Алгебра
Многочлены
План урока:
Многочлен, вычисление значений многочлена
Сложение и вычитание многочленов
Умножение одночлена на многочлен
Умножение многочлена на многочлен
Многочлен, вычисление значений многочлена
В предыдущем уроке мы познакомились с понятием одночлена. При записи одночленов не используется операция сложения. Если же возникает необходимость сложить несколько одночленов, то в результате получается многочлен.
В качестве примера многочленов можно привести следующие выражения:
Стоит обратить внимание, что в записи многочлена может использоваться и знак минус, при этом его всё равно можно считать суммой одночленов, а не разностью. Дело в том, что можно условно считать, что знак минус относится к коэффициенту одночлена, например:
Для некоторых видов многочленов существуют особые названия. Если многочлен состоит из двух одночленов, то его называют двучленом. Многочлен, состоящий из 3 одночленов, называют трехчленом.
Иногда в литературе используются такие термины, как «моном» (синоним «одночлена»), «бином» (синоним «двучлена»), «полином» (синоним «многочлена»).
Если известно значение переменных, входящих в полином, то возможно вычисление значения многочлена.
Пример. Найдем значение полинома x3+2x2+5y+1 при значении x=2 и y = 3.
Решение.
Пример. Вычислим значение полинома v4– d4при значении переменных v = 4 и d = 3.
Решение.
Стандартный вид многочлена
Иногда некоторые мономы, входящие в состав полинома, имеют одинаковую буквенную часть. Например, в выражении
первый и третий мономы отличаются лишь своими коэффициентами. Такие слагаемые называются подобными.
У подобных слагаемых одинаковый набор переменных, и при этом они возведены в одинаковые степени. Так, подобными являются мономы:
- 7a2s3 и 2a2s3, так как совпадает буквенная часть a2s3;
- 5v9m7t5 и – 4v9m7t5, так как у них одинаковая буквенная часть – 4v9m7t5;
- a2 и 1000a2, так как есть одинаковая буквенная часть a2.
Также подобными слагаемыми можно считать и числа без буквенной части, например 8 и 2.
В качестве примеров неподобных слагаемых можно привести:
- 7a2s3и 2a2s4 – у переменной s разные степени (3 и 4) в этих мономах;
- 4x2yи 5x2– в буквенной части первого монома есть переменная y, а у второго его нет.
У подобных слагаемых может быть изменен порядок множителей. Так, подобными являются мономы 5p2u4и 9u4p2, так как у одних и тех же переменных стоят одинаковые показатели.
Подобные слагаемые можно складывать друг с другом. В этом случае буквенная часть останется неизменной, а коэффициенты сложатся друг с другом. Например:
Такое действие называется приведением подобных слагаемых.
Пример. Приведите подобные слагаемые полинома:
Решение. В данном полиноме есть три пары подобных слагаемых:
Сгруппируем подобные слагаемые друг с другом, после чего сложим их:
Если в полиноме нет подобных слагаемых, а все входящие в него мономы записаны в стандартном виде, то его называют многочленом стандартного вида.
Что такое одночлен стандартного вида, можно узнать из ранее изученного урока. Примерами полиномов стандартного вида являются:
Далее рассмотрим понятие степени многочлена. Каждый из входящих в полином мономов имеет свой показатель степени(см. урок 3). Степенью полинома стандартного вида называется наибольшая из всех степеней одночленов, входящих в его состав.
Рассмотрим пример. Дан трехчлен 2y2 + x3y + 5y2x, требуется найти его степень.
Решение. Рассматриваемый трехчлен находится в стандартном виде. Он состоит из трех мономов:
Найдем степень каждого из них:
- 2y2 – степень равна 2;
- x3y – степень равна 4 = (3+1);
- 5y2x – степень равна 3 = (2+1).
Получается, что максимальную степень, равную 4, имеет моном x3y. Соответственно, и степень трехчлена также равна 4.
Ответ: 4.
Если же рассматривается полином, не находящийся в стандартном виде, то для вычисления его степени сначала надо привести полином к этому виду.
Пример. Найдите степень полинома с6 + ac2 + 9 – с6.
Решение. На первый взгляд может показаться, что она равна 6, так как один из его мономов, с6, имеет показатель, равный 6. Но это не так. Приведем полином к стандартному виду:
Оказалось, что подобные мономы c6 и – с6 сократились. Получившийся полином состоит из двух мономов, ac2 и 9, чьи степени равны 3 и 0 соответственно. Значит, и степень всего двучлена равна трём.
Ответ: 3.
Определение степени полинома потребуется для решения уравнений в старших классах. Если в одной части уравнения стоит полином, например, третьей степени, в другой части – ноль, то его называют уравнением третьей степени:
Аналогично выделяют уравнения первой, второй, четвертой и любой другой степени.
В зависимости от степени уравнения используются различные методы их решения. Ранее (ссылка на урок уравнения) мы уже научились решать линейные уравнения, которые являются уравнениями 1-ой степени. Обычно чем выше степень уравнения, тем сложнее его решать. Также существует интересная зависимость – количество корней уравнения не превышает его степень (за исключением одного частного случая, при котором есть бесконечное множество решений).
Особое значение в алгебре имеют те полиномы, в которых содержится только одна переменная, например:
- m2 + 4m4 + 5m3 +9(здесь переменная m);
- c6 + 1(единственная переменная – с);
- 3x + 10(запись содержит только x);
- – y4 + 89y10– 2,56y100(используется только y).
Их называют полиномами с одной переменной. Обычно их принято записывать по мере убывания степеней одночленов. То есть впереди пишется моном с максимальной степенью, а в самом конце – число без буквенной части:
То число, которое стоит перед одночленом в наибольшей степени, называют старшим коэффициентом, а число, не имеющее буквенной части – свободным членом (реже свободным коэффициентом):
Для некоторых полиномов с одной переменной есть особое название. Так, многочлен второй степени называют квадратным трехчленом. Дело в том, вторую степень в математике часто называют квадратом, а состоит квадратный трехчлен из трех монов. В качестве примера можно привести:
Конечно, квадратный многочлен может содержать и меньше трех одночленов:
В этом случае иногда бывает удобно добавить «недостающее» слагаемое, поставив перед ним коэффициент, равный нулю:
В общем случае квадратным трехчленом называют выражение вида
где x – произвольная переменная, а, b и c являются произвольными действительными числами. При этом a не должно равняться нулю, иначе получится полином уже только 1-ой степени.
Квадратные трехчлены будут изучены подробнее в старших классах при изучении темы «Квадратные уравнения».
Сложение и вычитание многочленов
Полиномы можно складывать друг с другом, а также вычитать. При этом, возможно, придется приводить подобные слагаемые.
Пример. Произведите сложение многочленов 8z2 + 3z +12 и 2z4 + 9z.
Решение. Запишем интересующую нас сумму:
Если перед скобками стоит знак «+», то можно просто опустить скобки:
Осталось привести полином к стандартному виду. Здесь есть лишь одна пара подобных одночленов, 3z и 9z:
При вычитании многочленов надо учитывать следующее правило:
Пример. Вычтите из полинома x5 + 3x3– 7y3 + 9x2 + 17 трехчлен 2y4 + 0,4y3– 25.
Решение:
Запишем разность полиномов:
Первые скобки можно опустить, так как перед ними нет никакого знака. Перед вторыми скобками стоит минус, а потому для раскрытия скобок знаки слагаемых в них надо поменять на противоположные. Вместо 2y4 надо написать – 2y4, вместо 0,4y3 поставим – 0,4y3, а – 25 заменим на + 25:
Осталось привести подобные слагаемые:
Стоит заметить, что при сложении и вычитании полиномов их степени не могут увеличиться. Так, если складываются два полинома 5-ой и 4-ой степени, то в результате получится многочлен, чья степень будет не больше 5.
Рассмотрим более сложный пример с вложенными (внутренними) скобками. Необходимо упростить выражение
Решение. Раскроем первые скобки. Перед ними стоит минус, поэтому знаки слагаемых должны поменяться на противоположные. Однако обратите внимание, что здесь есть вложенные скобки (2a2b – ab) и (ab2 + 2a2b). Менять следует только знак перед ними, а знаки внутри вложенных скобок не меняются! Они рассматриваются как единые, неизменяемые слагаемые:
Теперь раскроем оставшиеся две скобки:
Приведем подобные слагаемые. Для наглядности пары подобных мономов подчеркнуты. Одной чертой подчеркнуты мономы с буквенной частью ab2, двумя чертами – мономы с a2b, а штриховой линией выделены мономы с буквенной частью ab:
Умножение одночлена на многочлен
Напомним распределительный закон умножения:
Используя этот закон, можно производить умножение одночлена на многочлен.
Пример. Перемножьте выражения 5v2 и 9v3 + 2t4.
Решение: Запишем произведение выражений:
Такое раскрытие скобок можно объяснить с помощью «метода фонтанчика»:
От множителя 5v2 строят линии (синего цвета к) КАЖДОМУ слагаемому в скобке. Каждой такой линии соответствует отдельное произведение в получаемом полиноме.
После раскрытия скобок получили два произведения одночлена на одночлен, которые считаем по отдельности (см. урок 3):
Можно сформулировать следующее правило умножения многочлена на одночлен:
Ещё один пример. Перемножьте полином 2x2y + 4xy2 – 1 и моном – 3ху.
Решение:
Здесь метод «фонтанчика» будет выглядеть так:
Можно заметить, что после умножения монома на полином получится столько одночленов, сколько их было в исходном полиноме. Это правило можно использовать для самоконтроля.
Умножение многочлена на многочлен
Пусть нам надо перемножить два полинома, a+bи c+d. Запишем их произведение:
Заменим выражение a + b переменной k:
Теперь исходное произведение можно выразить как произведение монома и полинома:
Проведем обратное преобразование, заменив k на a + b:
Наконец, раскроем скобки в этом выражении:
Эту формулу можно проиллюстрировать геометрически. Рассмотрим прямоугольник со сторонами a + b и c + d:
Площадь этого прямоугольника, как и любого другого, равна произведению его сторон, то есть(a + b)(c + d).С другой стороны, она состоит из 4 прямоугольников, чьи площади также вычисляются как произведения их сторон, и составляют ac, bc, ad и bd. Поэтому можно записать равенство
Получается, что для умножения многочлена на многочлен нужно перемножать попарно все мономы, входящие в их состав, после чего сложить их.
Если в одном полиноме содержится m слагаемых, а в другом n, то результатом их перемножения окажется новый полином, содержащий m•n мономов (до приведения подобных слагаемых). Для перемножения многочленов также используется метод «фонтанчика».
Пример. Найдем произведение выражений 3a2 – 4ab + b2и 2a– b.
Решение: В первом полиноме содержится 3 монома, а во втором – 2, поэтому после их перемножения мы получим сумму 3•2 = 6 одночленов:
Раскрытие скобок «фонтанчиком» будет выглядеть так:
В результате действительно получилась сумма 6 мономов. Осталось вычислить каждый из них, после чего привести подобные слагаемые:
Заметим, что при перемножении полиномов происходит сложение степеней многочленов. Действительно, в рассмотренном выше примере мы умножили полином второй степени 3a2 – 4ab + b2 на полином первой степени 2a– b, и получили в результате многочлен 3-ей (2+1) степени.
Также возможно умножение многочленов в столбик. Особенно это удобно делать в случае с полиномами с одной переменной.
Пример. Найдите произведение выражений 2x3 + 3x2 +5x + 9 и x2 + 4x + 7.
Решение: Запишем полиномы в столбик, один под другим:
Далее умножим самый правый моном второго многочлена, то есть число 7, на первый полином, и запишем его ниже:
Далее умножим следующий моном, 4х, на первый полином, и запишем результат ещё ниже, причем сместим запись чуть влево, чтобы подобные члены оказались друг под другом:
Также умножим последний одночлен, x2, на первый полином:
Осталось сложить подобные слагаемые (то есть переменные х с одинаковыми степенями), которые записаны друг под другом:
Ещё раз цветом выделим подобные слагаемые и результаты их суммирования:
Ответ: 2х5 + 11х4 + 31х3 + 50х2 + 71х +63.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Какое из этих выражений НЕ является многочленом?
1) x2 + y4 2) 0,5c6– 54 3) 1/x + 2x 4) 1+d
Какая из этих пар мономов образует подобные слагаемые?
1) 4c4 и 4c5 2) – р5 и 11р5 3) 3t7 и 3d7 4) 23x2y и 5xy2
Чему равна сумма двучленов 6x2 – 5х + 9 и 12х + 2?
1) 6х2 + 7х + 11 2) 6х2 + 17х + 11 3) 18х2 – 3х + 9 4) 6х2 – 7х + 11
Найдите произведение полиномов 4у + 3 и 5у – 2
1) 20у2 + 22у – 6 2) 20у2 + 7у + 6 3) 20у2 + 7у – 6 4) 20у2 – 7у + 6