому, как кажется, группировку произвести не получится. Однако можно произвести такую замену:

-8x = -3x - 5x

Тогда исходный трехчлен можно представить следующим образом:

x² - 8x + 15 = x² - 3x - 5x + 15

Сгруппируем слагаемые:

x² - 3x - 5x + 15 = (x² - 3x) + (- 5x + 15) = x(x - 3) - 5(x - 3) = (x - 5)(x - 3)

Ответ: (x– 5)(х – 3).

Конечно, догадаться о замене – 8х = – 3х – 5х в приведенном примере нелегко. Покажем иной ход рассуждений. Нам надо разложить полином второй степени. Как мы помним, при перемножении многочленов их степени складываются. Это значит, что если мы и сможем разложить квадратный трехчлен на два множителя, то ими окажутся два полинома 1-ой степени. Запишем произведение двух многочленов первой степени, у которых старшие коэффициенты равны 1:

(x + a)(x + b) = x² + xa + xb + ab = x² + (a + b)x + ab

Здесь за a и b мы обозначили некие произвольные числа. Чтобы это произведение равнялось исходному трехчлену x²– 8x +15, надо подобрать подходящие коэффициенты при переменных:

С помощью подбора можно определить, что этому условию удовлетворяют числа a= – 3 и b = – 5. Тогда

(x - 3)(x - 5) = x² * 8x + 15

в чем можно убедиться, раскрыв скобки.

Для простоты мы рассмотрели только случай, когда у перемножаемых полиномов 1-ой степени старшие коэффициенты равны 1. Однако они могли равняться, например, 0,5 и 2. В этом случае разложение выглядело бы несколько иначе:

x² * 8x + 15 = (2x - 6)(0.5x - 2.5)

Однако, вынеся коэффициент 2 из первой скобки и умножив его на вторую, получили бы изначальное разложение:

(2x - 6)(0.5x - 2.5) = (x - 3) * 2 * (0.5x - 2.5) = (x - 3)(x - 5)

В рассмотренном примере мы разложили квадратный трехчлен на два полинома первой степени. В дальнейшем нам часто придется это делать. Однако стоит отметить, что некоторые квадратные трехчлены, например,

x² - x + 1

невозможно разложить таким образом на произведение полиномов. Доказано это будет позднее.

Применение разложение многочленов на множители

Разложение полинома на множители может упростить выполнение некоторых операций. Пусть необходимо выполнить вычисление значения выражения

2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ 

Вынесем число 2, при этом степень каждого слагаемого уменьшится на единицу:

2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ = 2(1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ )

Обозначим сумму

2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸

за х. Тогда записанное выше равенство можно переписать:

x + 2⁹ = 2(1 + x)

Получили уравнение, решим его (см. урок уравнения):

x + 2⁹ = 2(1 + x)

x + 2⁹ = 2 + 2x

2x - x = 2⁹ - 2

x = 512 - 2 = 510

Теперь выразим искомую нами сумму через х:

2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ = x + 2⁹ = 510 + 512 = 1022

При решении этой задачи мы возводили число 2 только в 9-ую степень, а все остальные операции возведения в степень удалось исключить из вычислений за счет разложения многочлена на множители. Аналогично можно составить формулу вычисления и для других подобных сумм.

Теперь вычислим значение выражения

38.4² - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4

Посчитать это напрямую достаточно сложно. Однако можно применить метод группировки:

38.4² - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4 = 38.4² - 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 - 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 - 29.5) + 61.6(38.4 - 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 - 29.5) = 8.9*100 = 890

Далее посмотрим, как можно использовать разложение полинома для доказательства делимости чисел. Пусть требуется доказать, что выражение

81⁴ - 9⁷ + 3¹²

делится на 73. Заметим, что числа 9 и 81 являются степенями тройки:

9 = 3²

81 = 9² = (3²)² = 3⁴

Зная это, произведем замену в исходном выражении:

81⁴ - 9⁷ + 3¹² = (3⁴)⁴ - (3²)⁷ + 3¹² = 3¹⁶ - 3¹⁴ + 3¹²

Вынесем 3¹²:

3¹⁶ - 3¹⁴ + 3¹² = 3¹²(3⁴ - 3² + 1) = 3¹² * (81 - 9 + 1) = 3¹² * 73

Произведение 3¹²•73 делится на 73 (так как на него делится один из множителей), поэтому и выражение 81⁴ – 9⁷ + 3¹² делится на это число.

Вынесение множителей может использоваться для доказательства тождеств. Например, докажем верность равенства

(a² + 3a)² + 2(a² + 3a) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

Для решения тождества преобразуем левую часть равенства, вынеся общий множитель:

(a² + 3a)² + 2(a² + 3a) = (a² + 3a)(a² + 3a) + 2(a² + 3a) = (a² + 3a)(a² + 3a + 2)

Далее произведем замену 3a = 2a + a:

(a² + 3a)(a² + 3a + 2) = (a² + 3a)(a² + 2a + a + 2) = (a² + 3a)((a² + 2a) + (a + 2) = (a² + 3a)(a(a + 2) + (a + 2)) = (a² + 3a)(a + 1)(a + 2) = a(a + 3)(a + z)(a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

Ещё один пример. Докажем, при любых значениях переменных x и у выражение

(x - y)(x + y) - 2x(x - y)

не является положительным числом.

Решение. Вынесем общий множитель х – у:

(x - y)(x + y) - 2x(x - y) = (x - y)(x + y - 2x) = (x - y)(y - x)

Обратим внимание, что мы получили произведение двух похожих двучленов, отличающихся лишь порядком букв x и y. Если бы мы поменяли местами в одной из скобок переменные, то получили бы произведение двух одинаковых выражений, то есть квадрат. Но для того, чтобы поменять местами x и y, нужно перед скобкой поставить знак минус:

(x - y) = -(y - x)

Тогда можно записать:

(x - y)(y - x) = -(y - x)(y - x) = -(y - x)²

Как известно, квадрат любого числа больше или равен нулю. Это относится и к выражению (у – х)². Если же перед выражением стоит минус, то оно должно быть меньше или равным нулю, то есть не является положительным числом.

Разложение полинома помогает решать некоторые уравнения. При этом используется следующее утверждение:

Если в одной части уравнения стоит ноль, а в другой произведение множителей, то каждый из них следует приравнять нулю.

Пример. Решите уравнение (s – 1)(s + 1) = 0.

Решение. В левой части записано произведение мономов s – 1 и s + 1, а в правой – ноль. Следовательно, нулю должно равняться или s – 1, или s + 1:

(s - 1)(s + 1) = 0

s - 1 = 0 или s + 1 = 0

s = 1 или s = -1

Каждое из двух полученных значений переменной s является корнем уравнения, то есть оно имеет два корня.

Ответ: –1; 1.

Пример. Решите уравнение 5w² – 15w = 0.

Решение. Вынесем 5w:

5w² – 15w = 0

5w(w - 3) = 0

Снова в левой части записано произведение, а в правой ноль. Продолжим решение:

5w = 0 или (w - 3) = 0

w = 0 или w = 3

Ответ: 0; 3.

Пример. Найдите корни уравнения k³– 8k² + 3k– 24 = 0.

Решение. Сгруппируем слагаемые:

k³– 8k² + 3k– 24 = 0

(k³– 8k²) + (3k– 24) = 0

k²(k - 8) + 3(k - 8) = 0

(k³ + 3)(k - 8) = 0

k² + 3 = 0 или k - 8 = 0

k² = -3 или k = 8

Заметим, что уравнение k² = – 3 решения не имеет, так как любое число в квадрате не меньше нуля. Поэтому единственным корнем исходного уравнения является k = 8.

Ответ: 8.

Пример. Найдите корни уравнения

(2u - 5)(u + 3) = 7u + 21

Решение: Перенесем все слагаемые в левую часть, а после сгруппируем слагаемые:

(2u - 5)(u + 3) = 7u + 21

(2u - 5)(u + 3) - 7u - 21 = 0

(2u - 5)(u + 3) - 7(u + 3) = 0

(2u - 5 - 7)(u + 3) = 0

(2u - 12)(u + 3) = 0

2u - 12 = 0 или u + 3 = 0

u = 6 или u = -3

Ответ: – 3; 6.

Пример. Решите уравнение

(t² - 5t)² = 30t - 6t²

Решение:

(t² - 5t)² = 30t - 6t²

(t² - 5t)² - (30t - 6t²) = 0

(t² - 5t)(t² - 5t) + 6(t² - 5t) = 0

(t² - 5t)(t² - 5t + 6) = 0

t² - 5t = 0 или t² - 5t + 6 = 0

Далее решим по отдельности эти уравнения:

t² - 5t = 0

t(t - 5) = 0

t = 0 или t - 5 = 0

t = 0 или t = 5

Теперь займемся вторым уравнением. Перед нами снова квадратный трехчлен. Чтобы разложить его на множители методом группировки, нужно представить его в виде суммы 4 слагаемых. Если произвести замену – 5t = – 2t – 3t, то дальше удастся сгруппировать слагаемые:

t² - 5t + 6 = 0

t² - 2t - 3t + 6 = 0

t(t - 2) - 3(t - 2) = 0

(t - 3)(t - 2) = 0

T - 3 = 0 или t - 2 = 0

t = 3 или t = 2

В результате получили, что у исходного уравнения есть 4 корня.

Ответ: 0, 2, 3, 5